1、 章头图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？ 拉力 风力 重力 一、空间向量的定义及相关概念 1.定义 在空间,我们把具有 和 的量叫做空间向量, 空间向量的大小叫做空间向量的 . 大小 方向 长度或模 2.空间向量及其模的表示方法 空间向量用字母a,b,c,表示. 空间向量也用有向线段来表示，有向线段的长度表示空间向量的模. 若向量a的起点是A, 终点是B, 则向量a也可以记作 , 其模记为 . ABaAB或 A B a 名称 概念 记法 零向量 单位向量 相反向量 共线向量或 平行向量 相等向量 与向量a长度
2、相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量 3 3.空间向量的相关概念 0aab1a 长度为0的向量 模为1的向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量 方向相同且模相等的向量 ab 注意： 0 aA B a 对于任意一个空间向量，我们都可以将其放在一个平面内研究，这时这个空间向量就是我们熟悉的平面向量了. 空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合. 如图所示，已知向量a,b，以任意点O为起点，作向量 . , abOAOB思考： 在同一平面内吗？ ,OA OB思考：任意两个空间向量是否可以成为同一平面内的两个
3、向量？ b a O b a 因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 探究：数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是研究它们的运算.那可以把平面向量的线性运算和运算律推广到空间向量吗？ 我们把平面向量的线性运算及运算律推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算： .abOAABOB(1) .abOA OCCA(2) 0.a当时，OAMN=0.a 0当时，0.a当时，OAPQ(3) a b a+b O A B C a-b a O A a(0) P Q a(0) N M 探究：探
4、究：在在平行六面体平行六面体 中中（如图如图），），分别标出分别标出 表示的向量表示的向量. . AB+ AD+ AA ,AB+ AA + ADABCD - A B C D A B C B A D C D AB+AD=AC+AA =AB+ AD+ AA =. AC,AC. AC AB+AA, ABAB +AD=. ACAB+ AA + AD=. AC.AB+ AA + ADAB+ AD+ AA =(1) (2) 探究：探究：在在平行六面体平行六面体 中中（如图如图），），分别标出分别标出 表示的向量表示的向量. .从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？从中你能体会向量加法运算的交换律和结
5、合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？么关系？ AB+ AD+ AA ,AB+ AA + ADABCD - A B C D A B C B A D C D 可以发现，可以发现， .AB+ AA + ADAB+ AD+ AA =利用向量的交换律和结合律，可以得到： 有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变. 三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量. O l 我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的 .这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一
6、点和它的方向向量确定. 如图, O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a, 则对于直线l上任意一点P, 存在实数, 使得 . OPa方向向量 发现：类似于平面向量共线的充要条件，对于任意两个空间向量a,b(b0)，a,b共线的充要条件是存在实数，使得a=b. 探究：对任意两个空间向量a,b，如果a=b(R)，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a=b? a P a 如图，如果表示向量a的有向线段 所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. OA 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于同一平面的向量，叫做共面向量. a a l a O
7、 A 思考：我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的.那么，什么情况下三个空间向量共面呢？ 探究：对平面内任意两个不共线向量a,b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量p可以写成p=xa+yb，其中(x, y)是唯一确定的有序实数对.对两个不共线的空间向量a,b，如果p=xa+yb，那么向量p与向量a,b有什么位置关系?反过来，向量p与向量a,b有什么位置关系时，p=xa+yb? 发现： 如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x, y)，使p=xa+yb. OEOFOGOH= k.OAOBO
