1、2.4.1 2.4.1 圆圆的标准方程的标准方程 我们知道，在平面直角坐标系中，两点确我们知道，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线线在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 复习引入复习引入 A M r x O y 圆的定义圆的定义: : 平面内到平面内到定点定点的距离等于的距离等于定长定长的所有点的集合。的所有点的集合。 定点定点 定长定长 圆心圆心 半径半径 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了 因此因此一个圆最基本的要素是一个圆最基本的要素
2、是: :圆心和半径圆心和半径 1.1.圆的定义圆的定义 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了 因此一个圆最基本要素是因此一个圆最基本要素是: :圆心和半径圆心和半径 x O y A (a,b) M r (x, y) 圆的基本要素圆的基本要素 如图，在直角坐标系中，圆心（点）如图，在直角坐标系中，圆心（点）A A的位置用坐的位置用坐标标(a(a，b)b)表示，半径表示，半径r r的大小等于圆上任意点的大小等于圆上任意点M(x(x，y)y)与圆心与圆心A(aA(a，b)b)的距离的距离 圆心为圆心为A A的圆就是集合的圆就是集合 圆上任意点圆上任意点
3、M(x(x，y)y)与圆心与圆心A(aA(a，b)b)之间的距离能之间的距离能用什么公式表示？用什么公式表示？ 22(xa)(yb)r222(xa)(yb)r 22122121PPxxyy根据两点间距离公式：根据两点间距离公式： 则点则点M、A A间的距离为：间的距离为： 22MAxayb.又又 x x O O y y A A (a,b)(a,b) M r r (x,y)(x,y) 圆的方程圆的方程 222)()(rbyax2.2.圆的标准方程圆的标准方程 我们把这个方程称为我们把这个方程称为圆心为圆心为A(aA(a，b)b)，半径为，半径为r r 的圆的方程，把它叫做的圆的方程，把它叫做圆的
4、标准方程圆的标准方程. . 注：注：三个独立条件三个独立条件a a、b b、r r确定一个圆的方程确定一个圆的方程. . 222xaybr()()()()特殊位置的圆方程特殊位置的圆方程 因为圆心是原点因为圆心是原点O(0,0)O(0,0)，将，将a a0 0，b b0 0和半径和半径r r 代入圆的标准方程：代入圆的标准方程： 圆心在坐标原点，半径长为圆心在坐标原点，半径长为r r 的圆的方程是什么？的圆的方程是什么？ 得得： 222) 0() 0(ryx 整理得：整理得： 222ryx * *注：注：特别的，圆心在坐标原点，半径长为特别的，圆心在坐标原点，半径长为r r 的圆的方程是的圆的
5、方程是 222xyrX y 0 2 -2 1.1.求圆的圆心及半径求圆的圆心及半径 (1)x(1)x2 2+y+y2 2=4 (2)(x+1)=4 (2)(x+1)2 2+y+y2 2=1=1 练习练习: 解：解：(1)(1)圆心圆心(0(0，0)0)，半径，半径r= 2r= 2 (2)(2)圆心圆心( (1 1，0)0)，半径，半径r=1r=1 222)()(rbyaxx x y y 0 2 2 C(0,0),r=2C(0,0),r=2 x x y y 0 1 C(C(1 1，0),r=10),r=1 圆心为圆心为A(aA(a，b)b)，半径长为，半径长为r r 2.2.求圆心和半径求圆心和
6、半径 圆圆(x(x1)1)2 2+(y+(y1)1)2 2=9=9 圆圆(x(x2)2)2 2+(y+4)+(y+4)2 2=2=2 圆心圆心(2(2，4)4)，半径为，半径为 圆圆(x+1)(x+1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=m=m2 2 圆心圆心(1(1，1)1)，半径为，半径为3 3 圆心圆心( (1 1，2)2)，半径为，半径为|m|m| 222)()(rbyax圆心为圆心为A(aA(a，b)b)，半径为，半径为r r的圆的圆 请看课本请看课本P85P85：练习：练习1 1 22(1)(x3)(y4)5(2)r|CM |522(x+8)(y3)25222)()(rbyax
7、表示圆心为表示圆心为A(aA(a，b)b)，半径长为，半径长为r r的圆的圆 例例1 写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半径长等于5的圆的的圆的方程，并判断点方程，并判断点 ， 是否在这是否在这个圆上个圆上 ) 3, 2( A)7, 5(1M2M ( 2, 1) 解：解：圆心是圆心是 ，半径长等于，半径长等于5 5的圆的标的圆的标准方程是：准方程是： ) 3, 2( A 把把 的坐标代入方程的坐标代入方程 左右两边相等，点左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；在这个圆上； )7, 5(1M25) 3()2(22yx1M1M例题讲解例题讲解 2M
8、( 2, 1)2M2M 把点把点 的坐标代入此方程，左右两边的坐标代入此方程，左右两边不相等，点不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点的坐标不适合圆的方程，所以点 不不在这个圆上在这个圆上 怎样判断点怎样判断点 在圆在圆 内呢？还是在圆外呢？内呢？还是在圆外呢？ ),(000yxM222)()(rbyaxA x y o M2 M3 M1 从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方将这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则该点在这个圆上，反之，如果不能使圆的程成立，则该点在这个圆上，反之，如果
