1、温州市瓯海区三校联考2021-2022学年九年级上12月月考数学试卷一、选择题1. 已知O的半径为5，点P在O外，则OP的长可能是（）A. 3B. 4C. 5D. 62. 若，则的值等于（）A. B. C. D. 3. 抛物线y（x1）2向右平移2个单位，平移后的抛物线的表达式为（）A. y（x+1）2B. y（x3）2C. y（x1）2+2D. y（x1）224. 下列事件是必然事件的是（）A. 任意选择某电视频道，它正在播新闻联播B. 温州今年元旦当天的最高气温为15C. 在装有白色和黑色的袋中摸球，摸出红球D. 不在同一直线上的三点确定一个圆5. 一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它
2、的长是26cm，那么它的宽是（）cmA. 26+26B. 2626C. 13+13D. 13136. 在ABC中，D，E分别是边AB，AC上的两个点，并且DEBC，AD：BD3：2，则ADE与四边形BCED的面积之比为（）A 3：5B. 4：25C. 9：16D. 9：257. 已知点O，C在直线m同一侧，作O交m于点A，B连结AC，BC，OA，OB，若点C在O外，AOB110，则C的角度可能是（） A. 50B. 55C. 60D. 658. 已知三个点(1，y1)，(1，y2)，(4，y3)都在二次函数yx24x+c的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系正确是（）A. y1y2y3B.
3、y2y1y3C. y2y3y1D. y3y2y19. 在科学小实验中，一个边长为30cm正方体小木块沿着一个斜面下滑，其轴截面如图所示初始状态，正方形的一个顶点与斜坡上的点P重合，点P的高度PF40cm，离斜坡底端的水平距离EF80cm正方形下滑后，点B的对应点与初始状态的顶点A的高度相同，则正方形下滑的距离（即的长度）是（）cmA. 40B. 60C. 30D. 4010. 已知抛物线yax22ax+3不经过第四象限当1x2时，y的最大值与最小值的差是12，则a的值是（）A. 3B. 3C. 4D. 12二、填空题11. 从分别写有2，4，5，6四张卡片中任取一张，卡片上的数是偶数的概率为_
4、12. 线段a是线段b，c的比例中项，且b=4cm，c=9cm，则a=_cm13. 已知弧的长是，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为_14. 已知抛物线yax2+bx5的对称轴是x2，与x轴的一个交点为(1，0)，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是_15. 如图，已知ABC，ABAC，A70O，D分别为BC，AB的中点，以O为圆心，OD为半径作圆，与AB的另一个交点为E，与AC交于点G，F，则DOE+FOG的度数是_16. 如图所示，草坪边上有互相垂直的小路m，n，垂足为E，草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘有A，B，C三棵小树在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路
5、上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从E点沿着小路n往右走，测得123，EQ16米，QK24米；从E点沿着小路m往上走，测得EP15米，BPm，则该圆的半径长为_米三、解答题17. 如图，转盘黑色扇形和白色扇形的圆心角分别为120和240（1）让转盘自由转动一次，指针落在白色区域的概率是多少？（2）让转盘自由转动两次，请用树状图或者列表法求出两次指针都落在白色区域的概率（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转）18. 已知抛物线yx2+bx+c经过点(0，1)，(1，4)（1）求抛物线表达式和顶点坐标（2）若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y1+y28，求
6、m的值19. 如图，在55的方格纸中，已知格点ABC，请按要求画图（1）在图1画一个格点DEF，使DEF与ABC相似，且DEF与ABC的周长比是2（2）在图2画一个格点MNL，使MNL与ABC相似，且MNL与ABC的面积比是220. 如图，O是四边形ABCD的外接圆，AD为O的直径连结BD，若（1）求证：12（2）当AD4，BC4时，求ABD的面积21. 如图，抛物线yx22x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，3)（1）求AB的长（2）将点A向上平移n个单位至点E，过点E作DFx轴，交抛物线与点D，F当DF6时，求n值22. 如图，矩形ABCD，BFAC交CD于点
7、E，交AD的延长线于点F（1）求证：AB2BCAF（2）当，DF5时，求AC的长23. 某蛋糕店有线下和网上两种销售方式，每天共销售50个，已知线下和网上销售的纯利润分别为24元/个，20元/个，每天的总纯利润为1120元（1）求线下和网上的销售量分别是多少（2）该店为了扩大业务，增加了销售量调查发现，线下销售的每个蛋糕的纯利润保持不变；网上销售在原来的基础上每降低1元的纯利润，销售量增加2个该店当天线下和网上销售量均为34个，求当天的总纯利润？若线下增加的销售量不超过原来线下销售量的，该店每天生产多少个蛋糕，可使当天的总纯利润最大？24. 如图1，已知ABC，CAB45，AB7，AC3，CD
