1、( (1 1) )投影及投影向量的定义投影及投影向量的定义 如图，设 a，b 是两个非零向量，ABa，CDb，我们考虑如下变换：过AB的起点A 和终点 B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A1，B1得到A1B1，我们称上述变换为向量 a 向向量 b_，A1B1叫做向量 a 在向量 b 上的_向量. 投影投影 投影投影 1 1、投影向量及投影的概念、投影向量及投影的概念 复习回顾复习回顾 (2)(2)计算公式：计算公式： 1 1、投影向量及投影的概念、投影向量及投影的概念 ar在br方向上的投影向量为(|cos )|babrrr，投影为br在ar方向上的投影向量为(|cos )|abarr
2、r，投影为|cosar|cosbr复习回顾复习回顾 2 2、向量的数量积及其几何意义、向量的数量积及其几何意义 数量积a br rg等于的ar模|ar与br在ar方向上的投影|cosbr的乘积(或a br rg等于的br模|br与ar在br方向上的投影|cosar的乘积)，即复习回顾复习回顾 |b|cos 复习回顾复习回顾 3 3、平面向量数量积的运算律、平面向量数量积的运算律 设向量设向量a，b，c和实数和实数，向量的数量积满足下列运算律：向量的数量积满足下列运算律： (1)交换律交换律：a bb a； (2)数乘结合律数乘结合律：(a) ba (b)(a b)a b； (3)分配律：分配律
3、：(ab) ca cb c。 提醒提醒 (1)(1)向量数量积向量数量积不满足结合律不满足结合律，即，即(a b)ca(b c)； (2)(2)向量数量积向量数量积不满足消去律不满足消去律，即，即a bb c(b0)ac不不成立成立。 复习回顾复习回顾 问题情境问题情境 1、已知| 4a r，| 5b r，|21abrr，则a br r，(22 ) (3 )ababrrrr2、已知| 2a r，|2b r，a与b的夹角为45o，要使barr与ar垂直，则关于向量夹角问题的结论总结：设a br r，是两个不共线的非零向量，其夹角为a br r，(1)a br r，为锐角0/a bab r rrr
4、；(2)a br r，为直角0a b r r；(3)a br r，为钝角0/a bab r rrr。数学建构数学建构 数学应用数学应用 类型一类型一 利用向量数量积求模的问题利用向量数量积求模的问题 例 1、已知| 4a r，| 3b r，(1)若a与b的夹角为 60o，求(2 ) (3 )ababrrrr的值；(2)若(23 ) (2)61ababrrrr，求a与b的夹角。变式拓展变式拓展 已知向量xabrrr，2yabu rrr，且| | | 1abrr，abrr，(1) 求| xr，|yu r；(2) (2)若xr与yu r的夹角为，求cos的值。数学应用数学应用 类型二类型二 利用向量
5、数量积求夹角利用向量数量积求夹角 例 2、已知12eeu r ur，是夹角为 60o的两个单位向量，122aeeru ru r，1254beeru rur，求证：abrr。变式拓展变式拓展 已知a br r，是两个非零向量，且3abrr与75abrr垂直，4abrr与72abrr垂直，求a与b的夹角。例 3、已知|2a r，| 3b r，a与b的夹角为 45o，求当向量abrr与abrr的夹角为锐角时的取值范围。数学应用数学应用 类型二类型二 利用向量数量积求夹角利用向量数量积求夹角 课堂检测课堂检测 1、设m nu r r，是夹角为 60o的两个非零向量，则2amnru rr，23bnmrru r的夹角为2、已知12eeu r ur，是夹角为60o的两个单位向量，则当向量12eeu ru r与12eeu ru r的夹角为钝角时的取值范围为关于向量夹角问题的结论总结：设a br r，是两个不共线的非零向量，其夹角为a br r，(1)a br r，为锐角0/a bab r rrr；(2)a br r，为直角0a b r r；(3)a br r，为钝角0/a bab r rrr。课堂小结课堂小结