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江苏省南通、盐城 、淮安、 宿迁等地部分学校2021-2022学年高一上第一次大联考数学试卷(含答案解析)

1、江苏省南通、盐城 、淮安、 宿迁等地部分学校2021-2022学年高一上学期第一次大联考数学试题一单选题(共40分)1. 设全集,则( )A. B. C. D. 2. 已知函数,则( )A. B. -1C. 0D. 13. 的展开式中,第二项为( )A. B. C. D. 4. 已知幂函数的图象经过点,且,则的取值范围为( )A. B. C. D. 5. 用符号x表示不超过x的最大整数(称为x的整数部分),如1.2=2,0.2=0,1=1,设函数f(x)=(1lnx)(lnxax)有三个不同的零点x1,x2,x3,若x1+x2+x3=6,则实数a的取值范围是( )A B. C. D. 6. 高

2、斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数”:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,也称取整函数,例如:,.已知,则函数的值域为( )A. B. ,C. ,D. ,0,7. 已知A、B是抛物线y24x上异于原点O的两点,则“0”是“直线AB恒过定点(4,0)”的()A 充分非必要条件B. 充要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件8. 设集合,若是的子集,把中的所有数的和称为的“容量”(规定空集的容量为0),若的容量为奇(偶)数,则称为的奇(偶)子集,命题:的奇子集与偶子集个数相等;命题:当时,的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容

3、量之和相等,则下列说法正确的是( )A. 命题和命题都成立B. 命题和命题都不成立C 命题成立,命题不成立D. 命题不成立,命题成立二多选题(共20分)9. 某医药研究机构开发了一种新药,据监测,如果患者每次按规定的剂量注射该药物,注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线据进一步测定,当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时,治疗该病有效,则( )A. B. 注射一次治疗该病有效时间长度为6小时C. 注射该药物小时后每毫升血液中含药量为0.4微克D. 注射一次治疗该病的有效时间长度为时10. 若10a4,10b25,则( )A. a+b2B. ba

4、1C. ab8lg22D. balg611. 设集合X是实数集R的子集,如果实数满足:对任意,都存在,使得成立,那么称为集合X的聚点.则下列集合中,0为该集合的聚点的有( )A. B. C. D. 整数集Z12. 关于的函数,给出下列四个命题,其中是真命题的为( )A. 存在实数,使得函数恰有2个零点;B. 存在实数,使得函数恰有4个零点;C. 存在实数,使得函数恰有5个零点;D. 存在实数,使得函数恰有8个零点;三填空题(共20分)13. 已知集合A3,a2,1+a,Ba3,a2+1,2a1,若AB3,则a_14. 已知函数在R上可导,对任意x都有,当时,若,则实数的取值范围为_15. 长江

5、流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾效益每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数=(水库实际蓄水量)(水库总蓄水量)100)来衡量每座水库的水位情况假设某次联合调度要求如下:()调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间;()调度后每座水库的蓄满指数都不能降低;()调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变记x为调度前某水库的蓄满指数,y为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y关于x的函数解析式:;则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是_16. 函数,若方程有三个根,且是和的等差中项,

6、则a=_.四解答题(共70分)17. 已知集合,(1)写出集合的所有子集;(2)如果,求实数的取值范围18. 已知函数f(x)的定义域是A,函数g(x)x2+2x在m,1上的值域是1,3,且实数m的取值范围所组成的集合是B.(1)分别求出定义域A与集合B;(2)设集合Cx|x2a6或xa.若BC,求实数a的取值范围.19. 设函数(为实数).(1)若,解不等式;(2)若当时,关于的不等式成立,求的取值范围.20. 已知函数.(1)当时,解不等式;(2)若函数的图象过点,且关于的方程有实根,求实数的取值范围.21. 如图所示,是曲线()上的点,是x轴正半轴上的点,且,均为等腰直角三角形(为坐标原

7、点).(1)求数列的通项公式;(2)设,求.22. 已知函数,()当,时,函数有且只有两个零点,求c的取值范围()若,且对任意,不等式恒成立,求的最大值参考答案一单选题(共40分)1. 设全集,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】由已知可得,因此,.故选:B.2. 已知函数,则( )A. B. -1C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】先求得,然后求得.【详解】,.故选:D3. 的展开式中,第二项为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先表示出展开式的通项,再令r=1可求得.【详解】,第二项是,即=故选:C4.