8、AB于点DE是边BC上的动点，以DE为直径作O，交BC为F，交AB于点G，连结DF，FG（1）求证：BCDFDB（2）当点E在线段BF上，且DFG为等腰三角形时，求DG的长（3）如图2，O与CD的另一个交点为P若射线AP经过点F，求的值温州市瓯海区三校联考2021-2022学年九年级上12月月考数学试卷一、选择题1. 已知O的半径为5，点P在O外，则OP的长可能是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则dr.解：当点P是O外一点时，OP5cm，A、B、C均不符.故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比
9、较点与圆心的距离化为半径的大小关系.2. 若，则的值等于（）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出的倒数，再进行求值即可【详解】解：由题意得，=1+=，=故选：B【点睛】本题主要考查的是利用代入求值的方法进行解题，灵活运用是解题的关键3. 抛物线y（x1）2向右平移2个单位，平移后的抛物线的表达式为（）A. y（x+1）2B. y（x3）2C. y（x1）2+2D. y（x1）22【答案】B【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可【详解】解：抛物线y（x1）2向右平移2个单位，新抛物线的表达式为y=（x1-2）2=（x3）2，故选：B.【点睛】本题主要考查二
10、次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”4. 下列事件是必然事件的是（）A. 任意选择某电视频道，它正在播新闻联播B. 温州今年元旦当天的最高气温为15C. 在装有白色和黑色的袋中摸球，摸出红球D. 不在同一直线上的三点确定一个圆【答案】D【解析】【分析】由题意依据必然事件指在一定条件下一定发生的事件逐项进行判断即可.【详解】解：A. 任意选择某电视频道，它正在播新闻联播，是随机事件，选项不符合；B. 温州今年元旦当天的最高气温为15，是随机事件，选项不符合；C. 在装有白色和黑色的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，选项不符合；D. 不在同一直线上的三点确定
11、一个圆，是必然事件，选项符合.故选：D.【点睛】本题考查确定事件和不确定事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件5. 一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26cm，那么它的宽是（）cmA. 26+26B. 2626C. 13+13D. 1313【答案】D【解析】【分析】根据一种数学课本的宽与长之比为黄金比，即可得到宽：长，由此求解即可【详解】解：一种数学课本的宽与长之比为黄金比，宽：长，长是26cm，宽，故选D【点睛】本
12、题主要考查了黄金比，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割比例6. 在ABC中，D，E分别是边AB，AC上的两个点，并且DEBC，AD：BD3：2，则ADE与四边形BCED的面积之比为（）A. 3：5B. 4：25C. 9：16D. 9：25【答案】C【解析】【分析】根据题意先判断ADEABC，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行分析计算即可得到结论【详解】解：DEBC，ADEABC，AD：BD3：2，ADE与四边形BCED的面积之比为9：16.故选：C.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，注意掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方7. 已知点O，C在直线m的同一侧，作O交m于点A
13、，B连结AC，BC，OA，OB，若点C在O外，AOB110，则C的角度可能是（） A. 50B. 55C. 60D. 65【答案】A【解析】【分析】连接AD，根据圆周角定理可确定C的角度小于55，直接判断即可【详解】解：连接AD，AOB110，ADB55，ADBC，故选：A【点睛】本题考查了圆周角定理，解题关键是明确同弧所对的圆周角是圆心角的一半8. 已知三个点(1，y1)，(1，y2)，(4，y3)都在二次函数yx24x+c的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系正确是（）A. y1y2y3B. y2y1y3C. y2y3y1D. y3y2y1【答案】C【解析】【分析】首先根据二次函数解析式
