1、第第 13 章轴对称章轴对称 一选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史下列由黑、白棋子摆成的图案中，构成轴对称图形的是（ ） A B C D 2.如图，在 ABC中，B60 ，点 D 在边 BC 上，且 ADAC，若 AB6，CD4，则 BD 的长为（ ） A3 B2.5 C2 D1 3.如图，在四边形 ABCD 中，8AD，2BC ，90B ，30A ，120ADC ，则 CD的长为（ ） A6 B5 C4 D3 4.如图将长方形 ABCD沿 EF 折叠，B、C 分别落在点 H、G 的位置，延长 EH 交边 CD 于点 M下列说法
2、不正确的是（ ） A12 B23 C2 2MEB D2与4互补 5.已知， 等腰ABC中，ABAC， E 是高 AD上任一点， F 是腰 AB上任一点， 腰5AC ，3BD，4AD，那么线段BEEF的最小值是（ ） A5 B3 C245 D72 6.如图， 在3 3的正方形格纸中， 格线的交点称为格点， 以格点为顶点的三角形称为格点三角形， 图中ABC是一个格点三角形，在这个3 3的正方形格纸中，与ABC成轴对称的格点三角形最多有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 7.一条数轴上有点 A、B、C，其中点 A、B 表示的数分别是14，10，现以点 C 为折点，将数轴向右对折，若点 A
3、落在射线 CB上，并且 AB6，则 C 点表示的数是（ ） A1 B3 C1 或4 D1 或5 8.如图， ABC中，A=30 ，BC=3， ABC 的面积 9，点 D、E、F 分别是三边 AB、BC、CA上的动点，则 DEF周长的最小值为（ ） A5 B6 C8 D10 二填空题（每小题 2 分，共 16 分） 9.若（a3）2+5b=0，则以 a、b为边长的等腰三角形的周长为_ 10.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分别为 14cm 和 21cm 两部分， 这个等腰三角形底边的长为_ 11.如图是 4 4 的正方形网格，其中已有 3 个小方格涂成了黑色现在要从其余 13 个白色小方
4、格选出一个也涂成黑色，与原来 3 个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方形有_ 12.在ABC中，ABAC，作 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交直线 AC于点 E，若46AED，则B的度数为_. 13.如图， 在ABC中，10ABAC，12BC ，AD是BAC的平分线且8AD， 若P、Q分别是AD、AC上的动点，则PCPQ的最小值是_ 14.把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若48EFG，则21 _ 15.点 A（3，0） ，点 B（0，4） ，则 AB5，点 P是坐标轴正半轴上的点且坐标为整数， ABP是等腰三
5、角形，则点 P 的坐标是_ 16.如图，M，N是AOB的边 OA 上的两个点(OMON)，AOB30 ，OMa，MN4若边 OB上有且只有 1 个点 P，满足 PMN是等腰三角形，则 a 的取值范围是_ 三解答题（共 60 分） 17.（6 分）如图，在ABC中，点 E 是BC边上的一点，连接AE、BD垂直平分AE，垂足为 F，交AC于点 D，连接DE若ABC的周长为 18，DEC的周长为 6，求AB的长 18.（8 分）如图，在ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD (1)若40B ，求ACD的度数； (2)判断B 与ACD之间的数量关系，并说明理由 19.（8
6、分）已知，在 ABC中，ACBC，BECE，垂足分别为 D，E (1)求证：ACB90 ； (2)点 O 为 AB 的中点，连接 OD，OE请判断 ODE 的形状？并说明理由 20.（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（1，3） ，B（4，4） ，C（2，1） ， ABC经过某种变换后得到 DEF (1)直接写出点 D，E，F 的坐标； (2)观察变化前后对应点的坐标之间的关系，思考：若 ABC内任意一点 M的坐标为（a，b） ，点 M 经过这种变换后得到点 N，点 N的坐标是什么？ (3)求 ABC的面积 21.（10 分）如图，ABCD为一长方形纸片，E为 BC上一点，将纸片沿 A
