1、221221221212121)()()(|zzyyxxPPPPPP复习回顾 1.空间两点之间的距离 2222|()PQPlAPAQaa u点 到直线 的距离为 2. 点到直线的距离 AuQlaP两条平行直线的距离两条平行直线的距离 思考：两条异面直线的距离怎么求？思考：两条异面直线的距离怎么求？ 3. 点到平面的距离 A P Q l nAP nnAP nPQAPnnn l PQ PQ直线与平行平面的距离直线与平行平面的距离 两平行平面的距离两平行平面的距离 （1）建立立体图形与空间向量的联系，）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示用空间向量表示问题问题中中涉及的点涉及的点、直线直线、
2、平面平面，把立体几何问题转化为向量问题；，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过）通过向量运算向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译”“翻译”成相应的成相应的几何结论几何结论. （化为向量问题）（化为向量问题） （进行向量运算）（进行向量运算） （回到图形）（回到图形） 用空间向量解决立体几何问题的“用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”: 与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量 下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所
3、成的角以及平面与平面的夹角 直接引入 先回顾一下向量与向量所成的角如何求？ ab|a bcosa bC A B D M N 例1 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中， M, N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值 AMCNMACNMA CNMACN,.,分分析析： 求求直直线线和和夹夹角角的的余余弦弦值值可可以以转转化化为为求求向向量量与与夹夹角角的的余余弦弦值值 为为此此需需要要把把向向量量用用适适当当的的基基底底表表示示出出来来 进进而而求求得得向向量量夹夹角角的的余余弦弦值值典例分析 解：化为向量问题 MACACMCACBCA CB CDCNC
4、ACD,11(,),22如如图图 以以作作为为基基底底 则则C A B D M N CNMAAMCN,cos. 设设向向量量与与的的夹夹角角为为则则直直线线与与夹夹角角的的余余弦弦值值等等于于进行向量运算 CN MACACDCACBCACA CBCD CACD CB211() ()22111124241111128442 ABCACDMACN,3.2又又和和均均为为等等边边三三角角形形所所以以CN MACNMA122cos33322 所所以以C A B D M N 回到图形问题 2.3AMCN所所以以直直线线和和夹夹角角的的余余弦弦值值为为探究新知 llu v12,., 可可以以转转化化为为两
5、两条条异异面面直直线线的的来来两两条条异异面面直直线线所所成成求求得得 也也就就是是说说 若若异异面面直直线线所所 一一般般成成的的角角为为其其方方向向向向量量分分别别是是方方的的角角向向量量地地向向的的夹夹角角则则u vu vu vuvuvcoscos, (0,2 异异面面直直线线所所成成角角的的范范围围： 思考：我们在例1用向量方法解决了异面直线AM和CN所成角的问题，你能用向量方法求直线AB与平面BCD所成的角吗？ 探究新知 C A B D M N ,可可以以转转化化为为直直 类类似似线线的的方方向向向向量量与与平平直直线线面面的的与与平平面面所所成成的的角角地地法法向向量量的的夹夹角角
6、. . A B C unABBBABun,., 如如图图 直直线线与与平平面面 相相交交于于点点 设设直直线线 与与平平 面面 所所成成的的角角为为直直线线的的方方向向向向量量平平面面 的的法法向向量量为为则则u nu nu nununsincos, 探究新知 0,2 线线面面角角的的范范围围： ,90. 如如图图 平平面面 与与平平面面 相相交交 形形成成四四个个二二面面角角 我我们们把把这这四四个个二二面面角角中中的的二二面面角角称称为为平平面面 与与平平面面不不于于的的夹夹角角大大 探究新知 思考：图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？ nnnn1212,.
7、 平平面面 与与平平 类类似似于于两两条条异异面面直直线线所所成成的的角角 若若平平面面的的法法向向量量分分别别是是即即和和则则向向量量 和和 的的夹夹角角或或为为面面 的的夹夹其其补补角角角角 1n2nnnnnn nnnnn1212121212coscos, 探究新知 , 设设的的夹夹面面平平面面角角为为平平与与则则0,2 面面面面角角的的范范围围： A B C C1 A1 B1 x y z P Q R ACBPBCQABCA B CACCBAAAA BBAQAQ BRRBA BRPQRC11111111111,2,3,2,2,90 ,.2 中中为为的的中中点点 点点分分如如别别在在棱棱上上
8、图图 在在直直三三棱棱柱柱求求平平面面与与平平面面夹夹角角的的余余弦弦值值例例PQRA B CPQRA B C111111 ,法法向向量量的的夹夹角角分分析析：因因为为平平面面与与平平面面的的夹夹角角可可以以转转化化为为平平面面与与平平面面的的所所以以只只需需要要求求出出这这两两个个平平面面的的法法向向量量的的夹夹角角即即可可. .典例分析 解：化为向量问题解：化为向量问题 CC A C B C CxyzA B CnPQRnPQRA B Cnn1111111112111112,. ,.,所所在在直直线线为为 轴轴、 轴轴、 轴轴 建建立立如如图图所所示示的的空空间间直直角角坐坐标标系系设设平平
9、面面的的法法向向量量为为的的法法向向量量 以以为为原原点点平平面面则则平平为为与与平平面面的的夹夹角角面面的的夹夹角角是是与与或或其其补补角角就就A B C C1 A1 B1 x y z P Q R 进行向量运算进行向量运算 C CA B CA B Cn11111111,(0,0,1) 因因为为平平面面所所以以平平面面的的一一个个法法向向量量为为PQRPQPR,(0,1, 3),(2, 0, 2),(0,2,1)(2, 1, 1),(0, 1, 2)根根据据所所建建立立的的空空间间直直角角坐坐标标系系 可可知知 所所以以y nx y znPQxyzxzyznPRyz222( , , ),302022002 设设则则nnnn nnn2121212(3,4,2),(0,0,1) (3,4,2)2 29cos,29129 取取则则回到图形问题回到图形问题 PQRA B Cn n111122 29,coscos,29 设设平平面面与与平平面面的的夹夹角角为为则则PQRA B C1112 29.29故故平平面面与与平平面面的的夹夹角角的的余余弦弦值值为为nnnnn nnnnn1212121212coscos, 面面面面角角： 课堂小结 u nu nu nununsincos, 线线面面角角： u vu vu vuvuvcoscos, 线线线线角角：