1、7.4.2 7.4.2 超几何分布超几何分布 1. 二项分布：二项分布： 一般地，在一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p (0p0时，时， 当当m=0时，类似可以证明结论依然成立时，类似可以证明结论依然成立. 若随机变量若随机变量X服从超几何分布，则有服从超几何分布，则有 E Xnp() 解：解：(1) 对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的，且各次试验之间的结果是独立的，因此结果是独立的，因此XB(20, 0.4)，X的分布列为的分布列为 例例3 一个袋子中有一个袋子
2、中有100个大小相同的球，其中有个大小相同的球，其中有40个黄球、个黄球、60 个白球，个白球，从中随机地摸出从中随机地摸出20个球作为样本个球作为样本. 用用X表示样本中黄球的个数表示样本中黄球的个数. (1) 分别就有放回摸球和不放回摸球，求分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；的分布列； (2) 分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过黄球的比例，求误差不超过0.1的概率的概率. 20120()0.40.60 1 220.kkkkpP XkCk , , , , , , ,对于不放回摸
3、球对于不放回摸球, 各次试验的结果不独立各次试验的结果不独立, X服从超几何分布服从超几何分布, X的分布列为的分布列为 204060220100()0 1 220.kkkC CpP XkkC , , , , , , ,典例分析 (2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到精确到0.00001), 如下表所示如下表所示. 样本中黄球的比例样本中黄球的比例 是一是一个随机变量个随机变量, 根据表中数据计算得根据表中数据计算得 2020Xf PfPX20(|0.4| 0.1)(610) 0.7469 PfPX20(|0.4| 0.1)(610) 0.798
4、8 因此因此, 在相同的误差限制下在相同的误差限制下, 采采用不放回摸球估计的结果更可靠些用不放回摸球估计的结果更可靠些. 不放回摸球不放回摸球: 有放回摸球有放回摸球: 两种摸球方式下，随机变量两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布，虽然这分别服从二项分布和超几何分布，虽然这两种分布有相等的均值两种分布有相等的均值(都是都是8)，但从两种分布的概率分布图，但从两种分布的概率分布图(如下图如下图)看，看，超超几何分布更集中在均值附近几何分布更集中在均值附近. 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布件产品中次品数的分
5、布规律，并且二者的规律，并且二者的均值相同均值相同. 对于不放回抽样，当对于不放回抽样，当n远远小于远远小于N时，每抽取时，每抽取一次后，对一次后，对N的影响很小，此时，的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似超几何分布可以用二项分布近似. 辨析概念 超几何分布超几何分布 二项分布二项分布 试验类型 抽样 抽样 试验种数 有 种物品 有 种结果 总体个数 个 个 随机变量取值的概率 利用 计算 利用 计算 联系 当 时，超几何分布 二项分布 不放回 放回 两 两 有限 无限 古典概型 独立重复试验 总体N很大 近似 超几何分布与二项分布的联系与区别： 解：解：(1) 设设“返奖返奖80元
6、元”为事件为事件A，“返奖返奖100元元”为事件为事件B，则，则 故这位顾客返奖不少于故这位顾客返奖不少于80元的概率元的概率为为 122126263103( )10C CC CP AC ，122128283108( )15C CC CP BC . .5( )( )6PP AP B. .1.春节期间春节期间, 某商场进行促销活动某商场进行促销活动, 方案是方案是: 顾客每买满顾客每买满200元可按以下方式元可按以下方式摸球兑奖摸球兑奖, 箱内装有标着数字箱内装有标着数字20, 40, 60, 80, 100的小球各两个的小球各两个, 顾客每次抽奖顾客每次抽奖都从这都从这10个小球任取个小球任取
7、3个个, 按按3个小球中最大数字等额返现金个小球中最大数字等额返现金(单位单位:元元), 每个每个小球被取到的可能性相等小球被取到的可能性相等. (1)某位顾客买了某位顾客买了268元的商品元的商品,求这位顾客返奖不少于求这位顾客返奖不少于80元的概率元的概率; (2)若有三位顾客各买了若有三位顾客各买了268元的商品元的商品,求至少有两个返奖不少于求至少有两个返奖不少于80元的概率元的概率; (3)在在(2)的条件下的条件下,设返奖不少于设返奖不少于80元的人数为元的人数为X, 求求X的数学期望与方差的数学期望与方差. 巩固练习 则至少有两个返奖不少于则至少有两个返奖不少于80元的元的概率概
8、率为为 223351525( )( )66627PC. .(2) 由由(1)可知，可知，买了买了268元的商品元的商品获得获得返奖不少于返奖不少于80元元的概率为的概率为 56. .55()362E X ，XXB5()63)3(由由题题意意知知, , 服服从从二二项项分分布布，, ,即即, ,则则有有515()36612D X . .2.从从4名男生和名男生和2名女生中任选名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选表示所选3人人中女生的人数中女生的人数. (1) 求求X的分布列与均值；的分布列与均值； (2) 求所选求所选3人中至多有人中至多有1名女生的概率名
9、女生的概率. 解：解：(1) 由题意可知，由题意可知，X服从超几何分布，所以服从超几何分布，所以X分布列为分布列为 C CC CC CP XP XP XCCC031221242424333666131(0)(1)(2)555，. .所得金额的均值为所得金额的均值为 E X131()0121.555 2()31.6E Xnp 或或(2) 所选所选3人中至多有人中至多有1名女生的概率为名女生的概率为 P XP XP X4(1)(0)(1).5巩固练习 一般地，假设一批产品共有一般地，假设一批产品共有N件，其中有件，其中有M件次品件次品. 从从N件产品中件产品中随机抽取随机抽取n件件(不放回不放回)，用，用X表示抽取的表示抽取的n件产品中的次品数，则件产品中的次品数，则X的的分布列为分布列为 1. 超几何分布超几何分布 ()0 1 2.kn kMNMnNC CP XkkrC , , , , , , ,若随机变量若随机变量X服从超几何分布，则有服从超几何分布，则有 ().()ME XnppN其其中中2. 超几何分布的均值超几何分布的均值 课堂小结