1、2.1.2 两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定 1. 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，当直线当直线l与与x轴相交时，取轴相交时，取x轴作为基准，轴作为基准， x轴正方轴正方向与直线向与直线l向上方向之间所成的角向上方向之间所成的角叫做直线叫做直线l的的倾斜角倾斜角. 复习回顾复习回顾 2. 倾斜角不是倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率斜率，常用常用k来表示来表示，即，即k=tan ( 90 ) 3. 经过两点经过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)的直线的斜率公式的直线的斜率公式: 211221().yyk
2、xxxx 为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，并导出轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题问题. 下面，我们通过下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系直线的斜率判
3、断两条直线的位置关系. 思考思考 我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行相交、平行. 当两条当两条直线直线l1与直线与直线l2平行时，它们的斜率平行时，它们的斜率k1与与k2满足什么关系满足什么关系? 1 2 1l2lO y x 1. 当当斜率存在斜率存在时时, 设直线设直线l1, l2的斜率分别为的斜率分别为k1, k2, 则有则有 1212/.llkk 若没有特别说明，说“若没有特别说明，说“两条直线两条直线l1, l2”时，指两条”时，指两条不重合的直线不重合的直线. 3. 若直线若直线l1, l2重合，此时仍然有重合，此时仍然有k1
4、=k2. 用用斜率证明三点斜率证明三点共线共线时，常常用到这个结论时，常常用到这个结论 . 2. 当当斜率不存在斜率不存在时时, 它们的倾斜角都为它们的倾斜角都为 90, 显然有显然有l1 / l2. 1. 两条直线平行两条直线平行 例例2 已知已知A(2, 3), B(-4, 0), P(-3, 1), Q(-1, 2), 试判断直线试判断直线AB与与PQ的位置关系的位置关系, 并证明你的结论并证明你的结论. O y x B(-4,0) B(2,3) P(-3,1) Q(-1,2) 解解：如如图图示示, ,由由已已知知可可得得；BAk 3012( 4)2. .PQk 2111( 3)2，BA
5、PQkk ABPQ/ /. 例例3 已知四边形已知四边形 ABCD的四个顶点分别为的四个顶点分别为A(0, 0), B(2, -1), C(4, 2), D(2, 3),试判断四边形试判断四边形ABCD的形状的形状, 并给出证明并给出证明. O y x A B(2,-1) C(2,3) D(2,3) 解解：如如图图示示, ,由由已已知知可可得得，ABCDkk 1122，BCDAkk3322，ABCDBCDAkkkk，ABCDBCDA/ / /.因因此此四四边边形形是是平平行行四四边边形形ABCD.2. 两条直线垂直两条直线垂直 思考思考 显然显然, 当两条直线相交时当两条直线相交时, 它们的斜
6、率不相等它们的斜率不相等; 反之反之, 当两条直线的斜当两条直线的斜率不相等时率不相等时, 它们相交它们相交, 在相交的位置关系中在相交的位置关系中, 垂直垂直是最特殊的情形是最特殊的情形, 当直当直线线l1, l2垂直时垂直时, 它们的斜率除了不相等外它们的斜率除了不相等外, 是否还有特殊的数量关系是否还有特殊的数量关系? 1 2 1l2lO y x 设两条直线设两条直线l1, l2的斜率分别为的斜率分别为k1, k2, 则直线则直线l1, l2的方向向量分别是的方向向量分别是 , 于是于是 12=(1,), =(1,)akbkab1212=0=01 1+=0llaba bk k 12=1.
