1、6.2.2 排列数排列数 前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式. 排列数：排列数： 我们把从我们把从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同个元素的所有不同排列的个数排列的个数，叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的排列数排列数，用符号，用符号 表示表示. mnA排列的第一个字母排列的第一个字母 元素总数元素总数 取出元素数取出元素数 m，n所满足的条件是：所满足的条件是： (1) mN*，nN* ； (2) mn . mnA 例如，前面问题例如，前面问题1是从是从3个不同元素中任取个不同
2、元素中任取2个元素的排列为个元素的排列为326 ， 可记作：可记作： 233 26.A 问题问题2是从是从4个不同元素中任取个不同元素中任取3个元素的排列数为个元素的排列数为43224 ， 可记作：可记作： 344 3 224.A 符号符号 中的中的A是英文是英文arrangement(排列排列)的第一个字母的第一个字母 mnA探究探究 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的排列数个元素的排列数 (mn)是多少是多少? mnA 我们先从特殊情况开始探究，思考从我们先从特殊情况开始探究，思考从n个不同元素中任取个不同元素中任取2个元素的排个元素的排列数列数 是多少？是多少？ 2nA3n
3、A 又又是是多多少少？()mnAmn 进进而而归归纳纳是是多多少少？排列数排列数 可以按依次填可以按依次填2个空位得到：个空位得到： 2nA同理，排列数同理，排列数 可以按依次填可以按依次填3个空位得到：个空位得到： 3nA那么排列数那么排列数 就可以按依次填就可以按依次填m个空位得到：个空位得到： mnA ? 35_A 23_A 例如：例如： 2(1).nAn nn1n n1n 2n 3(1)(2).nAn nnn1n 2n (1)nm1nm*(1)(2)(1). (,N)mnAn nnnmm nmn且且3 26.5 4 360. 排列数公式的特点：排列数公式的特点： 1. 公式中是公式中是
4、m个连续正整数个连续正整数的连乘积；的连乘积； 2. 连乘积中最大因数为连乘积中最大因数为n，后面依次减，后面依次减1，最小因数是，最小因数是(nm1). 全排列数：全排列数： 1. 全排列：全排列：从从n个不同素中取出个不同素中取出n个元素个元素的一个排列称为的一个排列称为n个不同个不同 元素的元素的一个全排列一个全排列 . 全排列数为全排列数为: 排列数公式：排列数公式： *(1)(2)(1). (,N)mnAn nnnmm nmn且且(1)(2)2 1nnAn nn n ！!nnAn 2.阶乘：阶乘：正整数正整数1到到n的连乘积的连乘积 12 n称为称为n的阶乘的阶乘，用，用 表示表示,
5、 即即 n！0!1. 规规定定：解：解： 例例3 计算：计算： 734427776244(1)(2)(3)(4).AAAAAA ；37(1)7 6 5210A ；47(2)7 6 5 4840A ；77447!(3)7 6 52104!AA ；4262(4)6 5 4 3 2 16!720 .AA 解：解： 1. 计算：计算： 74854121281514612(1)(2)(3)15(4).AAAAAA ；412(1)12 11 10 911880A；88(2)8 7 6 5 4 3 2 140320A ；71261212 11 10 9 8 7 6(4)6.12 11 10 9 8 7AA
6、541514(3)1515 14 13 12 1115 14 13 12 110AA；课本课本P20 练习练习1 15 14 13 12 11 10_ .mnAnm如如果果, ,那那么么, ,22(1)1321320=1211().nAn nnnnn 解解：, ,即即, ,解解得得, ,或或舍舍去去15 6 练习练习2 2132_ .nAn已已知知, ,则则12 思考思考 由例由例3可以看到，可以看到， 观察这观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？两个结果，从中你发现它们的共性了吗？ 6734264677626642427!6!.4!AAAAAAAAA；, ,即即.nmnnn mn mAA
7、A (1)(2)(1)mnAn nnnm证明：证明： (1)(2)(1)()2 1()2 1n nnnmnmnm !.()!nnn mn mAnAnm 排列数公式的阶乘形式：排列数公式的阶乘形式： !.()!mnnAnm 排列数公式的应用：排列数公式的应用： 连乘形式一般用于的计算，连乘形式一般用于的计算， 阶乘形式用于化简或证明阶乘形式用于化简或证明. 例题例题 证明：证明： 11.mmmnnnAmAA 证明证明： 1!()!(1)!mmnnnnAmAmnmnm (1)!(1)!nmnm nnm (1)!(1)!nnnm (1)!(1)!nnm 1.mnA 11.mmmnnnAmAA 2.