7、E 折叠，B 点落在长方形外的 F点 (1)如图 1，当BEA35 时，FAD的度数为 （直接填空） (2)如图 2，连 BD，若CBD25 ，AFBD，求BAE； (3)如图 3，当 AFBD时，设CBD，请你求出BAE 的度数 （用表示） 22.（10 分）如图，在 ABC 中，C90 ，AB5，AC4，BC3点 P 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 CABC向终点 C 运动，设点 P运动的时间为 t秒（t0） (1)当点 P在 AB 上运动时，线段 AP 的长为 （用含 t的代数式表示） ； (2)当 PAC是以 AC为腰的等腰三角形时，t的值为 ； (3)当点 P运动过点
8、 A时，求线段 BP的表达式（用含 t的代数式表示） ； (4)当点 P与 ABC顶点连接的线段将 ABC的周长分为相等的两部分时，直接写出 t 的值 23.（10 分）在等边 ABC中，点 E 是直线 AB 上一点，连接 CE，以 CE 为边作等边三角形 CDE， （C、D、E 按逆时针方向排列） ，连接 AD点 F在直线 BC上，连接 EF，使 EF=EC (1)如图 1，当点 E 在线段 AB 上时，判断 BCE 与 ACD 的关系并猜想线段 AD与 BC的位置关系； （直接写出结论，不需证明） (2)如图 2，当点 E在 BA的延长线上时，猜想线段 AD与 BC的位置关系，并说明理由；
9、 (3)当EFC=25 时，请直接写出ADE的度数_ 第第 13 章轴对称章轴对称 一选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史下列由黑、白棋子摆成的图案中，构成轴对称图形的是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】A.不是轴对称图形，故 A 错误； B.不是轴对称图形，故 B 错误； C.不是轴对称图形，故 C 错误； D.是轴对称图形，故 D 正确 故选：D 2.如图，在 ABC中，B60 ，点 D 在边 BC 上，且 ADAC，若 AB6，CD4，则 BD 的长为（ ） A3 B2.5 C2 D1 【答案】D 【解析】解：如图
10、，过点 A作 AEBC 于 E， 又ADAC，CD4，DEEC12CD2 在直角 ABE中，AEB90 ，B60 ，BAE90 B30 ， BE12AB1263，BDBEDE321 故选：D 3.如图，在四边形 ABCD 中，8AD，2BC ，90B ，30A ，120ADC ，则 CD的长为（ ） A6 B5 C4 D3 【答案】C 【解析】解：延长 AD、BC交于 E， A=30 ,B=90 ，E=60 ， ADC=120 ，EDC=60 ，EDC是等边三角形， 设 CD=CE=DE=x， AD=8，BC=2，2(2+x)=x+8，解得；x=4，CD=4， 故选：C 4.如图将长方形 AB
11、CD沿 EF 折叠，B、C 分别落在点 H、G 的位置，延长 EH 交边 CD 于点 M下列说法不正确的是（ ） A12 B23 C2 2MEB D2与4互补 【答案】D 【解析】过点 F作 FNME交 ME 于点 N，GHFN， 1=MFN，2=MFN+EFN， 12，故选项 A 正确，不符合题意； ABCD，2=FEB， 沿 EF 折叠，3=FEB，23，故选项 B 正确，不符合题意； 23，MEB=3+FEB=22，故选项 C 正确，不符合题意； 4 是 MFE的外角，4=2+3=22， 没有证据说明2+4=180 ，故选项 D 错误，符合题意； 故选：D 5.已知， 等腰ABC中，AB
12、AC， E 是高 AD上任一点， F 是腰 AB上任一点， 腰5AC ，3BD，4AD，那么线段BEEF的最小值是（ ） A5 B3 C245 D72 【答案】C 【解析】如图作等 F关于 AD 的对称点 F，连接 EF作 BHAC 于 H AB=AC，ADBC，BD=CD=3，点 F在 AC上， BE+EF=BE+EF， 根据垂线段最短可知，当 B，E，F共线，且与 H重合时，BE+EF 的值最小，最小值就是线段 BH的长 在 Rt ACD 中，1122BC ADAC BH，BH=245，BE+EF 的最小值为245， 故选 C 6.如图， 在3 3的正方形格纸中， 格线的交点称为格点， 以
13、格点为顶点的三角形称为格点三角形， 图中ABC是一个格点三角形，在这个3 3的正方形格纸中，与ABC成轴对称的格点三角形最多有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 【答案】D 【解析】解：与 ABC成轴对称的格点三角形最多有 6 个 故答案为：D 7.一条数轴上有点 A、B、C，其中点 A、B 表示的数分别是14，10，现以点 C 为折点，将数轴向右对折，若点 A落在射线 CB上，并且 AB6，则 C 点表示的数是（ ） A1 B3 C1 或4 D1 或5 【答案】D 【解析】 【详解】 解：设点 C所表示的数为 x，则 ACx（14）x+14， AB6，B 点所表示的数为 10，A
