1、第七章平行线的证明第七章平行线的证明 一、单选题一、单选题 1三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12120 ，则3的度数为（ ） A90 B60 C45 D30 2如图，将ABC沿DHHGEF、翻折，三个顶点恰好落在点O处若140 ，则2的度数为（ ） A12 B60 C90 D140 3 如图， 若12 ，/DEBC， 则： /FGDC； AEDACB； CD平分ACB； 190B ；BFGBDC，其中正确的结论是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4如图：B=C=90 ，E是 BC的中点，DE 平分ADC，则下列说法正确的有几个（ ） （1）AE 平分DAB； （2） EBA
2、DCE； （3）AB+CD=AD； （4）AEDE （5）DE=AE A2 个 B3 个 C4 个 D5 5如图，把ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若ACDE，70A ，ABAC，则CEF的度数为（ ） A40 B60 C70 D80 6如图，在 ABC 中，D 为 BC 上一点，12，34，BAC105 ，则DAC 的度数为（ ） A80 B82 C84 D86 7如图，AC与BD交于点O，/,45 ,105AB CDAAOB ，则D的度数为（ ） A30 B40 C60 D75 8 如图， 在CEF中，80E ，50F，ABCF，ADCE， 连接 BC， CD， 则A的度数是 （
3、） A45 B50 C55 D80 9两个直角三角板如图摆放，其中90BACEDF，45E ，30C，AB 与 DF 交于点 M若/BCEF，则BMD的大小为（ ） A60 B67.5 C75 D82.5 10如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ） A13 ，/ABCD（内错角相等，两直线平行） B/ABCD，180BCDABC（两直线平行，同旁内角互补） C/ADBC，180BADD（两直线平行，同旁内角互补） DDAMCBM，/ADBC（同位角相等，两直线平行） 二、填空题二、填空题 11如图，将分别含有30、45角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为
4、65，则图中角的度数为_ 12 在 ABC中， 将B、 C 按如图方式折叠， 点 B、 C 均落于边 BC 上一点 G处， 线段 MN、 EF 为折痕 若A80 ，则MGE_ 13有一张直角三角形纸片，记作 ABC，其中B=90 按如图方式剪去它的一个角（虚线部分） ，在剩下的四边形 ADEC 中，若1=165 ，则2 的度数为_ 14请把以下说理过程补充完整： 如图，ABCD，CD，如果12，那么E与C互为补角吗？说说你的理由 解：因为12， 根据_， 所以 EF_ 又因为 ABCD， 根据_， 所以 EF_ 根据_， 所以E_ 又因为CD， 所以E_ ， 所以E与C互为补角 15如图，则A
5、+B+C+D+E 的度数是_ 16已知三条不同的直线 a、b、c在同一平面内，下列四个命题：如果 a/b，ac，那么 bc；如果b/a，c/a，那么 b/c；如果 ba，ca，那么 bc；如果 ba，ca，那么 b/c其中是假命题的是_(填序号) 17如图，ABC沿直线 AB 翻折后能与ABD重合，ABC沿直线 AC 翻折后能与AEC重合，AD与 CE相交于点 F，若18ABC，29ACB，CFDm，则m_ 三、解答题三、解答题 18如图，BCAD，垂足为点 C，A27 ，BED44 求： （1）B 的度数； （2）BFD的度数 19指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果
6、是假命题，举出一个反例 （1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； （2）内错角相等； （3）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 20如图，在 ABC 中，点 D 为ABC 的平分线 BD上一点，连接 AD，过点 D 作 EFBC 交 AB 于点 E，交 AC于点 F （1）如图 1，若 ADBD于点 D，BEF=120 ，求BAD 的度数； （2）如图 2，若ABC=，BDA=，求FAD十C 的度数（用含 和 的代数式表示） 21如图，已知 BDAC，EFAC，垂足分别为 D、F，12，请将证明ADGC 过程填写完整 证明：BDAC，EFAC（已知） BDCEFC90 BD 23 又
7、12（已知） 13（等量代换） DG ADGC 参考答案参考答案 1B 【解析】 【分析】 先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角均等于 60 ，用123，表示出中间三角形的各内角，再根据三角形的内角和即可得出答案 【详解】 解：如图所示， 图中三个等边三角形， 180603 1203ABC ， 180601 1201BAC ， 180602 1202ACB ， 由三角形的内角和定理可知： 180ABCBACACB，即1203+1201 1202 180 ， 又12120 ， 360 ， 故答案选 B 【点睛】 本题考查等边三角形的性质及三角形的内角和定理，熟悉等边三角形各内角均为 60
8、是解答此题的关键 2D 【解析】 【分析】 根据翻折变换前后对应角不变，故B=EOF，A=DOH，C=HOG，1+2+HOD+EOF+HOG=360 ，进而求出1+2 的度数 【详解】 解：将 ABC 三个角分别沿 DE、HG、EF 翻折，三个顶点均落在点 O处， B=EOF，A=DOH，C=HOG，1+2+HOD+EOF+HOG=360 ， HOD+EOF+HOG=A+B+C=180 ， 1+2=360 -180 =180 ， 1=40 ， 2=140 ， 故选：D 【点睛】 此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出HOD+EOF+HOG=A+B+C=180 是解题关键
9、 3C 【解析】 【分析】 由平行线的性质得出内错角相等、 同位角相等， 得出正确； 再由已知条件证出2DCB， 得出/FGDC，正确；由平行线的性质得出正确；即可得出结果 【详解】 解：/DEBC， 1DCB ，AEDACB，故正确； 12 ， 2DCB ， /FGDC，故正确； BFGBDC ，故正确； 而CD不一定平分ACB，1B 不一定等于90，故，错误； 故选：C 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证 4B 【解析】 【分析】 过点 E作 EFAD垂足为点 F，证明 DEFDEC（AAS） ；得出 CEEF，DCDF，CED