7、k k 也就是说也就是说 1212=1.llk k 当直线当直线l1或或l2的的倾斜角为倾斜角为90时时, 若若l1l2, 则另一条则另一条 直线的直线的倾斜角为倾斜角为0; 反之亦然反之亦然. 如果两条直线如果两条直线都有斜率都有斜率, 且它们互相垂直且它们互相垂直, 那么它们的那么它们的斜率之积等于斜率之积等于1; 反之反之, 如果两条直线的如果两条直线的斜率之积等于斜率之积等于1, 那那么它们么它们互相垂直互相垂直. 即即 1212=1.llk k 例例4 已知已知A(-6, 0), B(3, 6), P(0, 3), Q(6, -6), 试判断直线试判断直线AB与与PQ的位置关系的位置
8、关系. 解解：由由已已知知可可得得，ABk 23. .PQk 32，ABPQkk 23()132ABPQ . 例例5 已知已知A(5, -1), B(1, 1), C(2, 3)三点三点, 试判断试判断ABC的形状的形状. O y x B(1,1) C(2,3) A(5,-1) 分分析析：如如图图示示, ,猜猜想想, ,是是直直角角三三角角形形ABBCABC.解解：由由已已知知可可得得, ,BABCkk 12.2由由, ,得得, ,即即ABBCkkABBCABC 190 .是是直直角角三三角角形形ABC .1 2 1l2lO y x 1. 当当斜率存在斜率存在时时, 设直线设直线l1, l2的
9、斜率分别为的斜率分别为k1, k2, 则有则有 1212/.llkk2. 当当斜率不存在斜率不存在时时, 它们的倾斜角都为它们的倾斜角都为90, 显然有显然有l1 / l2. 12121.llkk 1 2 1l2lO y x 当直线当直线l1或或l2的的倾斜角为倾斜角为90时时, 若若l1l2, 则另一条直线的则另一条直线的倾斜角为倾斜角为0; 反之亦然反之亦然. 1. 判断下列各对直线是否平行或垂直判断下列各对直线是否平行或垂直: (1) 经过经过A(2, 3), B(-1, 0)两点的直线两点的直线l1, 与经过点与经过点P(1, 0)且斜率为且斜率为1的直线的直线l2; (2) 经过经过
10、C(3, 1), D(-2, 0)两点的直线两点的直线l3, 与经过点与经过点M(1, -4)且斜率为且斜率为-5的直线的直线l4. 11211203:(1)1,.12(1,0)/.kkkPlll 解解又又点点不不在在 上上, ,341234011(2)51.235.kkk kll ， 2. 试确定试确定m的值的值, 使过使过A(m, 1), B(-1, m)两点的直线与过两点的直线与过P(1, 2), Q(-5, 0)两点两点的直线的直线: (1) 平行；平行； (2)垂直垂直. 1021: (1),.15 13ABPQmkkm 解解由由斜斜率率公公式式可可得得111/.132ABPQmAB
11、 PQkkmm 若若, ,则则, ,即即, ,解解得得11(2)112.13ABPQmABPQkkmm 若若, ,则则, ,即即, ,解解得得3 【巩固训练巩固训练1】若若A(3, 2), B(6, 1), C(a, 4)三点共线三点共线, 则则a的值等于多少的值等于多少? 【巩固训练巩固训练2】点点M(1, 2)在直线在直线l上的射影是上的射影是H(-1, 4), 求直线求直线l的倾斜角的倾斜角? 【巩固训练巩固训练3】在平行四边形在平行四边形ABCD中中, 已知已知A(3, -2), B(5, 2), C(-1,4), 求求D的坐标的坐标? 45 (3, 0) 【巩固训练巩固训练4】已知已
12、知A(-1, -1), B(1, 3), C(2, 5), 证明证明A, B, C三点共线三点共线. 3( 1)53:2,2.1( 1)21ABBCkk 解解 由由斜斜率率公公式式得得=ABBCkk，, ,.AB BCBA B C又又有有公公共共点点 , ,三三点点共共线线解解1： 设设 D(x，y)， 则由已知则由已知 A x y O B C D BCAD 得得 1 BCADkk即即 1332121 xy032 yx即即 又又 由由B,D,C三点共线，三点共线， 得得 BCBDkk 即即 332132 xy即即 012 yx 联立联立 解得：解得： .1 yx.2)，1(1)，(1 ADD，
13、【巩固训练巩固训练5】已知已知ABC, A(2, -1), B(3, 2), C(-3, -1), BC边上的高为边上的高为AD,求求D点及向量点及向量 的坐标的坐标. AD解解2： 设设 D(x，y)， 则由已知得则由已知得 ，1)，2( yxAD，3)，6( BC，BCAD ，0 BCAD，01)3(2)6( yx.32 yx即即 ，BC/BD又又，2)3( yxBD，3)6( ，BC，02)6(3)3( yx.yx12 即即 联立联立 解得：解得： .1 yx.2)，1(1)，(1 ADD，A x y O B C D 【巩固训练巩固训练5】已知已知ABC, A(2, -1), B(3,
14、2), C(-3, -1), BC边上的高为边上的高为AD,求求D点及向量点及向量 的坐标的坐标. AD【巩固训练巩固训练6】已知的顶点已知的顶点B(2, 1), C(-6, 3)其垂心为其垂心为H(-3, 2), 求顶点求顶点A的坐标的坐标. A B C H .解：解： 则由题意则由题意 BCAH ACBH 且且 设顶点设顶点A(x, y), 得得 1 BCAHkk1 ACBHkk即即 1)41(32 xy1)51(63 xy解方程组得：解方程组得：x =19, y =62. A(19, 62). 1两条直线两条直线(不重合不重合)平行的判定平行的判定 类型类型 斜率存在斜率存在 斜率不存在斜率不存在 前提条件前提条件 1290 1290 对应关系对应关系 l1l2 l1l2两直线的斜率都两直线的斜率都 图示图示 k1k2 不存在不存在 小结： 2两条直线垂直的判定两条直线垂直的判定 图示图示 对应对应 关系关系 l1l2(两直线的斜率都存在两直线的斜率都存在) l1的斜率不存在，的斜率不存在，l2的斜率为的斜率为0 k1k21 l1l2 作业： 完成教材58页习题2.1第46,9,10题