1、7.3.1 7.3.1 离散型随机变离散型随机变量的均值量的均值 某商场如果把这三种糖果按某商场如果把这三种糖果按321的比例的比例混合销售，那么混合销售，那么如何对糖果定价才比较合理呢？如何对糖果定价才比较合理呢？ 18元元/ /千克千克 24元元/ /千克千克 36元元/ /千克千克 创设情境 方案方案1：按照糖果的最高价格定价，所以定价为按照糖果的最高价格定价，所以定价为36元元/ /千克千克. . 方案方案2：按照这三种糖果的平均价格定价，所以定价为按照这三种糖果的平均价格定价，所以定价为 元元/ /千克千克. . 18+24+36=326方案方案3：按照这三种糖果的加权平均价格定价，
2、所以定价为按照这三种糖果的加权平均价格定价，所以定价为 32118+24+36=3+2+13+2+13+223+1元元/ /千克千克. . 问题问题1 甲、甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示. 环数环数X 7 8 9 10 甲射中的概率甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢如何比较他们射箭水平的高低呢? 类似两组数据的比较, 首先比较击中的平均环数, 如果平均环数相等, 再看稳定性. 问题探究 假设甲射箭假设甲射箭n次，射
3、中次，射中7环、环、8环、环、9环和环和10环的频率分别为环的频率分别为 甲甲n次射箭射中的平均环数为次射箭射中的平均环数为 3124nnnnnnnn， ， ， . .312478910.nnnnxnnnn 当当n足够大时，足够大时，频率稳定于概率频率稳定于概率，所以，所以 稳定于稳定于 x7 0.18 0.29 0.310 0.49 即甲射中平均环数的稳定值即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值理论平均值)为为9，这个平均值的大小，这个平均值的大小可以反映可以反映甲运动员的射箭水平甲运动员的射箭水平. 同理，乙射中环数的平均值为同理，乙射中环数的平均值为 7 0.158 0.259 0.410
4、 0.28.65 从平均值的角度比较，从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高甲的射箭水平比乙高. 问题探究 随机变量的均值随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，的分布列如下表所示， X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称则称 11221()nnniiiE Xx px px px p 为随机变量为随机变量X的的均值均值或或数学期望数学期望， 数学期望简称数学期望简称期望期望. 概念形成 均值均值是是随机变量可能取值随机变量可能取值关于关于取值概率取值概率的的加权平均数加权平均数，它综合，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取
5、值的了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平平均水平. 例例1 在篮球比赛中，罚球命中在篮球比赛中，罚球命中1次得次得1分，不中得分，不中得0分分. 如果某运动员罚球如果某运动员罚球命中的概率为命中的概率为0.8，那么他罚球，那么他罚球1次的得分次的得分X的均值是多少的均值是多少? 解：解：由题意得，由题意得，X的分布列为的分布列为 (0)0.2(1)0.8P XP X，()0 0.21 0.80.8E X 即该运动员罚球即该运动员罚球1次的得分次的得分X的均值是的均值是0.8. 一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X服从服从两点分布两点分布，那么，那么 ()0 (1)1
6、.E Xppp 典例分析 求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值； (2)求概率：求X取每个值的概率； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：由均值的定义求出E(X). 关键步骤 方法总结 例例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，抛掷一枚质地均匀的骰子， 设出现的点数为设出现的点数为X，求，求X的均值的均值. 解：解：由题意得，由题意得，X的分布列为的分布列为 1()1 2 3 4 5 66P Xkk, , , , , , , , ,111111()1234563.5666666E X 即点数即点数X的均值是的均值是3.5. 典例分析 观察
7、观察 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为的均值为3.5. 随机模拟这个试随机模拟这个试验，重复验，重复60次和重复次和重复300次各做次各做6次，观测出现的点数并计算平均数次，观测出现的点数并计算平均数. 根据根据观测值的平均数观测值的平均数(样本均值样本均值)绘制统计图，分别如图绘制统计图，分别如图 (1)和和(2)所示所示. 观察图形，观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别? 探究新知 观察图形可以发现观察图形可以发现: 在这在这12组掷骰子试验中，样本均值各不组掷骰子试验中
8、，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数相同，但它们都在掷出点数X的的均值均值3.5附近波动附近波动，且重复掷，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显次的样本均值波动幅度明显小于小于重复重复60次的次的. 事实上，事实上，随机变量的均值是一个确定的数随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动随机性，它围绕随机变量的均值波动. 随着重复试验次数的增加，随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小，因此，我们常用样本均值的波动幅度一般会越来越小，因此，我们常用随机变量随机变量的的观测值观测值的均值去估计随机变量的均值的均值去估计随机变量的
9、均值. 探究探究 如果如果X是一个离散型随机变量，是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化均值会怎样变化? 即即E(Xb)和和E(aX) (其中其中a, b为常数为常数)分别与分别与E(X)有怎有怎样的关系样的关系? 探究新知 设设X的分布列为的分布列为 ()1 2iiP Xxp in, , , , ,根据随机变量均值的定义，根据随机变量均值的定义， 1122()()()()nnE Xbxb pxb pxb p112212()()nnnx px px pb ppp()E Xb类似地，可以证明类似地，可以证明 ()().E aXaE X 一般
10、地，下面的结论成立：一般地，下面的结论成立： ()()E aXbaE Xb解：解： 1. 已知随机变量已知随机变量X的分布列为的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 (1) 求求E(X)； (2) 求求E(3X+2). (1)()1 0.12 0.33 0.44 0.15 0.1 0.10.61.20.40.5 2.8E X (2)(32)3 ()23 2.8210.4EXE X小试牛刀 例例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜
11、对三首歌曲名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A, B, C歌名的概率歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示及猜对时获得相应的公益基金如下表所示. 规则如下规则如下: 按照按照A, B, C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首一首. 求嘉宾获得的公益基金总额求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值的分布列及均值. 歌曲歌曲 A B C 猜对的概率猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额获得的公益基金额/元元 1000 2000 3000 典例分析 解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B
12、,C相互独立 (0)( )0.2P XP AX的分布列如下表所示： X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 (1000)()0.8 0.40.32P XP AB(3000)()0.8 0.6 0.60.288P XP ABC(6000)()0.8 0.6 0.40.192P XP ABCX的均值为 ()0 0.21000 0.323000 0.2886000 0.1922336E X 例例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为，有大洪水的概率为0.01. 该地区某工地上有一台大型
13、设备，遇到大洪水时要损失该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时元，遇到小洪水时要损失要损失10000元元. 为保护设备，有以下为保护设备，有以下3种方案种方案: 方案方案1 运走设备，搬运费为运走设备，搬运费为3800元；元； 方案方案2 建保护围墙，建设费为建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；元，但围墙只能防小洪水； 方案方案3 不采取措施不采取措施. 工地的领导该如何决策呢工地的领导该如何决策呢? 典例分析 解：解：设方案设方案1、方案、方案2、方案、方案3的总损失分别为的总损失分别为X1, X2, X3 . 采用方案采用方案1, 无论有
14、无洪水，都损失无论有无洪水，都损失3800元元. 因此因此 1(3800)1.P X 采用方案采用方案2, 遇到大洪水时，总损失为遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有元；没有大洪水时，总损失为大洪水时，总损失为2000元元. 因此因此 22(62000)0.01(2000)0.99P XP X, ,采用方案采用方案3, 有有 333()60000)0.01(10000)0.25(0)0.74P XP XP X,1()3800E X 3()60000 0.0110000 0.250 0.743100E X 因此因此, 从期望损失最小的角度从期望损失最小的角度, 应采取方
15、案应采取方案2. 值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的. 一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”: 如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小. 不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的. 2()62000 0.012000 0.992600E X1. 甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h内生产内生产出的次品数分别为出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为，其分布列分别为 甲机床次品数的分布列甲机床次品数的分布列 乙
16、机床次品数的分布列乙机床次品数的分布列 X1 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 X2 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 哪台机床更好哪台机床更好? 请解释你所得出结论的实际含义请解释你所得出结论的实际含义. 小试牛刀 解：解： 1()0 0.41 0.32 0.23 0.11E X 2()0 0.31 0.52 0.20.9E X 由此可知，由此可知，1h内甲机床平均生产内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产个次品，乙机床平均生产0.9个次品，个次品，所以乙机床相对更好所以乙机床相对更好. 1.在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定
17、每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值. 解解：由题意得，X可能的取值为1, 2, 3, 4, 5，则 X 1 2 3 4 5 P 1515151515巩固练习 15由离散型随机变量均值的定义知E(X)= (1+2+3+4+5)=3. 4321154325 =43211154325 =P(X=4)= ，P(X=5)= 15411545 =43115435 =P(X=1)= ，P(X=2)= ，P(X=3)= 故X的分布列为 2.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为 商场经销一件该商品，采用1期付款,其利润为200元；
18、分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元用Y表示经销一件该商品的利润 (1)求事件A“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A); (2)求Y的分布列及均值E(Y) X 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 巩固练习 A解：(1)设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”， 则 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款” P A =P A = -P A = -=31-0.40.2161 0.216 0.784（ ） （）（ ）1 1 （ ）巩固练习 (2)Y的可能取值为200元，250元，30
19、0元. P(Y=200)=P(X=1)=0.4 P(Y=250)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.2=0.4 P(Y=300)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.1=0.2 X 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E(Y)=2000.4+2500.4+3000.2=240(元). 因此Y的分布列为 1. 离散型随机变量的均值：离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，的分布列如下表所示， X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称则称 11221()nnniiiE Xx px px px p 为随机变量为随机变量X的的均值均值或或数学期望数学期望， 数学期望简称数学期望简称期望期望. . ()().E aXbaE Xb2. 均值的性质：均值的性质： 3. 随机变量随机变量X服从两点分布，则有服从两点分布，则有 ()0 (1)1.E Xppp 课堂小结