10、FED，证明 Rt AFERt ABE（HL） ；得出 AFAB，FAEBAE，AEFAEB，即可得出答案 【详解】 解：如图，过点 E 作 EFAD，垂足为点 F， 可得DFE90 ， 则DFEC， DE平分ADC， FDECDE， 在 DCE和 DFE 中， CDFECDEFDEDEDE ， DEFDEC（AAS） ； CEEF，DCDF，CEDFED， E是 BC 的中点， CEEB， EFEB， 在 Rt ABE和 Rt AFE 中， EFBEAEAE， Rt AFERt ABE（HL） ； AFAB，FAEBAE，AEFAEB， AE 平分DAB，故结论（1）正确， 则 ADAF+D
11、FAB+CD，故结论（3）正确； 可得AEDFED+AEF12FEC+12BEF90 ，即 AEDE 故结论（4）正确 ABCD，AEDE， （5）错误， EBADCE不可能成立，故结论（2）错误 综上所知正确的结论有 3 个 故答案为：B 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定等内容，作出辅助线是解题的关键 5C 【解析】 【分析】 由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出55BC ，利用平行线的性质可得出55DEBC则CEF即可求 【详解】 解：ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处， BDEFDE ， DEBDEF ， 70A ，ABAC， 118070552BC ，
12、 ACDE， 55DEBCDEF ， 18070FECDEBDEF ， 故选：C 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质；解题的关键是，理解折叠就是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决 6A 【解析】 【分析】 根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决 【详解】 解：BAC105 ， 2375 12， 431222 把代入得：3275 ， 225 DAC1052580 故选 A 【点睛】 此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解题的关键 7A 【解析】 【分析】 先根据三角形的内角和
13、定理可求出30B ，再根据平行线的性质即可得 【详解】 45 ,105AAOB 18030BAAOB /AB CDQ 30DB 故选：A 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟记平行线的性质是解题关键 8B 【解析】 【分析】 连接 AC 并延长交 EF于点 M由平行线的性质得31 ，24，再由等量代换得3412BADFCE ，先求出FCE即可求出A 【详解】 解：连接 AC 并延长交 EF于点 M AB CF， 31 ， ADCE， 24 ， 3412BADFCE ， 180180805050FCEEF ， 50BADFCE， 故选 B 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质
14、以及三角形的内角和定理，属于基础题型 9C 【解析】 【分析】 根据/BCEF，可得45FDBF，再根据三角形内角和即可得出答案 【详解】 由图可得6045BF ， /BCEF， 45FDBF， 180180456075BMDFDBB ， 故选：C 【点睛】 本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键 10C 【解析】 【分析】 依据内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行进行判断即可 【详解】 解：A13 ，/ABCD（内错角相等，两直线平行） ，正确； B/ABCD，180BCDABC（两直线
15、平行，同旁内角互补） ，正确； C/ADBC，180BCDD（两直线平行，同旁内角互补） ，故C选项错误； DDAMCBM，/ADBC（同位角相等，两直线平行） ，正确； 故选：C 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系 11140#140 度 【解析】 【分析】 如图，首先标注字母，利用三角形的内角和求解ADC，再利用对顶角的相等，三角形的外角的性质可得答案 【详解】 解：如图，标注字母， 由题意得：906525 ,ACB 60 ,A 180602595 ,BDEADC 45 ,B 459514
16、0 .BBDE 故答案为：140 【点睛】 本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键 1280 【解析】 【分析】 由折叠的性质可知：BMGB，CEGC，根据三角形的内角和为 180 ，可求出BC 的度数，进而得到MGBEGC的度数，问题得解 【详解】 解：线段 MN、EF为折痕， BMGB，CEGC， A80 ， BC180 80 100 ， MGBEGCBC100 ， MGE180 100 80 ， 故答案为：80 【点睛】 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利
17、用整体思想得到MGBEGC的度数 13105 . 【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理结合B 的度数即可得出BDE+BED 的度数，再根据BDE 与2 互补、BED与1 互补，即可求出1+2 的度数，代入1=165 即可得出结论 【详解】 B=90 ， BDE+BED=180 -B=90 ， 又BDE+2=180 ，BED+1=180 ， 1+2=360 -（BDE+BED）=270 1=165 ， 2=105 故答案为:105 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出BDE+BED 的度数是解题的关键 14内错角相等，两直线平行；AB；平行于同一条直线的两条直线平行
