1、浙江省杭州市萧山区六校2021年九年级上12月月考数学试题一、选择题（本大题共10小题，共30分）1. 已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（ ）A. B. C. D. 2. 二次函数图像顶点坐标是（ ）A. B. C. D. 3. 如图，已知四边形ABCD内接于O，ABC=70，则ADC的度数是（）A. 70B. 110C. 130D. 1404. 如图，在中，则的长为（）A 6B. 7C. 8D. 95. 在直径为10cm圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽cm，则水的最大深度为（ ）A. 1cmB. 2cmC
2、. 3cmD. 4cm6. 如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与ABC相似的是（）A. B. C D. 7. 已知二次函数，关于该函数在1x3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）A. 有最大值1，有最小值2B. 有最大值0，有最小值1C. 有最大值7，有最小值1D. 有最大值7，有最小值28. 如图，四边形ABCD是半径为2的O的内接四边形，连接OA，OC若ADC72，则的长为（）A. B. C. D. 9. 如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有（ ）A. AEDBEDB. AEDCBDC. AEDABDD. BADBCD10.
3、二次函数yax2+2ax+c（a0）的图象过A（4，），B（3，），C（0，），D（3，）四个点，下列说法一定正确的是（）A. 若0，则0B. 若0，则0C. 若0，则0D. 若0，则0二填空题（本大题共6小题，共24分）11. 已知4a3b，则_12. 某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：抽取瓷砖数n100300400600100020003000合格品数m9628238257094919062850合格品频率 0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是_（精确到0.01）13. 如图所示，是的直径，
4、则的度数为_14. 如图抛物线yax2+bx+c的对称轴是x1，与x轴的一个交点为（5，0），则不等式ax2+bx+c0的解集为_15. 如图，在中，CE是过C点的一条直线，于D，于F，则_16. 如图，在ABCD中，BC3，CD4，点E是CD边上的中点，将BCE沿BE翻折得BGE，连接AE，A、G、E在同一直线上，则AG_，点G到AB的距离为_三、解答题（本大题共7小题，共66分）17. 已知点（0，3）在二次函数的图象上，且当时，函数有最小值2，这个二次函数的表达式18. 某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动（1）甲同学随机选择连续的两天，其中
5、有一天是星期二的概率是_（2）用树状图或列表法表示乙同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？19. 如图，是圆的直径，弦于点，点在圆上，恰好经过圆心，连接.(1)若，求圆的直径.(2)若，求的度数.20. 经营者小明在直销平台上销售一批口罩，经市场调研发现：该类型口罩每袋进价为10元，当售价为每袋15元时，销售量为250袋，销售单价每提高1元，销售就会减少10袋（1）直接写出小明销售该类型口罩的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求每天所得销售利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若每天销售量不少于200袋，且每袋口罩的销售利润至少为5元，则销售单
6、价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？21. 如图，等边ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，ADE60（1）求证：ABDDCE；（2）若BD4，CE，求ABC的边长22. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围23. 如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、（1）求证：（2）求证：为中点（3）若的半径为，的度数为，求线段的长浙江省杭州市萧山区六校2021年九
7、年级上12月月考数学试题一、选择题（本大题共10小题，共30分）1. 已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用概率公式求解【详解】10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是. 故选C.【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数2. 二次函数图像的顶点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的性质解答即可.【详解】二次函数图像的顶点
8、坐标是.故选：A.【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a0）的性质， y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h，k），对称轴是x=h熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键3. 如图，已知四边形ABCD内接于O，ABC=70，则ADC的度数是（）A. 70B. 110C. 130D. 140【答案】B【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可【详解】四边形ABCD内接于O，ABC=70，ADC=180ABC=18070=110，故选：B【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对
