1、江苏省南通、盐城 、淮安、 宿迁等地部分学校2021-2022学年高一上学期第一次大联考数学试题一单选题（共40分）1. 设全集，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ）A. B. -1C. 0D. 13. 的展开式中，第二项为（ ）A. B. C. D. 4. 已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )A. B. C. D. 5. 用符号x表示不超过x的最大整数（称为x的整数部分），如1.2=2，0.2=0，1=1，设函数f（x）=（1lnx）（lnxax）有三个不同的零点x1，x2，x3，若x1+x2+x3=6，则实数a的取值范围是（ ）A B. C. D. 6. 高
2、斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（ ）A. B. ，C. ，D. ，0，7. 已知A、B是抛物线y24x上异于原点O的两点，则“0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的（）A 充分非必要条件B. 充要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件8. 设集合，若是的子集，把中的所有数的和称为的“容量”（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，命题：的奇子集与偶子集个数相等；命题：当时，的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容
3、量之和相等，则下列说法正确的是（ ）A. 命题和命题都成立B. 命题和命题都不成立C 命题成立，命题不成立D. 命题不成立，命题成立二多选题（共20分）9. 某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）A. B. 注射一次治疗该病有效时间长度为6小时C. 注射该药物小时后每毫升血液中含药量为0.4微克D. 注射一次治疗该病的有效时间长度为时10. 若10a4，10b25，则（ ）A. a+b2B. ba
4、1C. ab8lg22D. balg611. 设集合X是实数集R的子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得成立，那么称为集合X的聚点.则下列集合中，0为该集合的聚点的有（ ）A. B. C. D. 整数集Z12. 关于的函数，给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ）A. 存在实数，使得函数恰有2个零点；B. 存在实数，使得函数恰有4个零点；C. 存在实数，使得函数恰有5个零点；D. 存在实数，使得函数恰有8个零点；三填空题（共20分）13. 已知集合A3，a2，1+a，Ba3，a2+1，2a1，若AB3，则a_14. 已知函数在R上可导，对任意x都有，当时，若，则实数的取值范围为_15. 长江
5、流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）（水库总蓄水量）100）来衡量每座水库的水位情况假设某次联合调度要求如下：（）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：；则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是_16. 函数，若方程有三个根，且是和的等差中项，
6、则a=_.四解答题（共70分）17. 已知集合，（1）写出集合的所有子集；（2）如果，求实数的取值范围18. 已知函数f（x）的定义域是A，函数g（x）x2+2x在m，1上的值域是1，3，且实数m的取值范围所组成的集合是B.（1）分别求出定义域A与集合B；（2）设集合Cx|x2a6或xa.若BC，求实数a的取值范围.19. 设函数（为实数）.（1）若，解不等式；（2）若当时，关于的不等式成立，求的取值范围.20. 已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若函数的图象过点，且关于的方程有实根，求实数的取值范围.21. 如图所示，是曲线（）上的点，是x轴正半轴上的点，且，均为等腰直角三角形（为坐标原
7、点）.（1）求数列的通项公式；（2）设，求.22. 已知函数，（）当，时，函数有且只有两个零点，求c的取值范围（）若，且对任意，不等式恒成立，求的最大值参考答案一单选题（共40分）1. 设全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】由已知可得，因此，.故选：B.2. 已知函数，则（ ）A. B. -1C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得.【详解】，.故选：D3. 的展开式中，第二项为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先表示出展开式的通项，再令r=1可求得.【详解】,第二项是，即=故选：C4.
8、 已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件求出的解析式，再根据的单调性和奇偶性求解即可.【详解】由题意可知，解得，故，易知，为偶函数且在上单调递减，又因为，所以，解得，或.故的取值范围为.故选：C.5. 用符号x表示不超过x的最大整数（称为x的整数部分），如1.2=2，0.2=0，1=1，设函数f（x）=（1lnx）（lnxax）有三个不同的零点x1，x2，x3，若x1+x2+x3=6，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，由，得或，令，由的图象可知，结合取整函数的定义，即可得出
9、答案.【详解】设，由，得或，解得或，令，令，解得.所以，为增函数，为减函数.又因为，当时，时，作出的图象：由的图象可知：，由, ，得.又因为，若，则，舍去.若，则，或或.要使，则，所以.故选：B6. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（ ）A. B. ，C. ，D. ，0，【答案】B【解析】【分析】利用常数分离法将原函数解析式化为，然后分析函数的值域，再根据高斯函数的含义确定的值域.【详解】，或0，的值域为，.故选：B.7. 已知A、B是抛物线y