18、；CD；两直线平行，同旁内角互补；D；180；C；180 【解析】 【分析】 由已知角相等，利用内错角相等两直线平行得到 AB与 EF平行，再由 AB与 CD平行，利用平行于同一条直线的两直线平行即可得 EF与 CD平行，然后由两直线平行，同旁内角互补可得ED 180 ，最后等量代换得到EC180 【详解】 解：因为12， 根据_内错角相等，两直线平行， 所以 EF_AB_ 又因为 ABCD， 根据_平行于同一条直线的两条直线平行， 所以 EF_CD_ 根据两直线平行，同旁内角互补， 所以E_D _180 又因为CD， 所以E_C_180 ， 所以E与C互为补角 【点睛】 此题考查了平行线的判
19、定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键 15180 【解析】 【分析】 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得4A2，2DC，进而利用三角形的内角和定理求解 【详解】 解：如图可知： 4 是三角形的外角， 4A2， 同理2 也是三角形的外角， 2DC， 在 BEG中，BE4180 ， BEADC180 故答案为：180 【点睛】 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系 16 【解析】 【分析】 根据平行线的性质，判定及基本事实进行判断 【详解】 如果 ab，ac，那么 bc，是真命题； 如果 ba，ca，那么 bc，是真命题； 如
20、果 ba，ca，那么 bc，则原命题是假命题； 如果 ba，ca，那么 bc，是真命题 故答案为： 【点睛】 本题考查真假命题的判断，熟练掌握平行线的基本事实及判定是解题的关键 17123 【解析】 【分析】 根据折叠前后对应角相等和三角形内角和定理可得BAD=BAC=133 ，ACE=ACB=29 ，再求出 DAC，根据三角形外角的性质可求得 m 【详解】 解：18ABC，29ACB， BAC=180 -18 -29 =133 ， ABC沿直线 AB 翻折后能与ABD重合，ABC沿直线 AC翻折后能与AEC重合， BAD=BAC=133 ，ACE=ACB=29 ， DAC=360 -BAD-
21、BAC=94 ， CFD=ACE+DAC=29 +94 =123 ，即 m=123， 故答案为：123 【点睛】 本题考查三角形内角和定理和外角定理，折叠的性质理解折叠前后对应角相等是解题关键 18 （1）63 ； （2）107 【解析】 【分析】 （1）根据垂直的定义可得90ACB，进而根据三角形内角和定理即可求得B； （2）根据三角形的外角的性质即可求得 【详解】 解： （1） BCAD，A27 ， 90ACB 180180902763BACBA （2）BED44 ,63B 4463107DFBDEBB 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理与三角形的外角性质，掌握以上知识是解题的关键 1
22、9 （1）题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题； （2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，反例见解析； （3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么内错角相等是真命题 【解析】 【分析】 （1）根据将命题写成“如果，那么”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平角的定义可得该命题是真命题； （2）根据将命题写成“如果，那么”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论，根据平行线的性质可得该命题是假命题；利用相交直线被第三条直线所截，内错角不相等可举反例； （3）根据将命题写成“如果，那么
23、”的形式，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论可得题设和结论， 根据平行线的性质可得该命题是真命题； 【详解】 （1）题设：如果两个角的和等于平角，结论：那么这两个角互为补角；是真命题； （2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，如图1 与2 是内错角，21； （3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么内错角相等是真命题 【点睛】 本题考查了命题与定理的相关知识将命题写成“如果，那么”的形式，就是要明确命题的题设和结论，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论关键是明确命题与定理的组成部分，会判断命题的题设与结论 20 （1）60 ； （2）-12 【解析】 【分
24、析】 （1）根据平行线的性质和平角的定义可得EBC=60 ，AEF=60 ，根据角平分线的性质和平行线的性质可得EBD=BDE=DBC=30 ，再根据三角形内角和定理可求BAD的度数； （2）过点 A作 AGBC，则BDA=DBC+DAG=DBC+FAD+FAG=DBC+FAD+C=，依此即可求解 【详解】 解： （1）EFBC，BEF=120 ， EBC=60 ，AEF=60 ， 又BD 平分EBC， EBD=BDE=DBC=30 ， 又BDA=90 ， EDA=60 ， BAD=60 ； （2）如图 2，过点 A作 AGBC， 则BDA=DBC+DAG=DBC+FAD+FAG=DBC+FA
25、D+C=， 则FAD+C=-DBC=-12ABC=-12 【点睛】 考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键 21垂直的定义；EF；两直线平行，同位角相等；BC；两直线平行，同位角相等. 【解析】 【分析】 根据垂直求出BDC=EFC=90 ，根据平行线的判定得出 BDEF，根据平行线的性质得出2=3，求出1=3，根据平行线的判定得出 DGBC 即可 【详解】 证明：BDAC，EFAC， BDC=EFC=90 ，垂直的定义 BDEF， 2=3（两直线平行，同位角相等） ， 又12（已知） 13（等量代换） DGBC， ADG=C两直线平行，同位角相等 【点睛】 本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，反之亦然