1、 7 7. .3.13.1 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值 7.3 7.3 离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的数字特征 一、复习回顾一、复习回顾 1 1、离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的分布列 X P1xix2x 1p2pip 2 2、离散型随机变量分布列的性质：、离散型随机变量分布列的性质： (1)pi0，i1，2，； (2)p1p2pn1 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字
2、特征。例如，要了解某班同学在一次的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。差。 我们还常常希望我们还常常希望直接通过数字直接通过数字来反映随机变量的某个方面来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有的特征，最常用的有期望与方差期望与方差. . 一、复习回顾一、复习回顾 某人射击某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4
3、；则所得的平均环数是多少？；则所得的平均环数是多少？ 2104332221111 X把环数看成随机变量的概率分布列：把环数看成随机变量的概率分布列： X 1 2 3 4 P 10410310210121014102310321041 X权数权数 加权平均加权平均 二、互动探索二、互动探索 1 1. .随机变量的均值随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X X的分布列如下表所示，的分布列如下表所示， X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称则称 11221()nnniiiE Xx px px px p 为随机变量为随机变量X X的的均值均值或或数学期望数学期望，
4、 数学期望简称数学期望简称期望期望. .均值均值是随机变量是随机变量可能取值关于取值概率的可能取值关于取值概率的加权平均数加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的的概率，反映了随机变量取值的平均水平平均水平. . 例例1 1：在篮球比赛中，罚球命中在篮球比赛中，罚球命中1 1次得次得1 1分，不中得分，不中得0 0分分. . 如果某运如果某运动员罚球命中的概率为动员罚球命中的概率为0.80.8，那么他罚球，那么他罚球1 1次的得分次的得分X X的均值是多少的均值是多少? ? 由题意得，由题意得，X X的分布列为的分布列为 解：解： (0
5、)0.2P X ，(1)0.8P X . .()0 0.21 0.80.8.E X 即该运动员罚球即该运动员罚球1 1次的得分次的得分X X的均值是的均值是0.8.0.8. 一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X X服从两点分布，那么服从两点分布，那么 E(X)0 (1p)1 pp (1)确定取值确定取值：根据随机变量根据随机变量X的意义的意义,写出写出X可能取得的全部值；可能取得的全部值； (2)求概率：求概率：求求X取每个值的概率；取每个值的概率； (3)写分布列写分布列：写出写出X的分布列；的分布列； (4)求均值求均值：由均值的定义求出由均值的定义求出E(X) 关键步骤关键步骤 2
6、.2.求离散型随机变量的均值的步骤：求离散型随机变量的均值的步骤： 例例2 2：抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X X，求，求X X的均值的均值. . 由题意得，由题意得，X X的分布列为的分布列为 解：解： 1()1 2 3 4 5 6.6P Xkk, , , , , , , , ,111111()1234563.5.666666E X 即点数即点数X X的均值是的均值是3.53.5. . 设设X X的分布列为的分布列为 ()1 2iiP Xxp in, , , , ,根据随机变量均值的定义，根据随机变量均值的定义， 1122()()()()nnE
7、 Xbxb pxb pxb p112212()()nnnx px px pb ppp().E Xb类似地，可以证明类似地，可以证明 ()().E aXaE X 一般地，下面的结论成立：一般地，下面的结论成立： E(aXb)aE(X)b解：解： 请看课本请看课本P66P66：练习：练习1 1，2 2 1.1.已知随机变量已知随机变量X X的分布列为的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 (1) 求求E(X)；(2) 求求E(3X+2). (1)()1 0.12 0.33 0.44 0.15 0.12.8.E X (2)(32)3 ()23 2.8210.4
8、.EXE X解：解： 2.2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得抛掷一枚硬币，规定正面向上得1 1分，反面向上得分，反面向上得1 1分，求得分分，求得分X X的均值的均值. . 由由题题意意得得()( 1) 0.51 0.50.E X (1)0.5P X ，(1)0.5.P X 例例3 3：猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名. .某嘉宾参加猜某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A A，B B，C C歌名的概歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表率及猜对时获得相应的公
9、益基金如表7.37.3- -3 3所示所示. . 规则如下：按照规则如下：按照A A，B B，C C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首格猜下一首. . 求嘉宾获得的公益基金总额求嘉宾获得的公益基金总额X X的分布列及均值的分布列及均值. . 歌曲歌曲 A A B B C C 猜对的概率猜对的概率 0.80.8 0.60.6 0.40.4 获得的公益基金额获得的公益基金额/ /元元 10001000 20002000 30003000 解：解：分别用分别用A A，B B，C C表示猜对歌曲表示猜对歌曲A A，B B，C C歌名的事件，歌名的事件