8、求证：求证： 1876718767(1)(2)87.mmnnAnAAAAA ；证明证明： 11(1)!(1).()!()!mmnnnnnnAAnmnm 87678767(2)878!8 7!7 6!8!8!7!.AAAA 课本课本P20 例例4 用用09这这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解解1： 由分步计数原理可得，所求的三位数的个数为由分步计数原理可得，所求的三位数的个数为 符合条件的三位数可以分三类：符合条件的三位数可以分三类： 由分类计数原理可得，所求的三位数的个数为由分类计数原理可得，所求的三位数的个数为 分两步完成：分两步
9、完成： (1) 从从1到到9这九个数中任选一个占据百位，有这九个数中任选一个占据百位，有 种方法种方法. 19A(2) 从余下的从余下的9个数个数(包括数字包括数字0)中任选中任选2个占据十位个占据十位, 个位，有个位，有 种方法种方法. 29A12999 9 8648.A A 解解2： (1) 每一位数字都不是每一位数字都不是0的三位数有的三位数有 个；个； 39A(2) 个位数字是个位数字是0的三位数有的三位数有 个；个； 29A(3) 十位数字是十位数字是0的三位数有的三位数有 个个. 29A322999648.AAA解解3： 32109648.AA变式变式1 用用0到到9这十个数字，可
10、以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数? 解：解： 0 0 变式变式2 用用0到到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数? 0 (1) 0在个位的有在个位的有 个；个； 29A(2) 0在十位的有在十位的有 个个； 1148A A(3) 没有没有0的有的有 个个. 1248A A共有共有 2111294848328 ().AA AA A个个解：解： (1) 0在十位的有在十位的有 个个； 1158A A(2) 没有没有0的有的有 个个. 1258A A共有共有 111
11、25858320 ().A AA A个个3. 一个火车站有一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放列火车，现要停放4列不列不同的火车，共有多少种不同的停放方法同的火车，共有多少种不同的停放方法? 解：解：不同的停放方法有不同的停放方法有 488 7 6 51680().A 种种课本课本P20 (1) 若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？ 例题例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照
12、相留念. (2) 若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法? (3) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？ (4) 若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？ (6) 若前排站三人，后排站四人，其中的若前排站三人，后排站四人，其中的A, B两小孩必须站前排且相邻，有两小孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？多少种不同的排法？ (5) 若其中的若其中的A小孩必须站在小孩必须站在B小孩的左边，
13、有多少种不同的排法？小孩的左边，有多少种不同的排法？ 有条件的排列问题：有条件的排列问题： 我们把这种方法称为：我们把这种方法称为： 捆绑法捆绑法. . (1) 若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？ 例题例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念. (1) 将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 种排法；种排法； 55A而三个女孩之间有而三个女孩之间有 种排法种排法. 33A 不同的排法
14、共有不同的排法共有 5353720().A A 种种解解: 说明：说明： 捆绑法一般适用于捆绑法一般适用于相邻相邻问题的处理问题的处理. 相邻问题用相邻问题用捆绑法捆绑法 例题例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念. (2) 若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法? 解解: (2) 不同的排法有不同的排法有 235234288().A A A 种种这种方法称为：这种方法称为：插空
15、法插空法 例题例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念. (3) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？ 解解: (3) 先把四个男孩排成一排有先把四个男孩排成一排有 种排法，这一排中有五个空档种排法，这一排中有五个空档(包括两端包括两端)，再把三个女孩插入五个空档中有，再把三个女孩插入五个空档中有 种方法，种方法， 所以共有所以共有 种排法种排法. 44A35A43451440A A 说明：说明： 插空法一般适用于插空法一
16、般适用于 问题的处理问题的处理. 互不相邻互不相邻 互不相邻问题用互不相邻问题用插空法插空法 例题例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念. (4) 若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？ 解解: (4)不同的排法共有不同的排法共有 种种. 4343144A A B B A A (5) A在在B左边的一种排法必对应着左边的一种排法必对应着A在在B右边的一种排法，而在全右边的一种排法，而
