1、7.5 7.5 正态分布正态分布 高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是正态分布 问题问题 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g. 由于各种不可控制的由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差的误差(实际质量减去标准质量实际质量减去标准质量). 用用X表示这种误差表示这种误差，则，则X是一个连续型随是一个连续型随机变量机
2、变量. 检测人员在一次产品检验中，随机抽取了检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差袋食盐，获得误差X (单位单位: g) 的观测值如下的观测值如下: 探究新知 -0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4 2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1 2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.
3、3 -1.8 0.0 2.5 3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6 -4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7 -0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6 2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9 -2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9 思考：思考：(1) 如何描述这如何描述这100个样本误差数据的分布个样本误差数据的分布? (2) 如何构建适当的概
4、率模型刻画误差如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布的分布? 探究新知 根据已学的统计知识，可用根据已学的统计知识，可用频率分布直频率分布直方图方图描述这组误差数据的分布，如图描述这组误差数据的分布，如图(1)所示所示. 频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为积之和为1. 观察图形可知观察图形可知: 误差观测值有正有负，误差观测值有正有负，并并大致对称地分布在大致对称地分布在X=0的两侧的两侧，而且小，而且小误差比大误差出现得更频繁误差比大误差出现得更频繁. 频率/组距 X
5、 -6 0 -4 -2 0 0.15 0.05 0.10 0.20 4 2 6 图 (1) 随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟一条光滑的钟形曲线形曲线，如图，如图(2)所示所示. 探究新知 频率/组距 X -6 0 -4 -2 0 0.15 0.05 图 (2) 0.10 0.20 4 2 6 P X -6 0 -4 -2 0 0.15 0.05 图 (3) 0.10 0.20 4 2 6 根据
6、频率与概率的关系，可用图根据频率与概率的关系，可用图(3)中的中的钟形曲线钟形曲线(曲线与水平轴之间的曲线与水平轴之间的区域的面积为区域的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布来描述袋装食盐质量误差的概率分布. 例如，任意抽取一袋例如，任意抽取一袋食盐，误差落在食盐，误差落在-2, -1内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示. 探究新知 追问追问1 由函数知识可知，图由函数知识可知，图(3)中的钟形曲线是一个函数中的钟形曲线是一个函数. 那么，这个那么，这个函数是否存在解析式呢函数是否存在解析式呢? 答案是肯定的答案是肯定的. 在数学家的不懈努力下
7、，找到了以下刻画随机误差在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式分布的解析式: 其中其中R，0为参数为参数. 22()21( )R.2xf xex , , 显然，对任意的显然，对任意的xR，f(x)0，它的图，它的图象在象在x轴的上方，可以证明轴的上方，可以证明x轴和曲线之间轴和曲线之间的区域的面积为的区域的面积为1. 我们称我们称f(x)为为正态密度正态密度函数函数，称它的图象为，称它的图象为正态密度曲线正态密度曲线，简称，简称正态曲线正态曲线. 若随机变量若随机变量X的概率分布密度函的概率分布密度函数为数为f(x)，则称随机变量，则称随机变量X服从服从正态分布正态分布，记为
8、记为XN(, 2). 特别地，当特别地，当=0, =1时，称随机变量时，称随机变量X服从服从标准正态分布标准正态分布. 探究新知 f (x) x 1 2 a A 图 (4) B x b O 若若XN(, 2)，则如图，则如图(4)所示，所示，X取值不超过取值不超过x的概率的概率P(Xx)为为图中图中区域区域A的面积的面积，而，而P(aXb)为区域为区域B的面积的面积. 追问追问2 观察正态曲线及相应的密度函数观察正态曲线及相应的密度函数,你能发现正态曲线的哪些特点你能发现正态曲线的哪些特点? 由由X的密度函数及图象可以发现，正态曲的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点线还有以下特点:
