1、4.2等差数列等差数列的性质的性质(2) 复习回顾复习回顾 1 1、等差数列的性质一、等差数列的性质一( (等差数列变通公式等差数列变通公式) ) an=am+(n-m)d 2 2、等差数列的性质二、等差数列的性质二( (等差数列中项公式等差数列中项公式) ) 在等差数列在等差数列an中，若中，若m,n,p成等差数列成等差数列(m+p=2n)，则有，则有 am+ap=2an 3 3、等差数列的性质三、等差数列的性质三( (等差数列足数和性质等差数列足数和性质) ) 在等差数列在等差数列an中，若中，若m,n,p,qN*，若，若m+n=p+q，则有，则有 am+an=ap+aq 即下标和相等，对
2、应项之和相等即下标和相等，对应项之和相等 即即am，an，ap也成等差数列也成等差数列 2(0)nn kn kaaank数学建构数学建构 1 1、等差数列的性质四、等差数列的性质四( (等差数列的顺次等差数列的顺次n n项和性质项和性质) ) 2 2、等差数列的性质五、等差数列的性质五( (等差数列通项和前等差数列通项和前n n项和特征式项和特征式) ) 若数列若数列an为等差数列为等差数列 等差数列的等差数列的an前前n项和为项和为Sn,则数列则数列也是等差数列。也是等差数列。 3 3、等差数列的性质六、等差数列的性质六( (等差数列奇偶项等差数列奇偶项性质性质) ) 数学建构数学建构 +
3、3 3、等差数列的性质六、等差数列的性质六( (等差数列奇偶项等差数列奇偶项性质性质) ) 数学建构数学建构 数学建构数学建构 4 4、等差数列其它性质、等差数列其它性质 (1)若数列若数列an为公差为为公差为d的等差数列，的等差数列，则数列则数列an+k、man、man+k(k、m为常数为常数)也为等差数列也为等差数列，其公差分别为，其公差分别为d、md、md; (2)若数列若数列an为等差数列，为等差数列，则每隔相同的项抽出来的项按原则每隔相同的项抽出来的项按原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项但剩下的项按原来的的顺序排列，构成的
4、新数列不一定是等差数列按原来的的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列; (3)若数列若数列an、bn分别为公差为分别为公差为d1、 d2的等差数列，的等差数列，则数则数列列anbn、1an 2bn(1、2为常数为常数)也为等差数列也为等差数列，其公，其公差分别为差分别为d1d2、1d12d2 问题诊断问题诊断 1、在等差数列、在等差数列an中，已知中，已知a19=12,a30=20,求求a52 2、已知、已知等差数列等差数列an的公差为的公差为2，且，且a1+a5+a9=19,求求a3+a7+a11 3、已知数列、已知数列an满足满足a1=2，则，则an+1=+, (1)数列数列是否为等差数
5、列，说明理由；是否为等差数列，说明理由； (2)求求an 活动探究活动探究 类型一类型一 等差数列顺次等差数列顺次n n项和性质的应用项和性质的应用 例例1、在等差数列、在等差数列an中，已知第中，已知第1项到第项到第10项的和为项的和为310，第，第11项到第项到第20项的和为项的和为910，求，求第第21项到第项到第30项的和项的和 思考：思考： (1)能继续求第能继续求第31项到第项到第40项的和吗？项的和吗？ 第第91项到第项到第100项的和呢？项的和呢？ (2)能求其前能求其前100项的和吗？项的和吗？ 练习练习 1、在等差数列、在等差数列an中，中，已知前已知前k项的和为项的和为5
6、，第，第k+1项到第项到第2k项的和为项的和为15，则第，则第2k+1项到第项到第3k项的和为项的和为 , 2、在等差数列、在等差数列an中，已知前中，已知前n项的和为项的和为25,第第2n项的和为项的和为100，则前，则前3n项的和为项的和为 。 变式拓展变式拓展 在等差数列在等差数列an中，中，已知已知S10=100，S100=10,求求S110 活动探究活动探究 类型二类型二 等差数列通项和前等差数列通项和前n n项和特征式的应用项和特征式的应用 例例2、设等差数列、设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若Sm-1=-2，Sm=0,Sm+1=3，求，求m的值的值 在等差数列在等差
