1、2.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率 问题：一条直线的位置由哪些条件确定呢问题：一条直线的位置由哪些条件确定呢？ 复习引入复习引入 一一点点和和一一个个方方向向也也可可以以确确定定一一条条直直线线两两点点确确定定一一条条直直线线y x l O A B A BAB ,.设设为为直直线线上上的的两两点点 则则就就是是这这条条直直线线的的方方向向向向量量 ,所所以以 两两点点确确定定一一条条直直线线可可以以归归结结为为一一点点和和一一个个方方向向确确定定一一条条直直线线. .O P x y l1 l2 l3 l Pl ll123,?思思考考在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中 经经过过一一点点 可可
2、以以作作无无数数条条直直线线它它们们组组成成一一个个直直线线束束 这这些些直直线线的的区区别别是是什什么么： 在平面直角坐标系中，我们规定在平面直角坐标系中，我们规定水平水平直线的方向向右直线的方向向右，其他直线，其他直线向上的方向向上的方向为为这条直线的方向这条直线的方向 探究新知探究新知 2 1 3 1.1.方向方向 追问：追问：这些直线的区别是它们的方这些直线的区别是它们的方向不同如何表示这些直线的方向？向不同如何表示这些直线的方向？ 探究新知探究新知 2.2.倾斜角倾斜角 yolx 当直线当直线l与与x轴相交时，我们取轴相交时，我们取x轴作为基准，轴作为基准，x轴正向与直线轴正向与直线
3、l向向上方向之间所成的上方向之间所成的角角叫做直线的叫做直线的 倾斜角倾斜角。 规定规定:1.当直线与当直线与x轴平行或重合时，轴平行或重合时， 2.当直线与当直线与x轴垂直时，轴垂直时， 000900180 取取值值范范围围： o x y o x y o x y o x y （1） （2） （3） （4） 练习练习: 下列图中标出的直线的倾斜角对不对？下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？如果不对，违背了定义中的哪一条？ 下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法 P xyP xyxlxlPlP PP 111222121212
4、(),()(),.,是是直直线线 上上的的两两点点. .由由两两点点确确定定一一条条直直线线直直线线 的的倾倾斜斜角角可可一一 设设其其中中唯唯一一确确定定 所所知知 直直线线 由由定定与与两两点点的的坐坐标标有有点点内内以以 可可以以推推断断在在联联系系. .llOPO PlPPP PlP xyP xyP Pxx 12121112221122,(1)(0,0),( 3,1),?(2),( 1,1),( 2,0)(),?(3),?,()(),在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中 设设直直线线 的的倾倾斜斜角角为为 . .已已知知直直线线 经经过过与与的的坐坐标标有有什什么么关关系系类类似似地地
5、如如果果直直线线 经经过过与与的的坐坐标标又又有有什什探探究究：么么关关系系一一般般地地 如如果果直直线线 经经过过两两点点与与的的坐坐标标有有么么怎怎样样的的关关系系那那探究新知探究新知 OPOP (1),( 3,1),. 对对于于问问题题如如图图 向向量量且且直直线线的的倾倾斜斜角角为为lOPO P (1)(0,0),( 3,1),?已已知知直直线线 经经过过与与的的坐坐标标有有什什么么关关系系O x y ( 3,1)P3.3.倾斜角的正切值倾斜角的正切值 13tan.3,3由由正正切切函函数数的的定定义义 有有P PP POPPOP 2121 ( 12,10)( 12,1).,( 12(
6、2),1),.如如图图：平平移移向向量量至至则则点点 的的坐坐标标且且直直 线线的的倾倾斜斜角角 对对于于也也是是问问题题O x y P 1(1, 1)P 2( 2,0)PlPPP P 1212(2),( 1,1),( 2,0),?类类似似地地如如果果直直线线 经经过过与与的的坐坐标标又又有有什什么么关关系系 1tan1212,由由正正切切函函数数的的定定义义 有有P PP PxxyyP PPPxxyyOOP 12122121122121,(,),(),.,如如图图 当当向向量量的的方方向向向向上上时时平平移移向向量量到到则则点点 一一般般地地且且直直线线的的倾倾斜斜角角的的为为也也是是坐坐标
7、标xlP xyP xyP Px 1112122212(3),(),()()?,一一般般地地 如如果果直直线线 经经过过两两点点与与的的坐坐标标有有怎怎样样么么的的关关系系那那 P O x y P1 P2 O x y P2 P1 P yyxx 2121ta,n由由正正切切函函数数的的定定义义 有有 P PP Pxxyyyyyxxyxx 2121121122122121ta,(,)n的的方方向向向向上上时时 如如图图也也有有同同样样 当当 P O x y P2 P1 O x y P1 P2 P yllP xyP xyyxxxx 111122211222(),()()t,n,a, 综综上上可可知知
8、直直线线 的的倾倾斜斜角角 与与直直线线 上上的的两两点点的的坐坐标标有有如如下下关关系系：kk tan., 我我们们把把一一条条直直线线的的倾倾斜斜角角 的的正正切切值值叫叫做做这这条条直直线线的的斜斜率率常常用用小小写写字字母母 表表示示 即即斜斜率率探究新知探究新知 4.4. 斜率斜率 =.,.铅铅直直高高度度坡坡度度水水平平 日日常常生生活活中中常常用用“坡坡度度”表表示示倾倾斜斜面面的的倾倾斜斜程程度度：当当直直线线的的倾倾斜斜角角为为锐锐角角时时 直直线线的的斜斜率率与与坡坡度度度度是是类类似似的的宽宽练习练习: 已知直线的倾斜角已知直线的倾斜角,求直线的斜率：求直线的斜率： 13
9、0a （ ）3330tank245a （ ）145tank360a （ ）360tank5150a （ ）4120a （ ）3)120180tan(k33)150180tan(k0180,?思思考考当当直直线线的的倾倾斜斜角角由由逐逐渐渐增增大大到到时时 其其斜斜率率如如何何变变化化 为为什什么么：2 x ,90,., 由由正正切切函函数数的的单单调调性性 倾倾斜斜角角不不同同的的直直线线 其其斜斜率率也也不不同同 因因此此 我我们们可可以以用用斜斜率率表表示示倾倾斜斜角角不不等等于于的的直直线线相相对对 轴轴的的表表示示直直倾倾斜斜程程度度 进进而而线线的的方方向向. .3.532.521.