9、角互补是解题的关键4. 如图，在中，则的长为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DEBC得，然后利用比例性质求EC和AE的值即可【详解】，即，故选C【点睛】此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE5. 在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽cm，则水的最大深度为（ ）A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm【答案】B【解析】【分析】连接OB，过点O作OCAB于点D，交O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可【详解】解：连接OB，过点O作OCAB于点D
10、，交O于点C，如图所示：AB=8cm，BD=AB=4（cm），由题意得：OB=OC=5cm，在RtOBD中，OD=（cm），CD=OC-OD=5-3=2（cm），即水的最大深度为2cm，故选：B【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键6. 如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与ABC相似的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可【详解】AC=，AB=2，BC=，A选项中的三边长分别为：，1，且：=2：=：1=，三边对应成比例，这两个三角形相似，A符合题意；B
11、选项中的三边长分别为：，3，三边不成比例，这两个三角形不相似，B不符合题意；C选项中的三边长分别为：，1，2，三边不成比例，这两个三角形不相似，C不符合题意；D选项中的三边长分别为：，2，三边不成比例，这两个三角形不相似，D不符合题意；故选A【点睛】本题考查了网格中三角形相似，灵活运用勾股定理计算各边长，熟练运用三边对应成比例的两个三角形相似求解是解题的关键7. 已知二次函数，关于该函数在1x3取值范围内，下列说法正确的是（ ）A. 有最大值1，有最小值2B. 有最大值0，有最小值1C. 有最大值7，有最小值1D. 有最大值7，有最小值2【答案】D【解析】【分析】把函数解析式整理成顶点式的形式
12、，然后根据二次函数的最值问题解答【详解】解：yx24x2（x2）22，在1x3的取值范围内，当x2时，有最小值2，当x1时，有最大值为y927故选D【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键8. 如图，四边形ABCD是半径为2的O的内接四边形，连接OA，OC若ADC72，则的长为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用圆周角与圆心角的关系求得AOC=144，结合弧长公式进行解答即可【详解】解：四边形内接于O，AOC=2ADC，AOC=272=144，的长=，故选：D【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的计算，本题中利用圆周角定理中圆周角与圆心角的
13、关系得出角的度数，从而得到AOC=144，从而得出的长9. 如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有（ ）A. AEDBEDB. AEDCBDC. AEDABDD. BADBCD【答案】B【解析】【分析】本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，AE=BE，我们可以分别得到：AED、BCD为锐角三角形，BED、ABD为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案【详解】解：由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，AE=BE，易判断出：AED为一个锐角三角形，BED为一个钝角三角形，
14、故A错误；ABD也是一个钝角三角形，故C也错误；但BCD为一个锐角三角形，故D也错误；故选：B【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相同，排除错误答案，得到正确结论10. 二次函数yax2+2ax+c（a0）的图象过A（4，），B（3，），C（0，），D（3，）四个点，下列说法一定正确的是（）A. 若0，则0B. 若0，则0C. 若0，则0D. 若0，则0【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标的大小关系，进而求解【详解】解：二次函数yax2+2ax+c（a0）的对称轴为：
15、，且开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，A.若0，则0或0，故选项错误，不符合题意；C.若0，则0，故选项正确，符合题意；D.若0，则0或0，故选项错误，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，得到y3y2y4y1是解题的关键二填空题（本大题共6小题，共24分）11. 已知4a3b，则_【答案】【解析】【分析】根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积把4a当作比例的外项，3b当作比例的内项写出比例即可【详解】解：4a3b，故答案：【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题的关键在于能够熟练掌握比例的性质12. 某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨
16、实验，结果如下表所示：抽取瓷砖数n100300400600100020003000合格品数m9628238257094919062850合格品频率 09600.9400.9550.9500.9490.9530.950则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是_（精确到0.01）【答案】0.95【解析】【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率【详解】由生产的瓷砖是合格品的频率都在0.95上下波动，所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95，故答案为0.95【点睛】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题13. 如图所示，是的