9、不能使圆的方程成立，则该点不在这个圆上方程成立，则该点不在这个圆上 点在圆外点在圆外点到圆心的距离点到圆心的距离大于大于半径半径r.r. 点在圆内点在圆内点到圆心的距离点到圆心的距离小于小于半径半径r;r; 点在圆上点在圆上点到圆心的距离点到圆心的距离等于等于半径半径r;r; 3.3.点与圆的位置关系点与圆的位置关系 怎样判断点怎样判断点 在圆在圆 内呢？还是在圆外呢？内呢？还是在圆外呢？ ),(000yxM222)()(rbyaxA x y o M3 M1 从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成
10、这个点的坐标代入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上 设点设点M到圆心的距离为到圆心的距离为d d，则可，则可以看到：以看到： 点在圆内点在圆内 drdrdr 3.3.点与圆的位置关系点与圆的位置关系 222)()(rbyax1.1.圆的标准方程：圆的标准方程： 表示表示圆心为圆心为A(aA(a，b)b)，半径为，半径为r r的圆。的圆。 课堂小结：课堂小结： * *注：注：特别的，圆心在坐标原点，半径长为特别的，圆心在坐标原点，半径长为r r 的圆的圆的方程是的方程是 222ryx2.2.点与圆的位置关系
11、点与圆的位置关系 A x y o M3 M1 如果设点如果设点M M到圆心的距离为到圆心的距离为d,d,则则 点在圆外点在圆外 drdr ； 点在圆上点在圆上 d=rd=r ； 点在圆内点在圆内 drdr 请看课本请看课本P85P85：练习：练习3 3 请看课本请看课本P85P85：练习：练习3 3 圆心：直径的中点圆心：直径的中点 半径：直径长度的一半半径：直径长度的一半 解：解：设点设点C C（a a，b b）为直径）为直径 的中点，则的中点，则 21PP4652 ，a9362 b b221rCP459610（） （）圆方程为：圆方程为： 225610（x x）（y y）CM10 1310
12、CNCNCQ310CQ310因此点因此点M在圆上，点在圆上，点N N在圆外，点在圆外，点Q Q在圆内。在圆内。 圆心坐标为圆心坐标为C C（5 5，6 6） 1P (4,9)2P (6,3)C求以求以C(1C(1，3)3)为圆心，并且和直线为圆心，并且和直线3x3x- -4y4y- -7=07=0相切的圆相切的圆. . 圆心：已知圆心：已知 半径：圆心到切线的距离半径：圆心到切线的距离 解：解： 设所求圆的半径为设所求圆的半径为r r，则，则 2 22 24 43 3| |7 7- -3 34 4- -1 13 3| |r r = 5 51616所求圆的方程为：所求圆的方程为： C y x O
13、 M 补充练习：补充练习： 圆心圆心C(1C(1，3)3)到切线到切线3x3x- -4y4y- -7=07=0的距离为：的距离为： 解解：设所求圆的方程是：设所求圆的方程是 (1)(1) 222)()(rbyax因为因为A(5A(5，1)1)，B(7B(7，3)3)，C(2C(2，8)8)都在圆上，都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（所以它们的坐标都满足方程（1 1）于是）于是 222222222(5a)(1b)r(7a)( 3b)r(2a)( 8b)r 待定系数法待定系数法 235 a a解解得得 b br rABCABC的外接圆的方程为：的外接圆的方程为： 例例2:2: 的三个顶点的坐标分
14、别的三个顶点的坐标分别A(5A(5，1)1)， B(7B(7，3)3)，C(2C(2， 8)8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程 ABC 请看课本请看课本P85P85：练习：练习4 4 例例3:3: 已知圆心为已知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1, 1)A(1, 1)和和B(2, B(2, 2)2)，且圆，且圆心心C C在直线在直线l：x xy+1=0y+1=0上，求圆心为上，求圆心为C C的圆的标准方程的圆的标准方程 分析分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小圆心为小圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1, 1)A(1
15、, 1)和和B(2, B(2, 2)2)，由于圆心，由于圆心C C与与A, A, B B两点的距离相等，所以圆心两点的距离相等，所以圆心C C在线段在线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线 上又上又圆心圆心C C在直线在直线l 上，因此圆心上，因此圆心C C是直线是直线l与直线与直线 的交点，半径长的交点，半径长等于等于|CA|CA|或或|CB|CB| ll半径：圆心到圆上一点的距离半径：圆心到圆上一点的距离 x y O C A( (1, ,1) ) B( (2, ,- -2) ) :10l xy 弦弦ABAB的垂的垂直平分线直平分线 D 解解：因为因为A(1A(1，1)1)和和B(2B(2，2
16、)2)，所以线段，所以线段ABAB中点中点D D坐标为坐标为 ),21,23(直线直线ABAB的斜率的斜率: : 31212ABk因此线段因此线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线 的方程是的方程是 l)23(3121xy即即 033 yx解方程组解方程组 01033yxyx得得 . 2, 3yx所以圆心所以圆心C C的坐标是的坐标是 )2, 3(圆心为圆心为C C的圆的半径长的圆的半径长 5)21 ()31 (|22 ACr所以，圆心为所以，圆心为C C的圆的标准方程是的圆的标准方程是 25)2()3(22yx例例3:3: 已知圆心为已知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1A(1，1)1)和和B(2B(2，2)2)，且圆心，且圆心C C在在直线直线l：x xy+1=0y+1=0上，求圆心为上，求圆心为C C的圆的标准方程的圆的标准方程