10、510.50.511.522.543233323435327383O k P xyP xyxx 11122212(,),(,)(), 如如果果直直线线经经过过两两点点那那么么由由可可得得如如下下的的斜斜率率公公式式： 我们发现，在平面直角坐标系中，我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角倾斜角和和斜率斜率分别从分别从形形和和数数两个角度刻画了直线相对于两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度轴的倾斜程度 5.5.直线上任意两点纵横坐标的差商直线上任意两点纵横坐标的差商 2121yykxx2P1P1212yykxx或2P1P追问：追问：1.当直线平行于当直线平行于x轴，或与轴，或与x轴重合时，上述公式
11、还轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？适用吗？为什么？ xyo),(111yxP),(222yxP1x2x1212xxyyk答：成立，因为分子为答：成立，因为分子为0，分母不为分母不为0，所以，所以k =0 . 追问：追问：2.当直线平行于当直线平行于y轴，或与轴，或与y轴重合时，上轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？述公式还适用吗？为什么？ xyo),(111yxP),(222yxP1y2y1212xxyyk不存在不存在k)(90tan,90答：斜率不存在，因为分母为答：斜率不存在，因为分母为0. tank k 0tankk不不存存在在 tan 0180 010（ ） , 0020 90（
12、） 0390（ ） , 00490 180（ ） 90, 90结结论论：倾倾斜斜角角是是的的直直线线没没有有斜斜率率倾倾斜斜角角不不是是的的直直线线都都有有斜斜率率. .追问：追问：3.是否每条直线都有斜率是否每条直线都有斜率? P PxxxP PP PxxyyxxyykxxxxkP P 12121212212121212121121,1,(,),1,=(1,), 当当直直线线与与 轴轴不不垂垂直直时时此此时时向向量量也也是是直直线线的的方方向向向向量量 且且它它的的坐坐标标为为即即其其中中 是是直直线线的的斜斜率率. .P PP PP PxxyyP P121212122121,(,). 我我
13、们们知知道道 直直线线上上的的以以及及都都是是直直线线的的方方向向向向量量. .直直线线的的方方向向向向量量与与它它平平行行的的向向为为量量向向量量的的坐坐标标lykxkx y ,( ,),.因因此此 若若直直线线 的的斜斜率率为为它它的的一一个个方方向向向向量量的的坐坐标标为为则则,(3,2),( 4,1),(0, 1),1.ABCAB BC CA如如图图 已已知知求求直直线线的的斜斜率率并并判判断断这这些些直直线线的的倾倾斜斜角角是是锐锐角角还还是是钝钝角角例例121,437ABABk 解解：直直线线的的斜斜率率1121,0( 4)42BCBCk 直直线线的的斜斜率率2( 1)31.303
14、CACAk 直直线线的的斜斜率率00,;0,.ABCABCkkABCAkBC 由由及及可可知知 直直线线与与的的倾倾斜斜角角均均为为锐锐角角由由可可知知 直直线线的的倾倾斜斜角角为为钝钝角角典例分析典例分析 课堂练习课堂练习 1.求经过下列两点的直线的斜率求经过下列两点的直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角并判断其倾斜角是锐角还是钝角: (1)C(18, 8), D(4, -4); (2)P(0, 0), Q(-1,3). 2.已知已知a,b,c是两两不等的实数是两两不等的实数,求经过下列两点的直线的倾斜角求经过下列两点的直线的倾斜角: (1)A(a, c), B(b, c); (2)C(a, b), D (a, c); (3) P(b, b+c),Q(a,c+a). 3.经过经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为两点的直线的方向向量为(1,k),求求k的值的值. 研究路径：研究路径： 2. 2.倾斜角倾斜角 3. 3.倾斜角的正切值倾斜角的正切值 4. 4. 斜率斜率 5. 5.直线上任意两点纵横坐标的差商直线上任意两点纵横坐标的差商 课堂小结课堂小结 1. 1.方向方向