14、表示的数为 10+616 或 1064， AA16（14）30 或 AA4（14）18， 根据折叠得，AC12AA，x+1412 30 或 x+1412 18，解得：x1 或5， 故选：D 8.如图， ABC中，A=30 ，BC=3， ABC 的面积 9，点 D、E、F 分别是三边 AB、BC、CA上的动点，则 DEF周长的最小值为（ ） A5 B6 C8 D10 【答案】B 【解析】解：作E点关于AB的对称点G，作E点关于AC的对称点H，连接GH，交AB于D点，交AC于F点，连接AG，AH，AE，如图所示： 由对称性可知GDDE，EFFH，AGAEAH， DEF的周长DEDFEFGDDFFH
15、GH， GADDAE，EACHAC，2GAHBAC ， 30BAC，60GAH，GHAE， 当AEBC时，GH最短，此时DEF的周长最小， 3BC ，ABC的面积 9，6AE，DEF的周长最小值为 6， 故选：B 二填空题（每小题 2 分，共 16 分） 9.若（a3）2+5b=0，则以 a、b为边长的等腰三角形的周长为_ 【答案】11 或 13 【解析】解：（a3）2+5b=0， 3a ，5b， 当3a 为腰时，周长为：26 5 11ab ， 当5b为腰时，三角形的周长为23 1013ab ， 故答案为：11 或 13 10.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分别为 14cm 和 21
16、cm 两部分， 这个等腰三角形底边的长为_ 【答案】493cm 或 7cm 【解析】解：如图所示, 设腰 AB=AC=x，底 BC=y， 根据 BD 是中线可得：122ACADDCx， 由题意得： 142212xxxy或212142xxxy，解之：283493xy或147xy， 当283493xy时，AB=AC=283，底 BC=493，符合三角形的三边关系； 当147xy时，等腰三角形的三边为 14，14，7，符合三角形的三边关系； 故这个等腰三角形的底边长是493或 7， 故答案为：493cm 或 7cm 11.如图是 4 4 的正方形网格，其中已有 3 个小方格涂成了黑色现在要从其余 1
17、3 个白色小方格选出一个也涂成黑色，与原来 3 个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方形有_ 【答案】3 【解析】解：符合题意的图案有： 所以符合要求的白色小正方形有 3 个， 故答案为：3 12.在ABC中，ABAC，作 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交直线 AC于点 E，若46AED，则B的度数为_. 【答案】68 或 22 【解析】解：如图所示： ABAC，C=ABC， DE为 AB的垂直平分线， AE=BE，EDA=90 ，A=ABE， 46AED，A=90 -AED=44 ，AED=BED=46 ，ABE=A=44 ， AEB=2AED=92 ，C+EBC
18、=AEB=92 ， C+EBC+ABE=92 +44 =136 =C+ABC，136682ABC， 故答案为：68 第二种情况： DE为 AB的垂直平分线， EAD90 AED44 ABAC，ABC =ACB， 又EADABCACB44 ABC22 综上可知B的度数为 68 或 22 13.如图， 在ABC中，10ABAC，12BC ，AD是BAC的平分线且8AD， 若P、Q分别是AD、AC上的动点，则PCPQ的最小值是_ 【答案】9.6 【解析】AB=AC，AD是BAC 的平分线， AD垂直平分 BC，BP=CP 过点 B作 BQAC于点 Q，BQ 交 AD于点 P，则此时 PC+PQ取最小
19、值，最小值为 BQ 的长，如图所示 S ABC=12BCAD=12ACBQ，12 89.610BC ADBQAC 故答案为：9.6 14.把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若48EFG，则21 _ 【答案】12 【解析】ADBC，EFG=48 ，DEF=EFG=48 ，2=GED=DEF+GEF 由折叠的性质知：GEF=DEF=48 ，则1 18084DEFGEF ，2=48 +48 =96 ， 21 968412 ， 故答案为：12 15.点 A（3，0） ，点 B（0，4） ，则 AB5，点 P是坐标轴正半轴上的点且坐标为整数， ABP
20、是等腰三角形，则点 P 的坐标是_ 【答案】 （2，0）或（3，0）或（0，9） 【解析】解：如图， 点 A（3，0） ，点 B（0，4） ，则 OA=3，AB5， 当 ABAP5，点 P在 x轴正半轴上时，则 OP=AP-OA=5-3=2， 点 P的坐标是（2，0） 当 ABBP， 点 P在 x轴正半轴上时，即点 P在点 P处， 又OBAP，OP=OA=3，P(3,0) 当 ABBP，点 P在 y 轴正半轴上时，即点 P 在点 P处， OP=OB+BP=4+5=9，P(0,9)， 综上，点 P的坐标是（2，0）或（3，0）或（0，9） 故答案是： （2，0）或（3，0）或（0，9） 16.如
