1、1.空间中点、直线和平面的向量表示 (1)点点+位置向量 (2)线点+方向向量 (3)平面点+法向量 复习回顾 OP=OP OAta=OP OAtAB=0PAP|a2.空间中直线、平面的平行 lluuuu121212/R,. 使使得得nnnn1212/R, 使使得得lunu n/0 思考： 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直； 直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行； 平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直 探究新知 l2 思考1：如何
2、用直线的方向向量表示两条直线的垂直？ u1 u2 l1 的方向向量，则分别是直线，设2121, lluu1212120lluuu u探究新知 l u uln设是直线 的方向向量， 是平面的法向量，则/,lunRun 使得n 思考思考2 2：如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面垂直关系？ 探究新知 n1 的法向量，则，分别是平面设21,nn12120nnn n思考思考3 3：由平面与平面的垂直的关系，可以得到平面的法向量有什么关系？ n2 分析： 为基底，根据条件，可以1AAADAB，和平面并用基向量表示111BBDDAC的法向量即可是平面再通过向量的运算证明111BBDDCA例1
3、1111111111601BBDDCABADADAABAAAADABDCBAABCD平面，求证：直线，中，如图，在平行六面体1A1C1BCBAD1D1=0|P AC BP典例分析 解： 为空间的一个基底，且，则，设1cbacAAbADaABcBBabBDcbaCA11，601111BADADAABAAAADAB，211222cacbbacba，1A1C1BCBAD1D例1 1111111111601BBDDCABADADAABAAAADABDCBAABCD平面，求证：直线，中，如图，在平行六面体【基底法】比【坐标法】更具有一般性 典例分析 11(,)BDD BP 则对于平面上的，存在唯一的有序
4、实数对任意一点，使得1BPBDBBBPCA1)(11BBBDCA111BBCABDCAccbaabcba)()()(0的法向量是平面111BBDDCA111BBDDCA平面为基向量，上，取在平面111BBBDBBDD1A1C1BCBAD1D例2 证明“平面与平面垂直的判断定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 求证：已知，如图，, lll u n 证明：nul的法向量平面的方向向量取,l的法向量是平面u的法向量是平面，nl nu 典例分析 .,)2(,/) 1 (.) 3 , 2 , 1 (),(), 3(. 1的值求若的关系式；求若的法向量是平面的方向向量，是直线已知bal
5、balnlRbababau/) 1 (l解：nu 0)(3)(23babanu035ba课堂练习 l)2(解：nu/3213baba23215ba96baba.,)2(.) 3 , 2 , 1 (),(), 3(. 1的值求若的法向量是平面的方向向量，是直线已知balnlRbababau课堂练习 1111111.,1. 2BCCADDDCDADDCBAABCD求证：间直角坐标系为单位正交基底建立空为原点，以的棱长为已知正方体解：由题意可得：11(1 0 1)(1 1 0)(0 1 0)(0 1 1), , , , , ,ABCC) 101(,) 111(11，BCCA01) 1(01) 1(1
6、11BCCA11BCCA11BCCAA1 B1 C1 D1 A B C D zyxO课堂练习 .12. 31111111EFDEADBCFCDECCBCABDCBAABCD平面求证：平面的中点为的中点，为，中，如图，在长方体1,DDA DC DDxyz解：以 为原点所在直线分别为 轴、轴、 轴 建立如图所示空间直角坐标系.)0 , 2 ,21(),0 , 1 , 0(),1 , 0 , 0(),0 , 0 , 1 (1FEDA1111(101)(011)(21)2D AD ED F， ， ， ，x y z A1 D1 C1 B1 A C B O E F 11111()nx y zEAD设, ,
7、是平面的一个法向量，则1111111100n D Axzn D Eyz1111xzyz即课堂练习 11111zxy取，则) 111 (1，n121 (2) 1 1 1 10n n 21nn 11EFDEAD平面平面课堂练习 x y z A1 D1 C1 B1 A C B O E F 22221()nxyzEAD设,是平面的一个法向量，则21222212212020nD FxyznD Eyz22222xzyz 即222121zxy 取，则，2(211)n ， ，线线平行线线平行 线面平行线面平行 面面平行面面平行 线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直 面面垂直面面垂直 21/ll2121,/uuRuu使得/l0nunu/2121,/nnRnn使得21ll02121uuuu/lnuRnu使得,/02121nnnn课堂小结