14、确定抛物线的对称轴为x=2，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1，y2，y3的大小关系详解】解：二次函数y=x2-4x+c=（x-2）2+c-4，抛物线对称轴为直线x=2，a0，x2时，y随x增大而减小，当x2时，y随x的增大而增大，（-1，y1），（1，y2），（4，y3）在二次函数y=x2-4x+c的图象上，且-114，|-1-2|2-4|1-2|y1y3y2故选C【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，熟知开口向上的抛物线上的点离对称轴越远其函数值越大是解题的关键9. 在科学小实验中，一个边长为30cm正方体小木块沿着一个斜面下滑，其轴截面如图所示初始状态，正方形的一个顶点与斜坡上的点P
15、重合，点P的高度PF40cm，离斜坡底端的水平距离EF80cm正方形下滑后，点B的对应点与初始状态的顶点A的高度相同，则正方形下滑的距离（即的长度）是（）cmA. 40B. 60C. 30D. 40【答案】B【解析】【分析】根据题意可得：A与高度相同，连接，可得，利用平行线的性质可得：，根据正切函数的性质计算即可得【详解】解：根据题意可得：A与高度相同，如图所示，连接，故选：B【点睛】题目主要考查平行线性质及锐角三角函数解三角形，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题关键10. 已知抛物线yax22ax+3不经过第四象限当1x2时，y的最大值与最小值的差是12，则a的值是（）A. 3B. 3C. 4
16、D. 12【答案】B【解析】【分析】利用抛物线yax22ax+3不经过第四象限，确定开口方向，利用开口方向以及对称轴，找到y取最大值与最小值时的自变量的取值，然后将自变量取值代入表达式，作差等于12，即可求出a的值【详解】解：抛物线yax22ax+3不经过第四象限，开口方向朝上，根据二次函数的表达式可知：其对称轴为， 1x2，二次函数开口朝上，时，二次函数取最小值为；时，二次函数取最大值为， ，解得 故选：B【点睛】本题主要是考查了二次函数求最值，熟练掌握根据开口方向以及对称轴确定函数的最值，是解决本题的关键二、填空题11. 从分别写有2，4，5，6的四张卡片中任取一张，卡片上的数是偶数的概率
17、为_【答案】#0.75【解析】【分析】根据概率的求法，让是偶数的卡片数除以总卡片数即为所求的概率【详解】解答：解：四张卡片上分别标有数字2，4，5，6，其中有2，4，6，共3张是偶数，从中随机抽取一张，卡片上的数字是偶数的概率为，故答案为：【点睛】点评：本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）12. 线段a是线段b，c的比例中项，且b=4cm，c=9cm，则a=_cm【答案】6【解析】【分析】根据题意可得a2=bc，代入数值，解答出即可，注意线段为正值【详解】解：由题意得，a2=bc，b=4cm，c=9cm，
18、a2=36，a=6，a=-6（舍去）；故答案为：6【点睛】此题考查比例线段，解题关键在于注意理解比例中项的定义13. 已知弧的长是，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为_【答案】100【解析】【分析】根据弧长公式l=代入计算即可【详解】解：l=，r=3，=，解得：n=100，故答案为：100【点睛】本题考查了求圆心角的问题，做题的关键是掌握弧长公式l=14. 已知抛物线yax2+bx5的对称轴是x2，与x轴的一个交点为(1，0)，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是_【答案】(5，0)【解析】【分析】抛物线是轴对称图形，与x轴的交点一定关于对称轴对称，根据对称性就可以求出另一交点的坐标【详解】
19、解：抛物线yax2+bx5的对称轴是x2，与x轴的一个交点为(1，0)，该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（5，0），故答案为：（5，0）【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于熟知：抛物与x轴的两个交点关于对称轴对称15. 如图，已知ABC，ABAC，A70O，D分别为BC，AB的中点，以O为圆心，OD为半径作圆，与AB的另一个交点为E，与AC交于点G，F，则DOE+FOG的度数是_【答案】80#80度【解析】【分析】先证明OD是ABC的中位线，得到ODBC， 则ODE=A=70，从而推出DOE =40连接AO，分别过点O作OMAB于M，ONAC于N，先证明OM=ON，即可证明Rt
20、OMDRtONG，RtOMERtONF，即可推出MOD=NOG，MOE=NOF，则FOG=DOE=40，DOE+FOG=80【详解】解：OD分别为AB和BC的中点，OD是ABC的中位线，ODBC， ODE=A=70，OD=OE，OED=ODE=70，DOE=180-OED-ODE=40，连接AO，分别过点O作OMAB于M，ONAC于N，AB=AC，O是BC的中点，AO平分BAC，OM=ON，又OD=OE=OG=OFRtOMDRtONG（HL），RtOMERtONF（HL），MOD=NOG，MOE=NOF，FOG=DOE=40，DOE+FOG=80，故答案为：80【点睛】本题主要考查了等腰三角形