10、24x上异于原点O的两点，则“0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的（）A. 充分非必要条件B. 充要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件【答案】B【解析】【分析】设出A、B的坐标和直线AB的方程，将直线方程代入抛物线方程并化解，进而求出，然后结合根与系数的关系将化简，最后根据逻辑关系得到答案.【详解】根据题意，A、B是抛物线y24x上异于原点O的两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB方程为xmy+b，将直线AB方程代入抛物线方程y24x，可得y24my4b0，则y1+y24m，y1y24b，则x1x2+y1y2.若，则b=4，则直线AB的方程为xmy+4，直线AB恒
11、过定点（4，0）；若直线AB恒过定点（4，0），则b=4，于是.所以是“直线AB恒过定点（4，0）”的充要条件.故选：B8. 设集合，若是的子集，把中的所有数的和称为的“容量”（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，命题：的奇子集与偶子集个数相等；命题：当时，的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等，则下列说法正确的是（ ）A. 命题和命题都成立B. 命题和命题都不成立C 命题成立，命题不成立D. 命题不成立，命题成立【答案】A【解析】【分析】设为的奇子集，构造集合，得到奇子集与偶子集个数相等，正确；计算奇子集容量之和是，等于偶子集的容量之和，得到正确，判断
12、得到答案.【详解】设为的奇子集，令，则是偶子集是奇子集到偶子集的一一对应，且每个偶子集，均恰有一个奇子集，与之对应，故的奇子集与偶子集个数相等，所以正确；对任一，含的子集共有个，用上面的对应方法可知，在时，这个子集中有一半是奇子集，在时，由于，将上边的1换成3，同样可得其中有一半是奇子集，于是计算奇子集容量之和是，根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等，所以当时，的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等，即命题正确，故应选【点睛】本题考查了集合的新定义问题，构造集合是解题的关键.二多选题（共20分）9. 某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，
13、注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）A. B. 注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C. 注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D. 注射一次治疗该病的有效时间长度为时【答案】AD【解析】【分析】利用图象分别求出两段函数解析式，再进行逐个分析，即可解决【详解】由函数图象可知，当时，即，解得，故正确，药物刚好起效的时间，当，即，药物刚好失效的时间，解得，故药物有效时长为小时，药物的有效时间不到6个小时，故错误，正确；注射该药物小时后每毫升血液含药量为微克，故
14、错误，故选：10. 若10a4，10b25，则（ ）A. a+b2B. ba1C. ab8lg22D. balg6【答案】ACD【解析】【分析】由题意alg4，blg25，利用对数的运算法则和性质依次判断即可【详解】由10a4，10b25，得alg4，blg25，则a+blg1002，且ab4lg2lg54lg2lg48lg22，故选：ACD11. 设集合X是实数集R的子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得成立，那么称为集合X的聚点.则下列集合中，0为该集合的聚点的有（ ）A. B. C. D. 整数集Z【答案】AC【解析】【分析】利用集合聚点的新定义，集合集合的表示及元素的性质逐项判断.【
15、详解】A.因为集合中的元素是极限为0的数列，所以对于任意，都存在，使得成立，所以0为集合的聚点，故正确；B. 因为集合中的元素是极限为1的数列，除第一项外，其余项都至少比0大，所以对于时，不存在满足的x，所以0不为集合的聚点，故错误；C. 对任意，都存在，使得成立，那所以0为集合的聚点，故正确；D. 对任意，如，对任意的整数，都有或成立，不可能有成立，所以0不是集合整数集Z 的聚点，故错误；故选：AC12. 关于的函数，给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ）A. 存在实数，使得函数恰有2个零点；B. 存在实数，使得函数恰有4个零点；C. 存在实数，使得函数恰有5个零点；D. 存在实数，使得函
16、数恰有8个零点；【答案】ABCD【解析】【分析】将问题转化为与图像的交点个数，用导数研究函数的单调性和极值，画出简图即可得到答案.【详解】令，设，容易判断函数为偶函数，现考虑时的情况，时，则函数在单增，在单减，函数极大值为，时，则函数在单增，在单减，函数极大值为，结合函数是偶函数，如示意图， 而问题与图像的交点个数.，由图可知，交点个数可以是2、4、5、8个.故选：ABCD.【点睛】零点个数问题可以转化为两个函数图像的交点个数问题，一般情形是一个函数为常数函数而另一个函数解析式较为复杂，这个时候我们可以借助导数的方法求得函数的性质（单调性、极值等等），然后作出简图，通过数形结合来进行解决.三填
17、空题（共20分）13. 已知集合A3，a2，1+a，Ba3，a2+1，2a1，若AB3，则a_【答案】1【解析】【分析】根据集合交集的运算性质进行求解即可.【详解】解：由AB3可得，3B，2a13或a33或a2+13（舍）当2a13时，a1，此时A3，0，1，B3，4，2，此时AB3，符合题意，当a33时，a0，此时A3，1，0，B1，3，1，AB3，1不符合题意，应舍去所以a1，故答案为：114. 已知函数在R上可导，对任意x都有，当时，若，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】已知式变形为，引入新函数，它是偶函数，由导数得出单调性，题设不等式化为，再由单调性得解【详解】由得，令，则，