9、(1) 曲线是曲线是单峰单峰的，它的，它关于直线关于直线x=对称对称； (2) 曲线在曲线在x=处达到处达到峰值峰值 (3) 当当|x|无限增大时，曲线无限增大时，曲线无限接近无限接近x轴轴. 12；探究新知 f (x) x 1 2 a A 图 (4) B x b O 追问追问3 一个正态分布由参数一个正态分布由参数和和完全确定，这两个参数对正态曲线的完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响形状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征它们反映正态分布的哪些特征? 由于正态曲线关于由于正态曲线关于x=对称，对称，因此，当因此，当参数参数固定固定时，正态曲线时，正态曲线的的位置由位置由确定确定，
10、且随着，且随着的变化的变化而沿而沿x轴平移，所以参数轴平移，所以参数反映了反映了正态分布的正态分布的集中位置集中位置，可以用，可以用均均值值来估计，故有来估计，故有E(X)=. 探究新知 0.4 x -3 =1 2 -1 图(5) -2 1 3 O =-1 =0 y =1 当当固定固定时，因为正态曲线的峰值与时，因为正态曲线的峰值与成反比，而且对任意的成反比，而且对任意的0，正态曲线，正态曲线与与x轴之间的区域的面积总为轴之间的区域的面积总为1. 因此，当因此，当较小较小时，时，峰值高峰值高，曲线，曲线“瘦高瘦高”，表示随，表示随机变量机变量X的的分布比较集中分布比较集中；当；当较大较大时，时
11、，峰值低峰值低，曲线，曲线“矮胖矮胖”，表示随机变量，表示随机变量X的的分布比较分散分布比较分散，所以，所以反映了随机变量的反映了随机变量的分布相对于均值分布相对于均值的的离散程度离散程度，可以用，可以用标标准差准差来估计，故有来估计，故有D(X)=2. 追问追问3 一个正态分布由参数一个正态分布由参数和和完全确定，这两个参数对正态曲线的完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响形状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征它们反映正态分布的哪些特征? 探究新知 0.4 x -3 =0.5 2 -1 图 (6) -2 1 3 O =2 =0 y =1 0.8 (1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相
12、交； (3) 曲线与x轴之间的面积为1； (4) 当一定时，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 正态曲线的性质：正态曲线的性质： (5) 参数反映了正态分布的集中位置，反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度. 归纳总结 22()()().XNE XD X 若若,则则, ,在实际问题中，参数, 可以分别用样本均值和样本标准差来估计，故有 (2) 曲线是单峰的，它关于直线x=对称，且在x=处取得最大值 ； 12例例 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑次坐公交车和骑自行
13、车所花的时间，经数据分析得到自行车所花的时间，经数据分析得到: 坐公交车平均用时坐公交车平均用时30 min，样本方，样本方差为差为36；骑自行车平均用时骑自行车平均用时34 min，样本方差为，样本方差为4. 假设坐公交车用时假设坐公交车用时X和和骑自行车用时骑自行车用时Y都服从正态分布都服从正态分布. (1) 估计估计X，Y的分布中的参数；的分布中的参数； (2) 根据根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出中的估计结果，利用信息技术工具画出X和和Y的分布密度曲线的分布密度曲线; (3) 如果某天有如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具可用，李明应选择哪种交通工具? 如果某
14、天只有如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具可用，又应该选择哪种交通工具? 请说明理由请说明理由. 解：解：(1) 随机变量随机变量X的样本均值为的样本均值为30，样本标准差为，样本标准差为6；随机变量；随机变量Y的的样本均值为样本均值为34，样本标准差为，样本标准差为2. 典 例 分 析 用样本均值估计参数用样本均值估计参数，用样本标准差估计参数，用样本标准差估计参数，可以得到，可以得到 XN(30, 62)，YN(34, 22). (2) 由由(1)得得XN(30, 62)，YN(34, 22)，作出，作出X和和Y的分布密度曲线如图示的分布密度曲线如图示. (3) 应选择在给
15、定时间内不迟到的概率大的交通工具应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具. 由图可知，由图可知，P(X38) P(Y34). 所以，如果有所以，如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有择骑自行车；如果只有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车应选择坐公交车. 正态曲线下的面积规律：正态曲线下的面积规律： -x1 -x2 x2 x1 a -a 正态曲线下正态曲线下对称区域的面积相等对称区域的面积相等 对应的概率也相等对应的概率也相等 利用“利用“对称法对称法”求正态
