1、1、我们已经用归纳法得到许多结论，例如：、我们已经用归纳法得到许多结论，例如： 问题情境问题情境 等比数列等比数列an的通项公式：的通项公式： 等差数列等差数列an的通项公式：的通项公式： 1(1)naand11nnaa q2、观察下列一组式子：、观察下列一组式子： 1214143 问题情境问题情境 2224147 3234153 4244161 5254171 猜想：猜想：n2n41(nN*)都是质数。都是质数。 当当n41时，时， n2n41 4124141 4341是一个合数。是一个合数。 思考：思考：如何判断猜想结论的正误？如何判断猜想结论的正误？ 正确正确给出证明；给出证明； 错误错
2、误举出反例。举出反例。 数学探究数学探究 上述这些命题都与正整数有关，而正整数有无限多个，我上述这些命题都与正整数有关，而正整数有无限多个，我们无法对所有正整数逐一验证，那么，对于一个与正整数们无法对所有正整数逐一验证，那么，对于一个与正整数有关的命题，我们怎样证明这个命题对所有正整数都成立有关的命题，我们怎样证明这个命题对所有正整数都成立呢？呢？ 数学归纳法数学归纳法 3、多米诺骨牌游戏：、多米诺骨牌游戏： 问题情境问题情境 在一个平面上，摆一排骨牌在一个平面上，摆一排骨牌(每一块骨牌每一块骨牌 都竖起都竖起)，假定这牌骨牌有无数块，我们，假定这牌骨牌有无数块，我们 要使所有的骨牌都倒下，只
3、要做两件事就行了。要使所有的骨牌都倒下，只要做两件事就行了。 第一，使第一块骨牌倒下；第一，使第一块骨牌倒下； 第二，保证前一块骨牌倒下后能击倒下一块骨牌。第二，保证前一块骨牌倒下后能击倒下一块骨牌。 数学建构数学建构 1、数学归纳法公理、数学归纳法公理 一般地，证明一个与一般地，证明一个与正整数正整数n有关的数学命题，可按如有关的数学命题，可按如 下两个步骤进行：下两个步骤进行： (1)证明当证明当nn0(n0N*)时命题成立；时命题成立； (2)假设当假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，时命题成立， 证明当证明当nk1时命题也成立。时命题也成立。 上述证明方法叫作上述证明方法叫作数学归
4、纳法。数学归纳法。 数学归纳法是证明与正整数有关命题的常用方法。数学归纳法是证明与正整数有关命题的常用方法。 数学建构数学建构 2、数学归纳法的思维过程、数学归纳法的思维过程 数学建构数学建构 3、数学归纳法的使用关键、数学归纳法的使用关键 (1)重点：两个步骤、一个结论；重点：两个步骤、一个结论； (2)注意：注意： 归纳奠基不可少，归纳奠基不可少， 归纳假设要用到，归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。 归纳奠基归纳奠基 递推的基础递推的基础(找准找准n0) 归纳递推归纳递推 递推的依据递推的依据 nk(kn0)时命题成立作为必用的条件运时命题成立作为必用的条件运用，而用，而n
5、k1时情况则有待利用假设及时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明。已知的定义、公式、定理等加以证明。 数学探究数学探究 思考下列问题：思考下列问题： (1)第一步，初始值第一步，初始值n0的验证是否可以省略？初始值是否一的验证是否可以省略？初始值是否一 定为定为1？ (2)第二步，第二步， 从从nk(kn0)时命题成立的假设出发，推证时命题成立的假设出发，推证n k1时命题也成立，既然是假设，为什么还要把它当时命题也成立，既然是假设，为什么还要把它当 成条件呢？成条件呢？ 这一步是在第一步正确的基础上，证明这一步是在第一步正确的基础上，证明传递性传递性。 数学应用数学应用 类型