18、是偶函数，时，则，是减函数，因此时，是增函数，所以，即，所以，故答案为：【点睛】本题考查用导数解函数不等式，解题关键是引入新函数，由已知确定奇偶性，由导数确定单调性，把所要解不等式也化为关于的函数不等式，由奇偶性和单调性求解15. 长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）（水库总蓄水量）100）来衡量每座水库的水位情况假设某次联合调度要求如下：（）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（）调度后每座水库的蓄满指数都不
19、能降低；（）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：；则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是_【答案】【解析】【分析】需满足四个条件：1.自变量的取值范围为；2.函数值域为的子集；3.该函数上恒有；4.该函数上增函数；逐一对照分析求解即可.【详解】 ，该函数在时函数值为，超过了范围，不合题意； 为增函数，且且，则，符合题意； ，当时，不合题意 ，当时，故该函数在上单调递增，又设即， 易知在上为减函数令，则存在，有当，；当，；故在递增，在递减.，故上即上故符合题意故答案为：【点睛】本题考查学生实际运用数
20、学的能力.需要学生具备一定的数学建模思想，将文字语言描述的要求转化为数学表达式，再用数学方法分析求解.16. 函数，若方程有三个根，且是和的等差中项，则a=_.【答案】【解析】【分析】令，分类讨论后得到分段函数，利用的图象有3个不同的交点且交点的横坐标成等差数列可求的值.【详解】令，则方程有三个根即为图象的3个不同交点的横坐标.又，令，则或，解得或.令，则或，解得或即.，而当时，所以，其图象如图（1）所示：因为图象有3个不同交点，故两个函数图象的位置关系仅如图（2）所示：其中为函数的图象与的图象的交点的横坐标且.为的图象与的图象的交点的横坐标，令，两边平方后得到，解得.令，故.因为是和的等差中
21、项，故，解得或 （舍）.当时，.故符合题意.故答案为：【点睛】本题考查与分段函数有关的方程的解，注意较为复杂的方程的解可以转化为简单函数的图象的交点来考虑，解题中注意函数图象的合理刻画，本题属于难题.四解答题（共70分）17. 已知集合，（1）写出集合的所有子集；（2）如果，求实数的取值范围【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）求出，再写出它的子集得解；（2）求出，得到，再对集合分类讨论得解.【详解】（1），集合的所有子集有：，（2）集合，当时，解得，满足题意；当时，解得，综上，实数的取值范围是18. 已知函数f（x）的定义域是A，函数g（x）x2+2x在m，1上的值域是1，3，且实数
22、m的取值范围所组成的集合是B.（1）分别求出定义域A与集合B；（2）设集合Cx|x2a6或xa.若BC，求实数a的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）求解f（x）中x的范围可得集合A，根据二次函数的性质求解值域可得集合B.（2）根据BC得到，即可求解a的范围.【详解】（1）由题意得，1x2，A1，2），g（x）x2+2x（x+1）21，当x1时，g（x）的最小值为1，函数g（x）在m，1的值域为1，3，3m1，B3，1，（2）BC，1a，a的取值范围为1，.19. 设函数（为实数）.（1）若，解不等式；（2）若当时，关于不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）或 （2）【
23、解析】【分析】（1）分打开绝对值，解不等式即可；（2）由可得，再由，可得，结合，即为，分，讨论，即得解【详解】（1）由于，不等式可得，即或解不等式得：或（2）由，解得由，可得当时，该不等式即为，即当时，符合题设条件；当时，由题意得解得综上，实数的取值范围是20. 已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若函数的图象过点，且关于的方程有实根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时，解指数、对数不等式求得不等式的解集.（2）利用求得，由分离常数，利用构造函数法，结合函数的值域，求得的取值范围.【详解】（1）当时，.由，得，得，得，解得.故不等式的解集是.（2）因为函数的
24、图象过点，所以，即，解得.所以.因为关于的方程有实根，即有实根.所以方程有实根.令，则.因为，所以的值域为.所以，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】研究方程的零点问题，可考虑分离常数法，结合函数值域进行求解.21. 如图所示，是曲线（）上的点，是x轴正半轴上的点，且，均为等腰直角三角形（为坐标原点）.（1）求数列的通项公式；（2）设，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用猜想，利用数学归纳法证明猜想成立.（2）利用裂项求和法求得.【详解】（1）依题意，有，得.由，得，即，由可得，猜测.证明：（）当时，可求得，命题成立；（）假设当时，命题成立，即有，则当时，由归纳假设得，即得，
25、即，解得（不合题意，舍去）.即当时，命题也成立.由（）、（），对所有，；（2）.【点睛】用数学归纳法进行证明时，证明的过程中，一定要用上时的结论.22. 已知函数，（）当，时，函数有且只有两个零点，求c的取值范围（）若，且对任意，不等式恒成立，求的最大值【答案】（）或；（）.【解析】【分析】（）当，时，函数有且只有两个零点，等价于函数与直线有两个交点，画出图象可求出c的取值范围；（）讨论当和当时，运用绝对值不等式的解法和对勾函数的单调性，对讨论，结合不等式的性质可得所求最大值【详解】（）有且仅有两个零点等价于函数的图象与直线有两个交点.由图易知：或（）当时，.当时，不等式显然成立.当时，故，等价于，对于函数，在上递增，故，对于函数，在上递减，在上递增，当时，在上递减，故，即，所以当时，在上递减，在上递增，故，此时，要使b存在，则，解得：，则，所以，当且仅当时取等号，综上所述，的最大值为，当，时满足要求【点睛】本题考查函数的零点的求法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力，属于中档题