8、 已知幂函数的图象经过点,且,则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件求出的解析式,再根据的单调性和奇偶性求解即可.【详解】由题意可知,解得,故,易知,为偶函数且在上单调递减,又因为,所以,解得,或.故的取值范围为.故选:C.5. 用符号x表示不超过x的最大整数(称为x的整数部分),如1.2=2,0.2=0,1=1,设函数f(x)=(1lnx)(lnxax)有三个不同的零点x1,x2,x3,若x1+x2+x3=6,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设,由,得或,令,由的图象可知,结合取整函数的定义,即可得出

9、答案.【详解】设,由,得或,解得或,令,令,解得.所以,为增函数,为减函数.又因为,当时,时,作出的图象:由的图象可知:,由, ,得.又因为,若,则,舍去.若,则,或或.要使,则,所以.故选:B6. 高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数”:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,也称取整函数,例如:,.已知,则函数的值域为( )A. B. ,C. ,D. ,0,【答案】B【解析】【分析】利用常数分离法将原函数解析式化为,然后分析函数的值域,再根据高斯函数的含义确定的值域.【详解】,或0,的值域为,.故选:B.7. 已知A、B是抛物线y

10、24x上异于原点O的两点,则“0”是“直线AB恒过定点(4,0)”的()A. 充分非必要条件B. 充要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件【答案】B【解析】【分析】设出A、B的坐标和直线AB的方程,将直线方程代入抛物线方程并化解,进而求出,然后结合根与系数的关系将化简,最后根据逻辑关系得到答案.【详解】根据题意,A、B是抛物线y24x上异于原点O的两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线AB方程为xmy+b,将直线AB方程代入抛物线方程y24x,可得y24my4b0,则y1+y24m,y1y24b,则x1x2+y1y2.若,则b=4,则直线AB的方程为xmy+4,直线AB恒

11、过定点(4,0);若直线AB恒过定点(4,0),则b=4,于是.所以是“直线AB恒过定点(4,0)”的充要条件.故选:B8. 设集合,若是的子集,把中的所有数的和称为的“容量”(规定空集的容量为0),若的容量为奇(偶)数,则称为的奇(偶)子集,命题:的奇子集与偶子集个数相等;命题:当时,的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等,则下列说法正确的是( )A. 命题和命题都成立B. 命题和命题都不成立C 命题成立,命题不成立D. 命题不成立,命题成立【答案】A【解析】【分析】设为的奇子集,构造集合,得到奇子集与偶子集个数相等,正确;计算奇子集容量之和是,等于偶子集的容量之和,得到正确,判断

12、得到答案.【详解】设为的奇子集,令,则是偶子集是奇子集到偶子集的一一对应,且每个偶子集,均恰有一个奇子集,与之对应,故的奇子集与偶子集个数相等,所以正确;对任一,含的子集共有个,用上面的对应方法可知,在时,这个子集中有一半是奇子集,在时,由于,将上边的1换成3,同样可得其中有一半是奇子集,于是计算奇子集容量之和是,根据上面所说,这也是偶子集的容量之和,两者相等,所以当时,的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等,即命题正确,故应选【点睛】本题考查了集合的新定义问题,构造集合是解题的关键.二多选题(共20分)9. 某医药研究机构开发了一种新药,据监测,如果患者每次按规定的剂量注射该药物,

13、注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线据进一步测定,当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时,治疗该病有效,则( )A. B. 注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C. 注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D. 注射一次治疗该病的有效时间长度为时【答案】AD【解析】【分析】利用图象分别求出两段函数解析式,再进行逐个分析,即可解决【详解】由函数图象可知,当时,即,解得,故正确,药物刚好起效的时间,当,即,药物刚好失效的时间,解得,故药物有效时长为小时,药物的有效时间不到6个小时,故错误,正确;注射该药物小时后每毫升血液含药量为微克,故

14、错误,故选:10. 若10a4,10b25,则( )A. a+b2B. ba1C. ab8lg22D. balg6【答案】ACD【解析】【分析】由题意alg4,blg25,利用对数的运算法则和性质依次判断即可【详解】由10a4,10b25,得alg4,blg25,则a+blg1002,且ab4lg2lg54lg2lg48lg22,故选:ACD11. 设集合X是实数集R的子集,如果实数满足:对任意,都存在,使得成立,那么称为集合X的聚点.则下列集合中,0为该集合的聚点的有( )A. B. C. D. 整数集Z【答案】AC【解析】【分析】利用集合聚点的新定义,集合集合的表示及元素的性质逐项判断.【