17、直径，则的度数为_【答案】51#51度【解析】【分析】由，可求得BOC=EOD=COD=34，继而可求得AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求AEO的度数【详解】解：如图，COD=34，BOC=EOD=COD=34，AOE=180-EOD-COD-BOC=78又OA=OE，AEO=OAE，AEO=（180-78）=51故答案为：51【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用14. 如图抛物线yax2+bx+c的对称轴是x1，与x轴的一个交点为（5，0），则不等式ax2+bx+c0的解集为_【答案】5x3【解析】【分析】先根据抛物线的对称性
18、得到A点坐标（3，0），由yax2+bx+c0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c0的解集【详解】解：根据图示知，抛物线yax2+bx+c图象的对称轴是x1，与x轴的一个交点坐标为（5，0），根据抛物线的对称性知，抛物线yax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x1对称，即抛物线yax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（5，0）关于直线x1对称，另一个交点的坐标为（3，0），不等式ax2+bx+c0，即yax2+bx+c0，抛物线yax2+bx+c的图形在x轴上方，不等式ax2+bx+c0的解集是5x3故答案为5x3【点睛】此题
19、主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法15. 如图，在中，CE是过C点的一条直线，于D，于F，则_【答案】2cm或18cm【解析】【分析】分为两种情况：如图，当CE在ABC内，易得ACDCBF，得出；如图，当CE在ABC外，由ACDCBF，推出，由此即可解决问题【详解】解：分为两种情况：当CE在ABC内，如图：ADCE，BCA=90，ADC=BCA=90，DCA+BCF=90，DCA+DAC=90，DAC=BCF，ADCE，BFCE，ADC=BFC=90，ACDCBF，=，CD-5=4，BF=2
20、CD，CD=9，BF=29=18cm；当CE在ABC外，如图：ADCE，BCA=90，ADC=BCA=90，DCA+BCF=180-90=90，DCA+DAC=90，DAC=BCF，ADCE，BFCE，ADC=BFC=90，ACDCBF，=，5-CD=4，BF=2CD，CD=1，BF=21=2cm故答案为：2cm或18cm【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，注意题目的一题多解，属于中考常考题型16. 如图，在ABCD中，BC3，CD4，点E是CD边上的中点，将BCE沿BE翻折得BGE，连接AE，A、G、E在同一直线上，则AG_，点G到
21、AB的距离为_【答案】 . 2 . #【解析】【分析】根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明ABGEAD，可得AG=DE=2，然后利用勾股定理可得求出AF的长，进而可得GF的值【详解】解：如图，GFAB于点F，点E是CD边上的中点，CE=DE=2，由折叠可知：BGE=C，BC=BG=3，CE=GE=2，在ABCD中，BC=AD=3，BCAD，D+C=180，BG=AD，BGE+AGB=180，AGB=D，ABCD，BAG=AED，在ABG和EAD中，ABGEAD（AAS），AG=DE=2，AB=AE=AG+GE=4，GFAB于点F，AFG=BFG=90，在RtAFG和BFG中，根据勾股定理，得
22、AG2-AF2=BG2-BF2，即22-AF2=32-（4-AF）2，解得AF=，GF2=AG2-AF2=4-=，GF=，故答案为2，【点睛】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明ABGEAD是解题的关键三、解答题（本大题共7小题，共66分）17. 已知点（0，3）在二次函数的图象上，且当时，函数有最小值2，这个二次函数的表达式【答案】yx22x+3【解析】【分析】由题意可得（1，2）是抛物线的顶点，且过（0，3），可利用顶点式求出关系式；【详解】解：二次函数，当时，函数y有最小值2，点（1，2）为抛物线的顶点，于是可设抛物线的关系式为ya（x1）2+2，把（0，3）代入
23、得，a+23，a1，抛物线的关系式为y（x1）2+2，即yx22x+3；【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的关系式，掌握待定系数法求函数关系式的方法是解决问题的关键18. 某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动（1）甲同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是_（2）用树状图或列表法表示乙同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）甲同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出
24、结果；（2）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由概率公式即可得出结果【详解】解：（1）甲同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），则甲同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是；故答案为：；(2) 画树状图如图所示：共有种等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有种，甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为；【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或