10、，A A，B B，C C相互独立相互独立 (0)( )0.2P XP AX X的分布列如下表所示：的分布列如下表所示： X X 0 0 10001000 30003000 60006000 P P 0.20.2 0.320.32 0.2880.288 0.1920.192 (1000)()0.8 0.40.32P XP AB(3000)()0.8 0.6 0.60.288P XP ABC(6000)()0.8 0.6 0.40.192P XP ABCX X的均值为的均值为 ()0 0.21000 0.323000 0.2886000 0.1922336E X 例例4 4：根据天气预报，某地区近
11、期有小洪水的概率为根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.250.25，有大洪水的概，有大洪水的概率为率为0.01. 0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失6000060000元，遇到小洪水时要损失元，遇到小洪水时要损失1000010000元元. . 为保护设备，有以下为保护设备，有以下3 3种方案种方案: : 方案方案1 1：运走设备，搬运费为：运走设备，搬运费为38003800元；元； 方案方案2 2：建保护围墙，建设费为：建保护围墙，建设费为20002000元，但围墙只能防小洪水；元，但围墙只能防小洪水； 方案方案
12、3 3：不采取措施：不采取措施. . 工地的领导该如何决策呢工地的领导该如何决策呢? ? 解：解：设方案设方案1 1、方案、方案2 2、方案、方案3 3的总损失分别为的总损失分别为X X1 1, , X X2 2, , X X3 3 . . 采用方案采用方案1 1，无论有无洪水，都损失，无论有无洪水，都损失38003800元元. . 因此因此 1(3800)1.P X 采用方案采用方案2 2，遇到大洪水时，总损失为，遇到大洪水时，总损失为2000+60000=620002000+60000=62000元；没有大洪水元；没有大洪水时，总损失为时，总损失为20002000元元. . 因此因此 22
13、(62000)0.01(2000)0.99P XP X, ,采用方案采用方案3 3，有，有 333()60000)0.01(10000)0.25(0)0.74P XP XP X,1()3800E X 3()60000 0.0110000 0.250 0.743100E X 因此，从期望损失最小的角度，应采取方案因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2 2. . 值得注意的是，上述结论是通过比较“值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失期望总损失”而得出的”而得出的. . 一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”： 如果问题中的天气状况多次发生，那么
14、采用方案如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2 2将会使总损失减到最小将会使总损失减到最小。不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别。不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案的一次决策，采用方案2 2也不一定是最好的。也不一定是最好的。 2()62000 0.012000 0.992600E X解：解： 3.3.甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h1 h内生产出内生产出的次品数分别为的次品数分别为X X1 1，X X2 2，其分布列分别为，其分布列
15、分别为 由由题题意意得得1()0 0.41 0.32 0.23 0.11E X ，甲机床次品数的分布列甲机床次品数的分布列 乙机床次品数的分布列乙机床次品数的分布列 X X1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 P P 0.40.4 0.30.3 0.20.2 0.10.1 X X2 2 0 0 1 1 2 2 P P 0.30.3 0.50.5 0.20.2 哪台机床更好哪台机床更好? ? 请解释你所得出结论的实际含义请解释你所得出结论的实际含义. . 2()0 0.31 0.52 0.20.9E X . . 由此可知，由此可知，1h1h内甲机床平均生产内甲机床平均生产1 1个次品，乙机床平
16、均生产个次品，乙机床平均生产0.90.9个次品，个次品，所以乙机床相对更好所以乙机床相对更好. . 请看课本请看课本P67P67：练习：练习3 3 1 1. .离散型随机变量的均值：离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X X的分布列如下表所示，的分布列如下表所示， X X x x1 1 x x2 2 x xn n P P p p1 1 p p2 2 p pn n 则称则称 11221()nnniiiE Xx px px px p 为随机变量为随机变量X X的均值或数学期望，数学期望简称期望的均值或数学期望，数学期望简称期望. . ()() ，E aXbaE
17、Xb2 2. .均值的性质：均值的性质： 3.3.随机变量随机变量X X服从两点分布，则有服从两点分布，则有 ()0 (1)1.E Xppp 3.3.课堂小结课堂小结 学以致用：学以致用： 1.1.随机变量随机变量的分布列是的分布列是 1 3 5 P 0.5 0.3 0.2 (1)则则E= . 2.随机变量随机变量的分布列是的分布列是 2.4 (2)若若=2+1，则，则E= . 5.8 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2 E=7.5,则则a= b= . 0.4 0.1 3.已知随机变量和，其中127，且 E()34，若的分布列如下表，则 m 的值为()1234P14mn112A13B14C16D18A 学以致用：学以致用： 4.袋中有袋中有20个大小相同的球个大小相同的球，其中记上其中记上0号的有号的有10个个，记上记上n号号的有的有n(n1,2,3,4)个个现从袋中任取一球现从袋中任取一球，表示所取球的标号表示所取球的标号 (1)求求的分布列的分布列、均值；均值； (2)若若a4，E()1，求求a的值的值 学以致用：学以致用： 解：(1) 的分布列为 0 1 2 3 4 P 12 120 110 320 15 的均值 E()01211202110332041532. (2)E()aE()41，又 E()32，则 a3241，a2.