15、详解】A.因为集合中的元素是极限为0的数列,所以对于任意,都存在,使得成立,所以0为集合的聚点,故正确;B. 因为集合中的元素是极限为1的数列,除第一项外,其余项都至少比0大,所以对于时,不存在满足的x,所以0不为集合的聚点,故错误;C. 对任意,都存在,使得成立,那所以0为集合的聚点,故正确;D. 对任意,如,对任意的整数,都有或成立,不可能有成立,所以0不是集合整数集Z 的聚点,故错误;故选:AC12. 关于的函数,给出下列四个命题,其中是真命题的为( )A. 存在实数,使得函数恰有2个零点;B. 存在实数,使得函数恰有4个零点;C. 存在实数,使得函数恰有5个零点;D. 存在实数,使得函

16、数恰有8个零点;【答案】ABCD【解析】【分析】将问题转化为与图像的交点个数,用导数研究函数的单调性和极值,画出简图即可得到答案.【详解】令,设,容易判断函数为偶函数,现考虑时的情况,时,则函数在单增,在单减,函数极大值为,时,则函数在单增,在单减,函数极大值为,结合函数是偶函数,如示意图, 而问题与图像的交点个数.,由图可知,交点个数可以是2、4、5、8个.故选:ABCD.【点睛】零点个数问题可以转化为两个函数图像的交点个数问题,一般情形是一个函数为常数函数而另一个函数解析式较为复杂,这个时候我们可以借助导数的方法求得函数的性质(单调性、极值等等),然后作出简图,通过数形结合来进行解决.三填

17、空题(共20分)13. 已知集合A3,a2,1+a,Ba3,a2+1,2a1,若AB3,则a_【答案】1【解析】【分析】根据集合交集的运算性质进行求解即可.【详解】解:由AB3可得,3B,2a13或a33或a2+13(舍)当2a13时,a1,此时A3,0,1,B3,4,2,此时AB3,符合题意,当a33时,a0,此时A3,1,0,B1,3,1,AB3,1不符合题意,应舍去所以a1,故答案为:114. 已知函数在R上可导,对任意x都有,当时,若,则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】已知式变形为,引入新函数,它是偶函数,由导数得出单调性,题设不等式化为,再由单调性得解【详解】由得,令,则,

18、是偶函数,时,则,是减函数,因此时,是增函数,所以,即,所以,故答案为:【点睛】本题考查用导数解函数不等式,解题关键是引入新函数,由已知确定奇偶性,由导数确定单调性,把所要解不等式也化为关于的函数不等式,由奇偶性和单调性求解15. 长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾效益每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数=(水库实际蓄水量)(水库总蓄水量)100)来衡量每座水库的水位情况假设某次联合调度要求如下:()调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间;()调度后每座水库的蓄满指数都不

19、能降低;()调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变记x为调度前某水库的蓄满指数,y为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y关于x的函数解析式:;则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是_【答案】【解析】【分析】需满足四个条件:1.自变量的取值范围为;2.函数值域为的子集;3.该函数上恒有;4.该函数上增函数;逐一对照分析求解即可.【详解】 ,该函数在时函数值为,超过了范围,不合题意; 为增函数,且且,则,符合题意; ,当时,不合题意 ,当时,故该函数在上单调递增,又设即, 易知在上为减函数令,则存在,有当,;当,;故在递增,在递减.,故上即上故符合题意故答案为:【点睛】本题考查学生实际运用数

20、学的能力.需要学生具备一定的数学建模思想,将文字语言描述的要求转化为数学表达式,再用数学方法分析求解.16. 函数,若方程有三个根,且是和的等差中项,则a=_.【答案】【解析】【分析】令,分类讨论后得到分段函数,利用的图象有3个不同的交点且交点的横坐标成等差数列可求的值.【详解】令,则方程有三个根即为图象的3个不同交点的横坐标.又,令,则或,解得或.令,则或,解得或即.,而当时,所以,其图象如图(1)所示:因为图象有3个不同交点,故两个函数图象的位置关系仅如图(2)所示:其中为函数的图象与的图象的交点的横坐标且.为的图象与的图象的交点的横坐标,令,两边平方后得到,解得.令,故.因为是和的等差中