25、B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率19. 如图，是圆的直径，弦于点，点在圆上，恰好经过圆心，连接.(1)若，求圆直径.(2)若，求的度数.【答案】(1)圆的直径是20；(2)D=30.【解析】【分析】（1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由M=30可得DOB=60，则BOD为等边三角形，结合等边三角形的性质可以求得结果.【详解】(1)设，则OD=x，又OE=OB-BE=(x-4),在RtODE中，OD2=OE2+DE2解得：，即圆O的半径是10，圆的直径是20;(2)连接BD，如图，为等边三角形,BDO=BOD=60，.【点睛】
26、本题考查了垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用方程思想是解题的关键20. 经营者小明在直销平台上销售一批口罩，经市场调研发现：该类型口罩每袋进价为10元，当售价为每袋15元时，销售量为250袋，销售单价每提高1元，销售就会减少10袋（1）直接写出小明销售该类型口罩的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求每天所得销售利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若每天销售量不少于200袋，且每袋口罩的销售利润至少为5元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y10x+400；（2）W10x2+500x4000
27、；（3）销售单价定为20元时，所获利润最大，最大利润是2000元【解析】【分析】（1）根据“该类型口罩进价每袋为10元，当售价为每袋15元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式；（2）根据销售利润W=（销售单价x-进价）销售数量进行求解即可得到答案；（3）先求出x的取值范围，然后利用配方法将W关于x的函数关系式变形为W10（x25）2+2250，根据二次函数的性质即可解决最值问题【详解】解：（1）根据题意得，y25010（x15）10x+400，销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y10x+400；（2）W（x10）（10x+400）
28、10x2+500x4000，销售利润W与销售单价x之间的函数关系式W10x2+500x4000；（3）根据题意得：，解得：15x20，W10x2+500x400010（x25）2+2250，100，当x25时，W随x的增大而增大，15x20，当x20时，W最大，最大值为2000，销售单价定为20元时，所获利润最大，最大利润是2000元【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握二次函数求最值的方法21. 如图，等边ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，ADE60（1）求证：ABDDCE；（2）若BD4，CE，求ABC的边长【答案】（1）证明见解析 （
29、2）6【解析】【分析】（1）由ABC是等边三角形得到BC60，ABBC，经过进一步证明可以得出DABEDC，从而证明ABDDCE（2）根据相似三角形的性质列出方程求解即可【详解】证明（1）ABC是等边三角形，BC60，ABBC；CDBCBDAB3；BAD+ADB120ADE60，ADB+EDC120，DABEDC，又BC60，ABDDCE；（2）ABDDCE，BD4，CE，解得AB6【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明以及性质的运用，熟练掌握相关概念是解题关键22. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上（1）求点B的坐标（用含的式子表示
30、）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围【答案】（1）点B的坐标为；（2）对称轴为直线;（3）当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.【解析】【分析】（1）向右平移2个单位长度，得到点；（2）A与B关于对称轴x=1对称；（3）a0时，当x=2时，当时，x=0或x=2，所以函数与AB无交点；a0时，当y=2时，或当时，；【详解】解：（1）抛物线与轴交于点A，令，得，点A的坐标为，点A向右平移两个单位长度，得到点B，点B的坐标为；（2）抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为直线，故对称轴为直线（3）对称轴x=1，b-2a， a0时，
31、当x=2时，当x=0或x=2，函数与AB无交点；a0时，当y=2时，或当时，；当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；（3）当时，则，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点.当时，则.分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键23. 如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直
32、，垂足为，分别与、相交于点、，连接、（1）求证：（2）求证：为的中点（3）若的半径为，的度数为，求线段的长【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）由圆周角定理，得到，即可得到结论成立；（2）根据圆周角定理得：ADP=BDP，由三角形的内角和定理和平角的定义得：DNE=EMC=90=DNB，最后由等腰三角形的判定和性质可得结论；（3）连接OA，OB，AB，AC，先根据勾股定理得AB=，再证明MN是AEB的中位线，可得MN的长【详解】证明：（1）点为的中点， ，P=P，；（2），EMC=PMD=90CNP=PME=90，为的中点；（3）解：连接，的度数为，由（2）同理得：，是的中位线，【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造等腰直角三角形，属于中考常考题