1、1、等差数列的定义、等差数列的定义 一般地，如果一个数列一般地，如果一个数列从第二项起从第二项起，每一项减去它的前，每一项减去它的前一项所得的一项所得的差差都等于都等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫作，那么这个数列就叫作等差数列。等差数列。 这个常数叫作等差数列的这个常数叫作等差数列的公差公差，公差通常用用，公差通常用用d表示。表示。 2、等差数列的数学符号表示、等差数列的数学符号表示 1()nnnNaadd， 为常数12()nnnNdnaad ， 为常数3、等差数列的公差、等差数列的公差 1()nndaanN1(2)nnnNdaan，复习回顾复习回顾 4、等差数列的通项公式、等差数列
2、的通项公式 1(1) ()naand nN()naanb nN5、等差数列通项公式的特征式、等差数列通项公式的特征式 1da aab，复习回顾复习回顾 6、等差中项的定义、等差中项的定义 如果在如果在a与与b之间插入一个数之间插入一个数A，使，使a，A，b成成等差数列等差数列，那么那么A叫作叫作a与与b的的等差中项等差中项。 2Aab即：即： 2Aab或或 111(2(2),)nnnnnNaaa121()2()nnnaaanN7、等差数列的递推关系、等差数列的递推关系(递推公式递推公式) 复习回顾复习回顾 8、从函数角度认识等差数列从函数角度认识等差数列an 若数列若数列an是等差数列，首项为
3、是等差数列，首项为a1，公差为，公差为d，则，则 anf (n)a1(n1)dnd(a1d)， (1)点点(n，an)都落在直线都落在直线 ydx(a1d)上；上； (2)这些点的横坐标每增加这些点的横坐标每增加1，函数值增加，函数值增加d。 9、求求等差数列等差数列通项公式的方法通项公式的方法 (1)首先首先通过解方程组求得通过解方程组求得a1，d的值的值，然后然后再利用再利用公式公式 ana1(n1)d写出通项公式写出通项公式，这是求解这类问题这是求解这类问题 的基本方法的基本方法(基本量思想基本量思想)； (2)已知等差数列中的两项已知等差数列中的两项，可用可用 直接求得公直接求得公 差
4、差，再利用再利用anam(nm)d写通项公式写通项公式(变通公式变通公式)； staadst(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过通过an是关于是关于 n的一次函数形式的一次函数形式，列出方程组求解列出方程组求解(等差数列通项等差数列通项 特征式特征式)。 复习回顾复习回顾 10、等差数列证明的常用方法、等差数列证明的常用方法 1()(1)naandnNpnq(1)定义法：定义法： (2)等差中项法：等差中项法： (3)通项公式法：通项公式法： 复习回顾复习回顾 问题问题1：据说，据说，200多年前，多年前，高斯高斯的算术老师提出了下面的的算术老师提出了下
5、面的 问题：问题：123 100=？你准备怎么算呢？你准备怎么算呢？ 问题情境问题情境 问题情境问题情境 问题问题2：如图表示堆放的钢管，共堆放了如图表示堆放的钢管，共堆放了8层，自上而下各层，自上而下各 层的钢管数组成了层的钢管数组成了_数列，共有钢管数列，共有钢管_根。根。 4- 5- 6- 7- 8- 9- 10- 11- 8456789 10 11S ?问题情境问题情境 问题问题3：根据以上两个问题情境，我们应如何推导等差数列根据以上两个问题情境，我们应如何推导等差数列 的前的前n项和公式？项和公式？ 12nnn aaS1(1)naand1(1)2nn nSnad?“足数和”足数和”性
6、质性质 倒序倒序相加相加 1、等差数列的前、等差数列的前n项和公式项和公式 数学建构数学建构 12nnn aaS1(1)2nn nSnad2、等差数列的前、等差数列的前n项和公式的推导方法项和公式的推导方法 倒序相加法倒序相加法 问题问题4：若数列若数列an的前的前n项和为项和为Snn212n(nN*)，你，你 能证明数列能证明数列an为等差数列吗？为等差数列吗？ 问题情境问题情境 思考：思考： 若数列若数列an的前的前n项和为项和为Snn212n1呢？呢？ 问题问题5：若数列若数列an的前的前n项和为项和为SnAn2Bn(nN*)，根，根 据以上方法你能证明数列据以上方法你能证明数列an为等