21、项,故,解得或 (舍).当时,.故符合题意.故答案为:【点睛】本题考查与分段函数有关的方程的解,注意较为复杂的方程的解可以转化为简单函数的图象的交点来考虑,解题中注意函数图象的合理刻画,本题属于难题.四解答题(共70分)17. 已知集合,(1)写出集合的所有子集;(2)如果,求实数的取值范围【答案】(1),;(2)【解析】【分析】(1)求出,再写出它的子集得解;(2)求出,得到,再对集合分类讨论得解.【详解】(1),集合的所有子集有:,(2)集合,当时,解得,满足题意;当时,解得,综上,实数的取值范围是18. 已知函数f(x)的定义域是A,函数g(x)x2+2x在m,1上的值域是1,3,且实数

22、m的取值范围所组成的集合是B.(1)分别求出定义域A与集合B;(2)设集合Cx|x2a6或xa.若BC,求实数a的取值范围.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)求解f(x)中x的范围可得集合A,根据二次函数的性质求解值域可得集合B.(2)根据BC得到,即可求解a的范围.【详解】(1)由题意得,1x2,A1,2),g(x)x2+2x(x+1)21,当x1时,g(x)的最小值为1,函数g(x)在m,1的值域为1,3,3m1,B3,1,(2)BC,1a,a的取值范围为1,.19. 设函数(为实数).(1)若,解不等式;(2)若当时,关于不等式成立,求的取值范围.【答案】(1)或 (2)【

23、解析】【分析】(1)分打开绝对值,解不等式即可;(2)由可得,再由,可得,结合,即为,分,讨论,即得解【详解】(1)由于,不等式可得,即或解不等式得:或(2)由,解得由,可得当时,该不等式即为,即当时,符合题设条件;当时,由题意得解得综上,实数的取值范围是20. 已知函数.(1)当时,解不等式;(2)若函数的图象过点,且关于的方程有实根,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)当时,解指数、对数不等式求得不等式的解集.(2)利用求得,由分离常数,利用构造函数法,结合函数的值域,求得的取值范围.【详解】(1)当时,.由,得,得,得,解得.故不等式的解集是.(2)因为函数的

24、图象过点,所以,即,解得.所以.因为关于的方程有实根,即有实根.所以方程有实根.令,则.因为,所以的值域为.所以,解得.所以实数的取值范围是.【点睛】研究方程的零点问题,可考虑分离常数法,结合函数值域进行求解.21. 如图所示,是曲线()上的点,是x轴正半轴上的点,且,均为等腰直角三角形(为坐标原点).(1)求数列的通项公式;(2)设,求.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用猜想,利用数学归纳法证明猜想成立.(2)利用裂项求和法求得.【详解】(1)依题意,有,得.由,得,即,由可得,猜测.证明:()当时,可求得,命题成立;()假设当时,命题成立,即有,则当时,由归纳假设得,即得,

25、即,解得(不合题意,舍去).即当时,命题也成立.由()、(),对所有,;(2).【点睛】用数学归纳法进行证明时,证明的过程中,一定要用上时的结论.22. 已知函数,()当,时,函数有且只有两个零点,求c的取值范围()若,且对任意,不等式恒成立,求的最大值【答案】()或;().【解析】【分析】()当,时,函数有且只有两个零点,等价于函数与直线有两个交点,画出图象可求出c的取值范围;()讨论当和当时,运用绝对值不等式的解法和对勾函数的单调性,对讨论,结合不等式的性质可得所求最大值【详解】()有且仅有两个零点等价于函数的图象与直线有两个交点.由图易知:或()当时,.当时,不等式显然成立.当时,故,等价于,对于函数,在上递增,故,对于函数,在上递减,在上递增,当时,在上递减,故,即,所以当时,在上递减,在上递增,故,此时,要使b存在,则,解得:,则,所以,当且仅当时取等号,综上所述,的最大值为,当,时满足要求【点睛】本题考查函数的零点的求法和不等式恒成立问题解法,考查分类讨论思想和转化思想,以及化简运算能力,属于中档题