8、COD例1 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA,OB, OC,OD，在四条射线上分别取点E,F,G,H，使 求证：E,F,G,H四点共面. 证明：因为，所以OEOFOGOH= kOAOBOCOD.OE= kOA,OF = kOB , OG= kOC,OH = kOD因为四边形是平行四边形，所以 ABCD ，AC = AB+ AD因此EG=OGOE= kOCkOA= kAC- = k( AB+ AD)= k(OBOA+ODOA)-. =OFOE+OHOE= EF+EH-由向量共面的充要条件可知，共面，EH,EF,EG 又过同一点 ，从而四点共面EH,EF,EGEE,F,G
9、,H. 1.如图，E,F分别是长方体ABCD-ABCD的棱AB,CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1) ; (2) ; (3) ; (4) . AA -CB AB- AD+B D AA + AB+B CAB+CFA B D C A B D C E F = AA +BC= AA + AD= ADAA -CB解：(1) = AB +B C.= AC AA + AB+B C(2) = 0. . AB- AD+B D DB+B D(3) 12= AB+CD12= AB+BA12-= ABAB.= AEAB+CF(4) 2.如图平行六面体ABCD-ABCD，用 表示 及 . A
10、B,AD,AAA C,BDDBA C = AC - AA = AB+ AD - AABD = BD+DD = AD- AB+ AADB = DB+ AA = AB - AD+ AAA B C B A D C D 解： 3.如图，已知正方体ABCD-ABCD，E,F分别是上底面AC和侧面CD的中心，求下列各式中x, y的值： B C A D B C A D E F AE = AA +xAB+ yAD(2) AC = x( AB+BC+CC )(1) AF = AD+xAB+ yAA(3) 1.x=解：(1) 1122.x=,y =(2) 1122.x=,y =(3) 题 型 训 练题 型 训 练
11、 【例 1】给出下列命题：若|a|b|，则 ab 或 ab；若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|b|；在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，ACA1C1；若空间向量 m，n，p 满足 mn，np，则 mp.其中正确命题的序号是_18 类型1 空间向量的有关概念 【例 2】(1)如图所示，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量AC1的有()(ABBC)CC1； (AA1A1D1)D1C1； (ABBB1)B1C1； (AA1A1B1)B1C1. A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 19 类型2 空间向量的线性运算 D (2)已知正四棱锥 P- ABCD
12、，O 是正方形 ABCD 的中心，Q 是 CD的中点，求下列各式中 x，y，z 的值 OQPQyPCzPA； PAxPOyPQPD. 20 12xy22xy，【例 3】(1)设 e1，e2是空间两个不共线的向量，已知ABe1ke2，BC5e14e2， DCe12e2， 且 A， B， D 三点共线， 实数 k_.21 类型3 共线问题 1 (2)如图所示，已知四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形且不共面，M，N 分别是 AC，BF 的中点，判断CE与MN是否共线 共线 证明空间三点共线的三种思路对于空间三点 P，A，B 可通过证明下列结论来证明三点共线(1)存在实数，使PAPB成立(2)
13、对空间任一点 O，有OPOAtAB(tR)(3)对空间任一点 O，有OPxOAyOB(xy1)22 【例 4】已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若点 M满足OM13OA13OB13OC.(1)判断MA， MB，MC三个向量是否共面；(2)判断 M 是否在平面 ABC 内23 类型3 向量共面问题 解 (1)OAOBOC3OM， OAOM(OMOB)(OMOC)， MABMCMMBMC， 向量MA，MB，MC共面 (2)由(1)知向量MA，MB，MC共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，M，A，B，C共面，即M在平面ABC内 24 25 证明空间四点共面的三
14、种思路(1)存在有序实数对(x，y)，使得APxAByAC.(2)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x， y，z)使得OPxOAyOBzOC(其中 xyz1)(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如PABC.空间向量及其线性运算 空间向量及其相关概念 线性运算 加法 减法 数乘 运算律 向量共线、共面 向量共线的充要条件 向量共面的充要条件 空间向量的线性运算 加法 减法 数乘 运算律 .abOA OCCA.abOAABOB0.a当时，OAPQ0.a当时，OAMN=0.a 0当时，空间向量的线性运算和运算律 交换律：abba 结合律：a(bc)(ab)c，(a)()a 分配律：()aaa，(ab)ab