21、的性质，三角形中位线定理，角平分线的性质，圆的基本性质，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键16. 如图所示，草坪边上有互相垂直的小路m，n，垂足为E，草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘有A，B，C三棵小树在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从E点沿着小路n往右走，测得123，EQ16米，QK24米；从E点沿着小路m往上走，测得EP15米，BPm，则该圆的半径长为_米【答案】#【解析】【分析】设圆心为，过点作，连接交于点，根据题意可证明四边形是矩形，进而求得,证明，根据求得，设的半径为,在中，
22、勾股定理即可求解【详解】如图，设圆心为，过点作，连接交于点，根据题意在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，且12，23，三点共线四边形是矩形设的半径为,在中，则解得故答案为：【点睛】本题考查了两点确定一条直线，三角函数，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，等边对等角，理清各线段长，并添加辅助线是解题的关键三、解答题17. 如图，转盘黑色扇形和白色扇形的圆心角分别为120和240（1）让转盘自由转动一次，指针落在白色区域的概率是多少？（2）让转盘自由转动两次，请用树状图或者列表法求出两次指针都落在白色区域的概率（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转）
23、【答案】（1）；（2）见解析，【解析】【分析】（1）将120作为1份，可知白色扇面占2份，黑色扇面占1份，利用概率公式计算即可；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出概率可得【详解】解：（1）将120作为1份，可知白色扇面占2份，黑色扇面占1份，它们发生的可能性相同，让转盘自由转动一次，共三种可能，指针落在白色区域有2种，所以，概率是；（2）设白色扇形两块和黑色扇形的一块分别为1，2，3，画树状图得： 由树状图知共有9种等可能结果，其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的有4种结果，所以指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为【点睛】本
24、题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比18. 已知抛物线yx2+bx+c经过点(0，1)，(1，4)（1）求抛物线的表达式和顶点坐标（2）若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y1+y28，求m的值【答案】（1），(-2，5)；（2）m=1【解析】【分析】（1）把（0，1），（1，-4）代入到抛物线解析式中求解即可；（2）先求出，从而求出，由此即可利用抛物线的对称性求解【详解】（1）抛物线经过（0，1），（1，-4），抛物线解析式为，抛物线解析式为顶点坐标为（-2
25、，5）；（2）当x= -5时，（-5，-4）与（m，-4）关于抛物线对称轴对称，-5+m=（-2）2=-4m=1【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式和顶点坐标，抛物线的对称性，抛物线上的点的坐标特点，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识19. 如图，在55的方格纸中，已知格点ABC，请按要求画图（1）在图1画一个格点DEF，使DEF与ABC相似，且DEF与ABC的周长比是2（2）在图2画一个格点MNL，使MNL与ABC相似，且MNL与ABC的面积比是2【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）只需要令，利用勾股定理作图即可；（2）只需要令，利用勾股定理作图即可【详解】解
26、：（1）如图所示：，,，DEFABC，DEF与ABC周长比是2；（2）如图所示，,，MNLABC，MNL与ABC的面积比是2【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定20. 如图，O是四边形ABCD的外接圆，AD为O的直径连结BD，若（1）求证：12（2）当AD4，BC4时，求ABD的面积【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等即可证明；（2）过O点作OEBC于点E，连接OB，由垂径定理可得BE=CE=，由勾股定理求出，即可得到【详解】解：（1），1=2；（2）过O点作OEBC于点E，连接OB
