1、2.4 圆的方程圆的方程 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 多边形和圆是平面几何中的两类基本图形多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些可以运用它研究多边形这些“直线形直线形”图形，解决边所在直线的平行或垂图形，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程. 类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我
2、们首先考虑确定一类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要索个圆的几何要索. 思考思考 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢? 我们知道，我们知道，圆圆是平面上是平面上到定点的距离等于定长到定点的距离等于定长的的点的点的集合集合. 在平面直角坐标系中，如果一个圆的在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半圆心坐标和半径径确定了，圆就唯一确定了，由此，确定了，圆就唯一确定了，由此， 我们可以建立圆上我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程. r M x A O y 探究探究
3、 若一个圆的圆心为若一个圆的圆心为A(a, b), 半径为半径为r, 那么如何求此圆的方程那么如何求此圆的方程 ? 设设M(x, y)是圆上任意一点是圆上任意一点, 根据定义根据定义, 点点M到圆心到圆心A的距的距离等于离等于r, 所以圆所以圆A就是集合就是集合 P M | |MA|r . 由两点间的距离公式由两点间的距离公式, 点点M(x,y)满足的条件可表示满足的条件可表示 把上式两边平方把上式两边平方, 得得 r M x A(a,b) O y (x,y) 22()(),xaybr 由上述讨论可知由上述讨论可知, 圆上任意点圆上任意点M的坐标都满足方程的坐标都满足方程, 反之反之, 若点若
4、点M的坐标满的坐标满足方程足方程, 这就说明点这就说明点M与圆心与圆心A的距离为的距离为r, 即点即点M在圆心为在圆心为A的圆上的圆上. 这时我们这时我们把把方程方程称为以圆心为称为以圆心为A(a,b), 半径为半径为r的的圆的标准方程圆的标准方程. 222()()xaybr 特别地特别地, 以原点为圆心以原点为圆心, r为半径的圆的标准方程是为半径的圆的标准方程是 222.xyr1. 是关于是关于x、y的二元二次方程的二元二次方程; 3. 确定圆的方程必须具备三个独立条件确定圆的方程必须具备三个独立条件, 即即 a、b、r . 4.若圆心在坐标原点若圆心在坐标原点, 则圆方程为则圆方程为 x
5、2 + y 2 = r2 2. 明确给出了圆心坐标和半径明确给出了圆心坐标和半径. 圆的标准方程：圆的标准方程： 以以A(a,b)为圆心，为圆心，r为半径的为半径的圆的标准方程圆的标准方程是是 222()()xaybrr M x A(a,b) O y (x,y) 方程的特点方程的特点: 例例1 求圆心为求圆心为A(2,3), 半径为半径为5的圆的标准方程的圆的标准方程, 并判断点并判断点M1(5,7), M2(2,1)是否在这个圆上是否在这个圆上. x A(2,-3) O y M(-2,-1) 解：解： 圆心为圆心为A(2, -3)，半径为，半径为5的圆的标准方程是的圆的标准方程是 (x-2)
6、2+(y+3)2=25. 把点把点M1(5, -7)的坐标代入圆的方程，得的坐标代入圆的方程，得 (5-2)2+(-7+3)2=25，即点，即点M1的坐标满足圆的方程，的坐标满足圆的方程，所以点所以点M1在这个圆上在这个圆上. 把点把点M2(-2, -1)的坐标代入圆的方程，得的坐标代入圆的方程，得 (-2-2)2+(-1+3)2=20，即点，即点M2的坐标不满足圆的方的坐标不满足圆的方程，所以点程，所以点M2不在这个圆上不在这个圆上 (如图示如图示). M1(5,-7) 探究探究 点点M0(x0, y0)在圆在圆x2y2r2内的条件是什么内的条件是什么? 在圆在圆x2y2r2外的条件外的条件
7、又是什么又是什么? 22200 xyr；222000(,)+=M xyxyr点点在在圆圆上上22200 xyr；222000(,)+=M xyxyr点点在在圆圆内内22200.xyr222000(,)+=M xyxyr点点在在圆圆外外1. 写出下列圆的标准方程写出下列圆的标准方程: (1) 圆心为圆心为C(3, 4), 半径是半径是 (2) 圆心为圆心为C(8, 3), 且经过点且经过点M(5, 1). 5；22:(1) (3)(4)5;xy解解22(2) (8)(3)25.xy课本课本P84 2. 已知圆的标准方程是已知圆的标准方程是(x3)2(y2)216, 借助计算工具计算借助计算工具计
8、算, 判断下列各判断下列各点在圆上、圆外点在圆上、圆外, 还是在圆内还是在圆内. (1) M1(4.30, 5.72)；(2) M2(5.70, 1.08)；(3) M3(3,6). 221:(1)(4.33)( 5.722)15.528416,.M 解解点点在在圆圆内内221(2)(5.73)(1.082)16.776416,.M点点在在圆圆外外221(3)(33)( 62)1616,.M 点点在在圆圆上上课本课本P84 3. 已知已知P1(4, 9), P2(6, 3)两点两点, 求以线段求以线段P1P2为直径的圆的标准方程为直径的圆的标准方程, 并判断点并判断点M(6, 9), N(3,
9、 3), Q(5, 3)在圆上在圆上, 圆内圆内, 还是在圆外还是在圆外. 结论：以结论：以P1(x1, y1), P2(x2, y2) 为直径端点的圆的方程为为直径端点的圆的方程为 P2(x2, y2) x P1(x1, y1) O y M(x,y) 1212()()()()0 xxxxyyyy22(5)(6)10.xy解解：.MNQ点点在在圆圆上上, , 在在圆圆外外, , 在在圆圆内内课本课本P84 例例2 ABC 的三个顶点分别是的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, 3), C(2, 8), 求求ABC的外接圆的的外接圆的标准方程标准方程. ABC的外接圓的圆心是的外接圓的圆心是