16、分布下随机变量在某个区间的概率”求正态分布下随机变量在某个区间的概率 探究新知 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 4 =1 0.5 1-a a 1-a 1-2a 小 试 牛 刀 1. 若若XN(2, 32)，则，则E(X)=_，D(X)=_. 2 9 3 2 2. XN(, 2)，若，若E(X)=3， (X)=2，则，则=_， =_. 3.若若XN(1, 2)，且，且P(X1)=_； (2) P(X0)=_； (3) P(X2)=_； (4) P(X2)=_； (5) P(0X2)=_； (6) P(0X1)=_. xf xe221( )2 0.5 0.6827 0.84135 0.1
17、5865 O 1 -1 x y =0 小试牛刀 2. 设随机变量设随机变量XN(0, 22), 随机变量随机变量YN(0, 32), 画出分布密度曲线草图画出分布密度曲线草图, 并并指出指出P(X-2)与与P(X2)的关系的关系, 以及以及P( |X|1)与与P( |Y|1)之间的大小关系之间的大小关系. O 1 -1 x y =3 =2 2 -2 (2)(2)1P XP X 解：解：作出分布密度曲线如图示，由图可知作出分布密度曲线如图示，由图可知 (| 1)(| 1)PXP Y(1)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，曲线与x轴之间的区域的面积为
18、1. (2)利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与, 进行对比联系，确定它们属于, ，2, 2，3, 3中的哪一个. 方法总结 正态分布下两类常见的概率计算正态分布下两类常见的概率计算 3 2. 已知正态总体的数据落在已知正态总体的数据落在(-3, -1)里的概率和落在里的概率和落在(3, 5)里的概里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是率相等，那么这个正态总体的数学期望是_. 1 4. 如图，为某地成年男性体重的正态曲线图，如图，为某地成年男性体重的正态曲线图，则则P(|X-72|20)=_. 0.9545 3. 若若 XN(5, 1)，则，则P(6X7)= _ . 0.13
19、59 x y 110 272(kg) 1. 若已知正态总体落在区间若已知正态总体落在区间(- -,3)的概率为的概率为0.5，则相应的正态，则相应的正态曲线在曲线在x= 时达到最高点时达到最高点. 巩固练习 5.已知随机变量已知随机变量X服从正态分布服从正态分布N(2, 2), 且且P(X4)0.8, 则则P(0X2)( ) A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 6. 据统计，某脐橙的果实横径据统计，某脐橙的果实横径(单位：单位：mm)服从正态分布服从正态分布N(80，52)，则果，则果实横径在实横径在75，90内的概率为内的概率为( ) A. 0.6827 B. 0.818
20、6 C. 0.8413 D. 0.9545 巩固练习 C B 7.已知随机变量已知随机变量XN(2, 2), 若若P(X1a)P(X12a)1, 则实数则实数a( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 C 8.设设X服从正态分布服从正态分布N(- -2, ), 则则X落在落在(- -,- -3.5)(- -0 0.5,+ +)内的概率是内的概率是( ) A. 0.9545 B. 0.9973 C. 0.0455 D. 0.0027 14D 解解：正态变量几乎总是落在区间正态变量几乎总是落在区间3, 3内内，所以可通过判断所以可通过判断取出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否
21、正常取出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否正常. N(10, 0.22)，310.6，39.4， 9.529.4, 10.6，9.989.4, 10.6， 该厂这一天的生产状况是正常的该厂这一天的生产状况是正常的. 巩固练习 9. 某厂生产的某厂生产的“T”形零件的外直径形零件的外直径(单位：单位：cm) XN(10, 0.22)，某天从该，某天从该厂生产的厂生产的“T”形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为9.52cm和和9.98cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常，试分析该厂这一天的生产状况是否正常. 说明：解题时, 应
22、当注意零件尺寸应落在3, 3之内, 否则可以认为该批产品不合格. 判断的根据是概率较小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的, 而一旦发生了, 就可以认为这批产生不合格. 22()21( )R.2xf xex , , 若随机变量若随机变量X的概率分布密度函数为的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量，则称随机变量X服从服从正态分布正态分布，记为，记为XN(, 2). 特别地，当特别地，当=0, =1时，称随机变量时，称随机变量X服从服从标准正态分布标准正态分布. 1. 正态分布：正态分布： 正态密度函数：正态密度函数： 2.特殊区间的概率：特殊区间的概率： ()0.6827PX，(22 )0.9545PX，(33 )0.9973PX. .课堂小结