1、平面向量 空间向量 代数运算 推广 建系 空间向量解决了哪些几何问题？ 距离问题 夹角问题 平行、垂直问题 几何中 点 线 面 向量中 ？ ？ ？ 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面 如何用向量表示空间中的一个点？ 思考思考1 1 定点O P p 向量的坐标 起点的坐标 终点的坐标 坐标 如图，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量 来表示，我们把向量 称为点P的位置向量. OPOP点点+位置向量 P 几何中 向量中 点 方向向量 a A B
2、 点P在直线l上 充要条件 一个点 一个方向 + 如何用向量表示空间中的直线？ 思考思考2 2 l 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 = a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知： AB存在实数t，使得 ，即 AP=taAP=t AB线点+方向向量 （1）不共线的三点确定一个平面 （2）直线和直线外一点确定一个平面 （3）两条相交直线确定一个平面 （4）两条平行直线确定一个平面 （5）一个定点和两个定方向确定一个平面？ 如何用向量表示空间中的平面？ 思考思考3 3 O P a b OP= x + yab 这样点O与向量a,b不仅可以确定平面,还可以具体表示出内的任意一点.这种
3、表示在解决几何问题时有重要作用. a b B C P A O ,OPABCxOPOAxAByyAC 进进一一步步地地 如如图图 取取定定空空间间任任意意一一点点可可以以得得到到 空空间间一一点点 位位于于平平面面内内的的充充要要条条件件是是存存在在实实数数使使 我们把式称为我们把式称为空间平面空间平面ABC的向量表的向量表示式示式由此可知，空间中任意平面由空间一由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个及两个不共线向量唯一确定唯一确定 y x z D A B C D1 A1 B1 C1 M 例1 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，
4、DA, DC, DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系. （1）求平面BCC1B1的一个法向量； （2）求平面MCA1的一个法向量 ( ),;BCC By111分析： 平面与 轴垂直其法向量可以直接写出( ),.MCAMC MA CA1112 平面可以看成由中的两个向量所确定 运用法向量与它们的垂直关系 可转化为数量积运算求得法向量解: (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量. 111(2)4,3,2, ,(3, 2,0),(0, 4,0),(3,0, 2)( 3,2,0),(0, 2,2).ABBCCCMABM C
5、 AMCMA 因为是的中点 所以的坐标分别为因此21221221( , , ),23203220nx y zMCAnMC nMAnMCxyxznMAyzyz 设是平面的法向量 则所以213,2,3.(2,3,3).zxynMCA 取则于是是平面的一个法向量z是自由变量 最好法向量不最好法向量不要出现分数，要出现分数，方便运算方便运算 求平面法向量的步骤 1.判断下列命题是否正确 (1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量。 （ ） (2)若v是直线l的方向向量，则v(R)也是直线l的方向向量。 （ ） (3)在空间直角坐标系中, j=(0,0,1)是坐标平面Oxy的一个法向量。 ( )
6、2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， =a , =b , 1=c , O是BD1与B1D的交点. 以a,b,c为空间的一个基底，求直线OA的一个方向向量. 111222AO=+abc3在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，以D为原点，以13, 14, 12为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面ACD1的一个法向量 x y z D A B C D1 A1 B1 C1 1、空间中点、直线和平面的向量表示 点点+位置向量 线点+方向向量 平面点+法向量 设向量 选向量 列方程组 解方程组 赋非零值 得结论 2、归纳求平面法向量的步骤：