10、ABC的外心的外心, 即即ABC三边垂直平分线的交点三边垂直平分线的交点. x O y A(5,1) C(2,-8) B(7,-3) 解解1：(待定系数法待定系数法) 222()()xaybr设设所所求求方方程程为为, ,则则有有222222222(5)(1)(7)( 3)(2)( 8)abrabrabr ，235.abr 解解得得,22(2)(3)25.ABCxy的的外外接接圆圆的的方方程程为为 例例2 ABC 的三个顶点分别是的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, 3), C(2, 8), 求求ABC的外接圆的的外接圆的标准方程标准方程. ABC的外接圓的圆心是的外接圓的圆心是ABC的
11、外心的外心, 即即ABC三边三边垂直平分线的交点垂直平分线的交点. x O y A(5,1) C(2,-8) B(7,-3) r M 解解2： 11(6)280.2AByxxy线线段段的的垂垂直直平平分分线线方方程程为为, ,即即119()10.22BCyxxy 线线段段的的垂垂直直平平分分线线方方程程为为, ,即即28023.10 xyxyxy 联联立立方方程程, ,解解得得, ,(23)| 5.MrMA所所求求圆圆的的圆圆心心坐坐标标为为，, ,半半径径为为22(2)(3)25.ABCxy的的外外接接圆圆的的方方程程为为 4.已知已知AOB的三个顶点分别是点的三个顶点分别是点A(4, 0)
12、, O(0, 0), B(0, 3), 求求AOB的外接圆的外接圆的标准方程的标准方程. x O(0,0) y A(4,0) B(0,3) 解解1：(待定系数法待定系数法) 222()()xaybr设设所所求求方方程程为为, ,则则有有222222222(4)(0)(0)(0)(0)(3)abrabrabr ，352.22abr解解得得,22325(2)().24AOBxy的的外外接接圆圆的的方方程程为为课本课本P84 4.已知已知AOB的三个顶点分别是点的三个顶点分别是点A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3), 求求AOB的外接圆的外接圆的标准方程的标准方程. x O(0,0)
13、y A(4,0) B(0,3) 解解2： Rt.AOBAOBAB由由是是可可知知, ,的的外外接接圆圆的的直直径径就就是是斜斜边边3(2)2|5.22ABr 所所求求外外接接圆圆的的圆圆心心坐坐标标为为 ， ，半半径径为为22325(2)().24AOBxy的的外外接接圆圆的的方方程程为为课本课本P84 解解1：(待定系数法待定系数法) 222()(),xaybr由已知条件可得由已知条件可得 22222210(1)(1)(2)( 2)ababrabr ，3,2,5.abr 解解得得22(3)(2)25.Cxy圆圆心心为为 的的圆圆的的标标准准方方程程为为 例例3 已知圆心为已知圆心为C的圆经过
14、点的圆经过点A(1, 1)和和B(2, 2), 且圆心且圆心C在直线在直线 l：x y 10上，求此圆的标准方程上，求此圆的标准方程 设圆设圆C的方程为的方程为 解解2： 例例3 已知圆心为已知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1, 1)和和B(2, 2), 且圆心且圆心C在直线在直线 l：x y 10上，求此圆的标准方程上，求此圆的标准方程 x O y A(1,1) B(2,-2) l ()10.C a bab 设设, , ,则则有有| |CACB 又又由由, ,可可得得2222(1)(1)(2)(2) .abab32.ab 联联立立, ,解解得得, ,( 32)| 5.CrCA, ,，22(
15、3)(2)25.xy所所求求圆圆的的方方程程为为解解3： 例例3 已知圆心为已知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1, 1)和和B(2, 2), 且圆心且圆心C在直线在直线 l：x y 10上，求此圆的标准方程上，求此圆的标准方程 x O y A(1,1) B(2,-2) l 3 121()3.2 221ABABk 的的中中点点坐坐标标为为， , ,113()330.232AByxxy的的垂垂直直平平分分线线方方程程为为, ,即即( 32)| 5.CrCA, ,，22(3)(2)25.xy所所求求圆圆的的方方程程为为33023.10 xyxyxy 联联立立方方程程, ,解解得得, ,练习练习 1
16、 过点过点 A(1,1), B(1, 1)且圆心在直线且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是上的圆的方程是 ( ) A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24 C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24 C x O y B(-1,1) A(1,-1) l l 练习练习2 求点求点P(-2, -3)到圆到圆C: (x-1)2+(y-1)2=4上点的距离上点的距离d的最大值和最小值的最大值和最小值. x y O C(1,1) P( (- -2, ,- -3) ) M N max|dPMPCr22(12)(13)27.max|dPNPCr22(12)(13)23.1. 圆的标准方程：圆的标准方程： 以以A(a,b)为圆心，为圆心，r为半径的为半径的圆的标准方程圆的标准方程是是 222()().xaybr小结：小结： 2. 点点M0(x0, y0)与圆与圆x2y2r2的位置关系：的位置关系： 22200 xyr；222000(,)+=M xyxyr点点在在圆圆上上22200 xyr；222000(,)+=M xyxyr点点在在圆圆内内22200.xyr222000(,)+=M xyxyr点点在在圆圆外外3. 以以P1(x1, y1), P2(x2, y2) 为直径端点的圆的方程为为直径端点的圆的方程为 1212()()()()0.xxxxyyyy