7、数列an中，中，已知已知S10=100，S100=10,求求S110 问题回归问题回归 活动探究活动探究 类型三类型三 等差数列奇偶项的应用等差数列奇偶项的应用 例例3、(1)有一个项数为有一个项数为10的等差数列，其偶数项和为的等差数列，其偶数项和为15，奇数项和为奇数项和为13，求其项数与公差，求其项数与公差; (2)有有2n+1项的等差数列，其奇数项和为项的等差数列，其奇数项和为290，偶数项和为，偶数项和为261，求其中间数和项数。，求其中间数和项数。 练习练习 1、一个等差数列的前、一个等差数列的前12项和为项和为354，其中偶数项和奇数项之其中偶数项和奇数项之比为比为32：27，求
8、公差，求公差d (2)在项数为在项数为2n+1等差数列中，所有奇数项和为等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶，所有偶数项和为数项和为150，则，则n= . 活动探究活动探究 类型四类型四 等差数列其它性质的应用等差数列其它性质的应用 例例4、已知等差数列、已知等差数列an的首项为的首项为a1，公差为，公差为d， (1)将数列将数列an中的每一项都乘以中的每一项都乘以a，所得的新数列仍是等差，所得的新数列仍是等差数列吗数列吗?如果是，其首项和公差分别是多少如果是，其首项和公差分别是多少? (2)将数列将数列an中所有的奇数项按原来的顺序组成新的数列中所有的奇数项按原来的顺序组成新的数列cn是
9、等差数列吗是等差数列吗?如果是，其首项和公差分别是多少如果是，其首项和公差分别是多少? 练习练习 2d 2d 2md 2d 课堂检测课堂检测 1、在等差数列、在等差数列an中，中，S2=4,S4=9,S6= . 2、在等差数列、在等差数列an中，公差中，公差d=0.5，且，且S100=145,则则a1+a2+a3+ +a97+a99= . 3、(多选多选)已知数列已知数列an为等差数列则下列说法正确的是为等差数列则下列说法正确的是( ) (A)、an+1=an+d (B)、数列、数列-an为等差数列为等差数列 (C)、数列、数列为等差数列为等差数列 (D)、an+1是是an与与an+2的等差中
10、项的等差中项 课堂小结课堂小结 1 1、等差数列的性质一、等差数列的性质一( (等差数列变通公式等差数列变通公式) ) an=am+(n-m)d 2 2、等差数列的性质二、等差数列的性质二( (等差数列中项公式等差数列中项公式) ) 在等差数列在等差数列an中，若中，若m,n,p成等差数列成等差数列(m+p=2n)，则有，则有 am+ap=2an 3 3、等差数列的性质三、等差数列的性质三( (等差数列足数和性质等差数列足数和性质) ) 在等差数列在等差数列an中，若中，若m,n,p,qN*，若，若m+n=p+q，则有，则有 am+an=ap+aq 即下标和相等，对应项之和相等即下标和相等，对
11、应项之和相等 即即am，an，ap也成等差数列也成等差数列 2(0)nn kn kaaank1 1、等差数列的性质四、等差数列的性质四( (等差数列的顺次等差数列的顺次n n项和性质项和性质) ) 2 2、等差数列的性质五、等差数列的性质五( (等差数列通项和前等差数列通项和前n n项和特征式项和特征式) ) 若数列若数列an为等差数列为等差数列 课堂小结课堂小结 3 3、等差数列的性质六、等差数列的性质六( (等差数列奇偶项等差数列奇偶项性质性质) ) 课堂小结课堂小结 3 3、等差数列的性质六、等差数列的性质六( (等差数列奇偶项等差数列奇偶项性质性质) ) 课堂小结课堂小结 4 4、等差
12、数列其它性质、等差数列其它性质 (1)若数列若数列an为公差为为公差为d的等差数列，的等差数列，则数列则数列an+k、man、man+k(k、m为常数为常数)也为等差数列也为等差数列，其公差分别为，其公差分别为d、md、md; (2)若数列若数列an为等差数列，为等差数列，则每隔相同的项抽出来的项按原则每隔相同的项抽出来的项按原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项但剩下的项按原来的的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列按原来的的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列; (3)若数列若数列an、bn分别为公差为分别为公差为d1、 d2的等差数列，的等差数列，则数则数列列anbn、1an 2bn(1、2为常数为常数)也为等差数列也为等差数列，其公，其公差分别为差分别为d1d2、1d12d2 课堂小结课堂小结