17、在全排列中，排列中，A在在B左边与左边与A在在B右边的排法数相等，因此不同的排法有右边的排法数相等，因此不同的排法有 例题例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念. (5) 若其中的若其中的A小孩必须站在小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？小孩的左边，有多少种不同的排法？ 解解1: 7712520.2A B A 例题例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照
18、相留念个小孩站成一排照相留念. (5) 若其中的若其中的A小孩必须站在小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？小孩的左边，有多少种不同的排法？ 解解2: (5) 满足要求的不同排法有满足要求的不同排法有 572520 ().A 种种A B 例题例题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念个小孩站成一排照相留念. (6) 若前排站三人，后排站四人，其中的若前排站三人，后排站四人，其中的A, B两小孩必须站前排且相邻，有两小孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？多少种不同的排法？ 解解2
19、: (6) A, B两小孩的站法有两小孩的站法有 种，其余人的站法有种，其余人的站法有 种种. 所以不同的排法共有所以不同的排法共有 222A55A25252480 ().A A 种种变式变式 5个人站成一排：个人站成一排： (l) 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法？ (2) 其中甲必须站在中间有多少种不同排法其中甲必须站在中间有多少种不同排法？ (3) 其中甲其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法乙两人必须相邻有多少种不同的排法？ (4) 其中甲其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法乙两人不相邻有多少种不同的排法？ (5) 其中甲其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法乙两人
20、不站排头和排尾有多少种不同的排法? (6) 其中甲不站排头其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法乙不站排尾有多少种不同的排法？ 解解：(1)由于没有条件限制，由于没有条件限制，5个人可作全排列，所以不同的排法共有个人可作全排列，所以不同的排法共有 (2)由于甲的位置已确定由于甲的位置已确定，其余其余4人可任意排列人可任意排列，所以不同的排法有所以不同的排法有 55120 ().A 种种4424 ().A 种种解：解： 变式变式 5个人站成一排：个人站成一排： (l) 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法？ (2) 其中甲必须站在中间有多少种不同排法其中甲必须站在中间有多少种不同排法？
21、 (3) 其中甲其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法乙两人必须相邻有多少种不同的排法？ (4) 其中甲其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法乙两人不相邻有多少种不同的排法？ (5) 其中甲其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法? (6) 其中甲不站排头其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法乙不站排尾有多少种不同的排法？ (3) 共有共有 种排法种排法. 242448A A (4) 共有共有 种排法种排法 ； 323472A A 52452472.AA A或或种种排排法法(5) 共有共有 种排法种排法 233336A A (6)可将问题分为
22、两类：可将问题分为两类： 甲站在排尾，其余的人可全排列，甲站在排尾，其余的人可全排列， 甲既不站在排尾也不站排头，乙不站排尾，其余的人可全排列，甲既不站在排尾也不站排头，乙不站排尾，其余的人可全排列， 不同的排法共有不同的排法共有 解解1： 变式变式 5个人站成一排：个人站成一排： (6) 其中甲不站排头其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法乙不站排尾有多少种不同的排法？ 解解2： 44.A有有种种排排法法113333.A A A有有种种排排法法4113433378.AA A A种种甲站排头有甲站排头有 种排法，种排法， 44A乙站排尾有乙站排尾有 种排法种排法. 44A但两种情况都包含了但两种情况都包含了 “甲站排头甲站排头, 且乙站排尾且乙站排尾” 的情况，有的情况，有 种排法种排法. 33A 不同的排法有不同的排法有 种排法种排法 543543278AAA小结：小结： 2. 全排列数全排列数: 1. 排列数公式：排列数公式： *(1)(2)(1). (,N)mnAn nnnmm nmn且且(1)(2)2 1nnAn nn !nnAn 3.阶乘：阶乘：正整数正整数1到到n的连乘积的连乘积 12 n称为称为n的阶乘，用的阶乘，用 表示表示, 即即 n！0!1. 规规定定：排列数公式的阶乘形式：排列数公式的阶乘形式： !.()!mnnAnm