6、一类型一 对数学归纳法的基本认识对数学归纳法的基本认识 例例1、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明： “1aa2 an1 (a1，nN*)”，”， 在验证在验证n1成立时，左边计算所得的结果是成立时，左边计算所得的结果是_ 211naa数学练习数学练习 已知已知 ，则，则f(k1) _ 111( )1231f nnnn数学应用数学应用 例例2、用数学归纳法证明：若等差数列、用数学归纳法证明：若等差数列an中，中，a1为首项，为首项， d为公差，则通项公式为为公差，则通项公式为ana1(n1)d。 类型二类型二 利用数学归纳法证明简单的命题利用数学归纳法证明简单的命题 数学练习数学练习 用数学
7、归纳法证明：若等比数列用数学归纳法证明：若等比数列an中，中，a1为首项，为首项，q为公为公比，则通项公式为比，则通项公式为ana1 qn1。 数学应用数学应用 例例3、用数学归纳法证明：用数学归纳法证明： 当当nN*时，时，135 (2n1)n2。 类型三类型三 利用数学归纳法证明恒等式利用数学归纳法证明恒等式 数学应用数学应用 例例3、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明： 当当nN*时，时，135 (2n1)n2。 数学练习数学练习 1、下面是某同学用数学归纳法证明命题：设、下面是某同学用数学归纳法证明命题：设nN*，求，求 证：证：246 2nn2n1的过程，你认为他的的过程，你认为他
8、的 证法正确吗？为什么？证法正确吗？为什么？ 数学练习数学练习 2、下面是某同学用数学归纳法证明命题：设、下面是某同学用数学归纳法证明命题：设nN*，求证：，求证： 的过程，你认为他的的过程，你认为他的 证法正确吗？为什么？证法正确吗？为什么？ 1111 22 3(1)1nnnn变式拓展变式拓展 1、用数学归纳法证明：当用数学归纳法证明：当nN*时，时， (n1)(n2)(n3) (nn)2n13 (2n1)。 2、用数学归纳法证明：当用数学归纳法证明：当nN*时，时， 12 23 34 n(n1) 。 (1)(2)3n nn数学应用数学应用 例例4、用数学归纳法证明：当用数学归纳法证明：当n
9、N*时，时， 122232 n2 。 (1)(21)6n nn变式拓展变式拓展 用数学归纳法证明：当用数学归纳法证明：当nN*时，时， 132333 n3 (123 n)2。 变式拓展变式拓展 用数学归纳法证明：当用数学归纳法证明：当nN*时，时， 132333 n3 (123 n)2。 课堂检测课堂检测 用数学归纳法证明：当用数学归纳法证明：当nN*时，时， 1222 2n1 2n1。 课堂小结课堂小结 1、数学归纳法公理、数学归纳法公理 一般地，证明一个与一般地，证明一个与正整数正整数n有关的数学命题，可按如有关的数学命题，可按如 下两个步骤进行：下两个步骤进行： (1)证明当证明当nn0
10、(n0N*)时命题成立；时命题成立； (2)假设当假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，时命题成立， 证明当证明当nk1时命题也成立。时命题也成立。 上述证明方法叫作上述证明方法叫作数学归纳法。数学归纳法。 数学归纳法是证明与正整数有关命题的常用方法。数学归纳法是证明与正整数有关命题的常用方法。 2、数学归纳法的思维过程、数学归纳法的思维过程 课堂小结课堂小结 3、数学归纳法的使用关键、数学归纳法的使用关键 (1)重点：两个步骤、一个结论；重点：两个步骤、一个结论； (2)注意：注意： 归纳奠基不可少，归纳奠基不可少， 归纳假设要用到，归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。 归纳奠基归纳奠基 递推的基础递推的基础(找准找准n0) 归纳递推归纳递推 递推的依据递推的依据 nk(kn0)时命题成立作为必用的条件运时命题成立作为必用的条件运用，而用，而nk1时情况则有待利用假设及时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明。已知的定义、公式、定理等加以证明。 课堂小结课堂小结