7、差数列吗？为等差数列吗？ 问题情境问题情境 问题问题6：若数列若数列an的前的前n项和为项和为SnAn2BnC(C0，n N*)，试探究数列，试探究数列an为等差数列吗？为等差数列吗？ 问题情境问题情境 除第一项外，其余各项成等差数列除第一项外，其余各项成等差数列 思考：思考：等差数列等差数列an的前的前n项和为项和为Sn(1n)2， 则则 _ 3、等差数列前、等差数列前n项和公式的特征式项和公式的特征式 数学建构数学建构 等差数列等差数列前前n项和项和特征式特征式 等差数列前等差数列前n项和公式的特征式为项和公式的特征式为关于关于n的二次式的二次式，且且 常数项为常数项为0。 数学应用数学应
8、用 例例1、在等差数列、在等差数列an中，中， (1)已知已知a13， a50101，求，求S50； (2)已知已知a13， d0.5，求，求S10。 类型一类型一 等差数列前等差数列前n项和的求解项和的求解 1nnadanS， ， ， ，数学练习数学练习 根据下列条件，求相应的等差数列根据下列条件，求相应的等差数列an的前的前n项和。项和。 (1) a15，an95，n10； (2) a1100，an2，n50； (3) a114.5，d0.7， an32。 变式拓展变式拓展 在等差数列在等差数列an中，中，S421，an3an2an1an67， Sn286，求，求n。 数学应用数学应用 类
9、型二类型二 等差数列基本量之间的运算等差数列基本量之间的运算 例例2、根据下列条件，求相应的等差数列的未知项。、根据下列条件，求相应的等差数列的未知项。 (1)已知已知a120， an54， Sn999，求，求d和和n； (2)已知已知d ， n37， Sn629，求，求a1和和an ； (3)已知已知a1 ， d ， Sn5，求，求n和和an ； (4)已知已知d2， n15， an10，求，求a1和和Sn 。 135616数学练习数学练习 在等差数列在等差数列an中，已知中，已知d ， an ， Sn ，求，求a1 和和n。 1232152数学建构数学建构 4、等差数列中的基本计算等差数列
10、中的基本计算 (1)利用基本量求值：利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量项和公式中有五个量a1， d，n，an和和 Sn这五个量可以这五个量可以“知三求二知三求二”，”，一般是一般是 利用公式列出基本量利用公式列出基本量a1和和d的方程组，解出的方程组，解出a1和和d， 便可解决问题便可解决问题，解题时注意整体代换的思想解题时注意整体代换的思想； (2)结合等差数列的性质解题结合等差数列的性质解题(等差数列的常用性质等差数列的常用性质)： 若若mnpq(m，n，p，qN*)，则，则amanap aq，常与求和公式，常与求和公式 结合使用结合使用。
11、12nnn aaS课堂检测课堂检测 课本第课本第138页练习第页练习第1、2、3题。题。 1、等差数列的前、等差数列的前n项和公式项和公式 12nnn aaS1(1)2nn nSnad2、等差数列的前、等差数列的前n项和公式的推导方法项和公式的推导方法 倒序相加法倒序相加法 课堂小结课堂小结 3、等差数列前、等差数列前n项和公式的特征式项和公式的特征式 2nSAnBn12dA aA B，课堂小结课堂小结 4、等差数列中的基本计算等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值：利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量项和公式中有五个量a1， d，n，an和和 Sn这五个量可以这五个量可以“知三求二知三求二”，”，一般是一般是 利用公式列出基本量利用公式列出基本量a1和和d的方程组，解出的方程组，解出a1和和d， 便可解决问题便可解决问题，解题时注意整体代换的思想解题时注意整体代换的思想； (2)结合等差数列的性质解题结合等差数列的性质解题(等差数列的常用性质等差数列的常用性质)： 若若mnpq(m，n，p，qN*)，则，则amanap aq，常与求和公式，常与求和公式 结合使用结合使用。 12nnn aaS