21、图，M，N是AOB的边 OA 上的两个点(OMON)，AOB30 ，OMa，MN4若边 OB上有且只有 1 个点 P，满足 PMN是等腰三角形，则 a 的取值范围是_ 【答案】a8 或 a=4 【解析】如图，作线段 MN的垂直平分线交 OB于点 OP，连接 PM，PN，则 PM=PN， PMN 是等腰三角形， 过点 M 作 MHOB于 H，当 MHMN，即 MH4 时，满足构成等腰三角形的点 P 恰好只有一个， 当 MH=4 时， AOB=30 ，OM=2MH=8， 当 a8 时，满足构成等腰三角形的点 P恰好只有一个， 另外当 PMN 是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点 P 恰好只有一个
22、， 此时 a=4， 故答案为：a8 或 a=4 三解答题（共 60 分） 17.（6 分）如图，在ABC中，点 E 是BC边上的一点，连接AE、BD垂直平分AE，垂足为 F，交AC于点 D，连接DE若ABC的周长为 18，DEC的周长为 6，求AB的长 【答案】6 【解析】解：BD垂直平分 AE，垂足为 F，交 AC于点 DABBE，DADE， DEC的周长6DEDCECDA DCECACEC， ABC的周长18ABBCACABBEECACABABACEC， 218 6 12AB ，6AB 18.（8 分）如图，在ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD (1)若40
23、B ，求ACD的度数； (2)判断B 与ACD之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1)80 ;(2)=90 -ACDB，理由见详解 【解析】(1)解：连接并延长 BD 交 AC 于点 G， DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线,BDCD BDAD，,DBCDCBDBADAB， CDG是 BDC 的外角,=+=2CDGDBCDCBDBC ADG是 BDA 的外角,=+=2ADGDBADABDBA =+=2222 40 =80ADCADGCDGDBADBCABC (2)=90 -ACDB，理由如下： 连接并延长 BD交 AC 于点 G， DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线,BDCD B
24、DAD， CD=AD,ACD=CAD,DBCDCBDBADAB， CDG是 BDC 的外角,=+=2CDGDBCDCBDBC ADG是 BDA 的外角,=+=2ADGDBADABDBA =+=222ADCADGCDGDBADBCABC ,=2ADCB 11=180 -180 -222ACDCADADCABC （） （） =90 -ACDB 19.（8 分）已知，在 ABC中，ACBC，BECE，垂足分别为 D，E (1)求证：ACB90 ； (2)点 O 为 AB 的中点，连接 OD，OE请判断 ODE 的形状？并说明理由 【答案】(1)证明见解析;(2) ODE等腰直角三角形，理由见解析 【
25、解析】(1)证明：ADCE，BECE，DE90 ， 在 Rt ACD 和 Rt CBE中， ACBCADCE， Rt ACDRt CBE（HL） ，DCAEBC， E90 ，EBC+ECB90 ，DCA+ECB90 ，ACB180 90 90 ； (2)解： ODE等腰直角三角形， 理由如下：如图 2，连接 OC， ACBC，ACB90 ，AOBOCO，CABCBA45 ，COAB， AOCBOCADCBEC90 ， BOC+BEC+ECO+EBO360 ，EBO+ECO180 ，且DCO+ECO180 ， DCOEBO， 由（1）知，Rt ACDRt CBE，DCBE， 在 DCO和 EBO
26、 中， DCEBDCOEBOCOBO ， DCOEBO（SAS） ，EODO，EOBDOC， COE+EOB90 ，DOC+COE90 ，DOE90 ，且 DOEO， ODE 是等腰直角三角形 20.（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（1，3） ，B（4，4） ，C（2，1） ， ABC经过某种变换后得到 DEF (1)直接写出点 D，E，F 的坐标； (2)观察变化前后对应点的坐标之间的关系，思考：若 ABC内任意一点 M的坐标为（a，b） ，点 M 经过这种变换后得到点 N，点 N的坐标是什么？ (3)求 ABC的面积 【答案】(1)D（1，3） ，E（4，4 ） ，F（2，1
27、） ；(2)（a，b） ；(3)72 【解析】(1)根据图形直接写出坐标：D（1，3） ，E（4，4 ） ，F（2，1 ） (2)由（1）可知 ABC与 DEF 关于 y 轴对称，故点 N 的坐标是（a，b） (3)1113 32 12 31 3222ABCS 72 21.（10 分）如图，ABCD为一长方形纸片，E为 BC上一点，将纸片沿 AE 折叠，B 点落在长方形外的 F点 (1)如图 1，当BEA35 时，FAD的度数为 （直接填空） (2)如图 2，连 BD，若CBD25 ，AFBD，求BAE； (3)如图 3，当 AFBD时，设CBD，请你求出BAE 的度数 （用表示） 【答案】(