27、，BE=CE=，AD为O的直径，OB=，【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，同圆中等弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识21. 如图，抛物线yx22x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，3)（1）求AB的长（2）将点A向上平移n个单位至点E，过点E作DFx轴，交抛物线与点D，F当DF6时，求n的值【答案】（1）AB的长为4；（2）n的值为5【解析】【分析】（1）利用二次函数表达式，求出其与x轴的交点、的坐标，其横坐标之差的绝对值即为AB的长（2）利用二次函数的对称性，求出F点的横坐标，代入二次函数表达式，求出纵坐标，最后求得n的值【详解】
28、（1）解：把（0，-3）代入y=x2-2x-c得c=-3，令y=x2-2x-3=0，解得x1=3，x2=-1，A（-1，0），B（3，0），AB=3-(-1)=4（2）解：作对称轴x=1交DF于点G，G点横坐标为1，如图所示：由题意可设：点F坐标为（，），、关于二次函数的对称轴 DG=GF=3， ，n=5【点睛】本题主要是考查了二次函数与x轴交点坐标以及二次函数的对称性，熟练应用二次函数的对称性进行解题，是求解这类二次函数题目的关键22. 如图，矩形ABCD，BFAC交CD于点E，交AD的延长线于点F（1）求证：AB2BCAF（2）当，DF5时，求AC的长【答案】（1）见详解；（2）【解析】【
29、分析】(1)根据矩形ABCD和BFAC得到ABFBCA，列比例式即可得出结论；(2) 设BC=2x，AB=3x，根据，可得方程，再根据勾股定理即可得到结论.【详解】（1）证明：矩形ABCDFAB=ABC=90BFACACB+CBE=CBE+FBA=90ACB=FBAABFBCA（2）解：设BC=2x，AB=3xBC=4AB=6【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质和勾股定理，熟记相似三角形的判定和性质和勾股定理是解题的关键.23. 某蛋糕店有线下和网上两种销售方式，每天共销售50个，已知线下和网上销售的纯利润分别为24元/个，20元/个，每天的总纯利润为1120元（1）求线下和网上的销售量分
30、别是多少（2）该店为了扩大业务，增加了销售量调查发现，线下销售的每个蛋糕的纯利润保持不变；网上销售在原来的基础上每降低1元的纯利润，销售量增加2个该店当天线下和网上销售量均为34个，求当天的总纯利润？若线下增加的销售量不超过原来线下销售量的，该店每天生产多少个蛋糕，可使当天的总纯利润最大？【答案】（1）线下的销售量为30个，则网上的销售量为20个；（2）7元；当每天生产70个蛋糕时，当天总利润最大【解析】【分析】（1）根据题意设线下的销售量为x个，则网上的销售量为（50-x）个，依据每天的总纯利润为1120元建立方程求解即可；（2）由题意直接根据总纯利润等于单个利润乘以销售量进行计算即可；根据
31、题意设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润，得到，进而设线下的销售量m个，则进行分析即可.【详解】解：（1）设线下的销售量为x个，则网上的销售量为（50-x）个，x=30线下的销售量为30个，则网上的销售量为20个；（2）总纯利润=3424+34（20-7）=1258（元）设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润当时，网上销售量为20+25=30个有最大值设线下的销售量m个，则k=24，随着m的增大而增大线下增加的销售量不超过原来线下销售量的m个当m=40时，有最大值当每天生产40+30=70个蛋糕时，当天总利润最大【点睛】本题考查一元一次方程和二次函数的实际应用，解答本题的关键是正确理解题
32、意，找出题目中的等量关系，再列出方程组或函数关系式进行分析24. 如图1，已知ABC，CAB45，AB7，AC3，CDAB于点DE是边BC上的动点，以DE为直径作O，交BC为F，交AB于点G，连结DF，FG（1）求证：BCDFDB（2）当点E在线段BF上，且DFG为等腰三角形时，求DG的长（3）如图2，O与CD的另一个交点为P若射线AP经过点F，求的值【答案】（1）见解析；（2），2；（3）【解析】【分析】(1)由DE为直径得BCD+CDF=90，再由CDAB 可得FDB+CDF=90，即可得出结论；(2)分当DF=DG时, 当DF=FG时，当FG=DG时，三种情况讨论，即可得出结论；(3)
33、由四边形PDEF是O圆内接四边形，可得PAD=EDF，连结PG，得出ADPDFE，再得到CDBPFG，列比例式即可得出结论【详解】证明：（1）DE是直径CFD=90BCD+CDF=90CDABFDB+CDF=90BCD=FDB（2）（i）当DF=DG时,如图：CAB=45，CDAB，AC=3AD=CD=3AB=7BD=7-3=4BC=DF=DG（ii）如图：当DF=FG时，过F作FHBD交BD于点H， DFHCBDDG=2DH=（iii）如图：当FG=DG时，1=21+3=2+4=903=4FG=GB=DGDG=（3）如图：四边形PDEF是O圆内接四边形APD=DEFAPD+PAD=DEF+EDF=90PAD=EDF连结PGPAD=EDFADP=DFE=90ADPDFEPDG=90PG是直径PFG=90FPG=FDG=BCDCDBPFG.【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、三角形相似的性质和判定、圆的性质，直角三角形的性质，正确的添加辅助线是解决问题的关键.