28、1)20 ;(2)57.5 ;(3)1452 【解析】(1)解：由题意知 ADBC，B=90 ， 又BEA35 ，BAE=55 ， 翻折，FAE=BAE=55 ， ADBC，EAD=BEA=35 FAD=FAE-EAD=20 故答案为：20 ； (2)解如图 2， ADBC，CBD=25 ，ADB=25 AFBD，FAD=25 ， AGF=90 -25 =65 ADBC，BEF=AGF=65 AEF由 AEB反折而成，BEA=12BEF=32.5 ，BAE=90 -32.5 =57.5 ； (3)解如图 3， ADBC，CBD=，ADB= AFBD，FAD=，AGF=90 ADBC，BEF=A
29、GF=90 AEF由 AEB反折而成，BEA=12BEF=11(90)4522， BAE=1190(45)4522 故答案为：1452 22.（10 分）如图，在 ABC 中，C90 ，AB5，AC4，BC3点 P 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 CABC向终点 C 运动，设点 P运动的时间为 t秒（t0） (1)当点 P在 AB 上运动时，线段 AP 的长为 （用含 t的代数式表示） ； (2)当 PAC是以 AC为腰的等腰三角形时，t的值为 ； (3)当点 P运动过点 A时，求线段 BP的表达式（用含 t的代数式表示） ； (4)当点 P与 ABC顶点连接的线段将 ABC的
30、周长分为相等的两部分时，直接写出 t 的值 【答案】(1)24t；(2)4；(3)13 2t或29t ；(4)t的值为32或 3 或 5 【解析】(1)解：点 P从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 CABC 向终点 C运动，设点 P 运动的时间为 t秒（t0） ，AC4，24APt 故答案为：24t； (2)解： PAC是以 AC为腰的等腰三角形时， ACAP，244t，4t （秒） 故答案为：4 秒； (3)解：当点 P在 AB上时，24APt，4 52413 2BPtt ； 当点 P在 BC上时，29BPt 综上所述，BP 的长度为13 2t或29t ； (4)解：C90 ，A
31、B5，AC4，BC3，ABC的周长为5 4 3 12 ， 点 P与 ABC顶点连接的线段将 ABC 的周长分为相等的两部分时，每一部分的周长为 6， 当点 P在 AC上时，6APAB，此时02t ， 4 256t ，32t （秒） ； 当点 P在 AB上时，6APAB，此时922t ， 2446t ，3t （秒） ； 当点 P在 BC上时，6PBAB，此时962t ， 29 56t ，5t （秒） 综上所述，t的值为32或 3 或 5 23.（10 分）在等边 ABC中，点 E 是直线 AB 上一点，连接 CE，以 CE 为边作等边三角形 CDE， （C、D、E 按逆时针方向排列） ，连接 A
32、D点 F在直线 BC上，连接 EF，使 EF=EC (1)如图 1，当点 E 在线段 AB 上时，判断 BCE 与 ACD 的关系并猜想线段 AD与 BC的位置关系； （直接写出结论，不需证明） (2)如图 2，当点 E在 BA的延长线上时，猜想线段 AD与 BC的位置关系，并说明理由； (3)当EFC=25 时，请直接写出ADE的度数_ 【答案】(1) BCEACD，AD/BC，(2)AD/BC，理由见解析；(3)35 或 95 【解析】(1)解： BCE= ACD，AD/BC 证明：CED 是等边三角形，EC=DC，ECD=60 ， ACB=60 ，ACBACE=ECDACE，BCEACD
33、， BCAC，ECCD，BCEACD（SAS）CADCBE60 ， CADACB，AD/BC (2)解：AD/BC 理由如下：CED 是等边三角形，ECDC，ECD60 ， ACB60 ，ACBACE=ECD+ACE，BCEACD， BCAC，ECCD，BCEACD（SAS） ，CADABC60 ， CADACB ，AD/BC (3)解：当点 E在线段 AB上时， EF=EC，EFC=25 ，ECF=EFC=25 ， ABC=60 ，18095BECABCECF， DEC=60 ，18025AEDBECDEC， AD/BC，180BADABC， 18018060120BADABC， 1801801202535ADEBADAED； 当点 E在 AB的延长线上时，如下图所示， EF=EC，EFC=25 ，ECF=EFC=25 ， DCE=60 ，6025 =35DCBDCEECF， AD/BC，=35ADCDCB， =60CDE，=356095ADEADCCDE； 综上，ADE的度数为35或95