1、6.2.36.2.4组合与组合数组合与组合数 问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名去参加名去参加一项活动，其中一项活动，其中1名同学参加上午的活动，名同学参加上午的活动，1名同学参名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名去参加名去参加一项活动，有多少种不同的选法？一项活动，有多少种不同的选法？ 甲、乙；甲、乙； 甲、丙；甲、丙； 乙、丙乙、丙. 3 两个问题有什么联系和区别？两个问题有什么联系和区别？ 探究新知探究新知 从已知的从已知的3个不同个不同元素
2、中每次取出元素中每次取出2个元个元素素, ,并成一组并成一组 问题二问题二 从已知的从已知的3个不同个不同元素中每次取出元素中每次取出2个元个元素素, ,按照一定的顺序排按照一定的顺序排成一列成一列. . 问题一问题一 排列排列 组合组合 有有 顺顺 序序 无无 顺顺 序序 两个问题有什么联系和区别？两个问题有什么联系和区别？ 联系：都是从联系：都是从3个不同元素当中取出个不同元素当中取出2个元素个元素 区别区别 概念讲解概念讲解 组合定义组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个个元素元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取
3、出m个元素的一个元素的一个个组合组合 排列定义排列定义: : 一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m (mn) 个个元素，元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不同元素个不同元素中取出中取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列. . 共同点共同点: : 都要“从都要“从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素”个元素” 不同点不同点: : 排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关， 而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关. . 排列与组合的概念有什么共同点与不同点？排列与组合的概念有什么共同点与不同点？ 思考一思考一:
4、:上述问题中，甲乙和乙甲是相同的排列还是相同的组合?为什么? 概念理解概念理解 构造排列分成两步完成，先取后构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤排；而构造组合就是其中一个步骤. 思考二思考二: :组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗? ? 相同组合：相同组合： 元素相同元素相同 相同排列：相同排列： （）元素相同；（）元素相同； （）元素排列顺序相同（）元素排列顺序相同. 思考：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色各有3辆.判断下列问题是排列问题还是组合问题? （1）从中选3辆，有多少种不同的方法？ （2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法？ 因此组合是
5、选择的结果，排列是选择后再排序的结果因此组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果. 组合只选出元素；组合只选出元素； 排列不仅要选出元素还要对元素进行排列排列不仅要选出元素还要对元素进行排列 变式训练：判断下列问题是组合问题还是排列问题变式训练：判断下列问题是组合问题还是排列问题? ? (1)(1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3 3个元素的子集有多个元素的子集有多少个少个? ? (2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票车票? ? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？
6、组合问题组合问题 排列问题排列问题 (3)10(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, ,共有共有多少种分法多少种分法? ? 组合问题组合问题 (4)10(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候, ,共需握手共需握手多少次多少次? ? 组合问题组合问题 (5)(5)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个游览个游览, ,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ? 组合问题组合问题 (6)(6)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个个, ,并确定这并确定这2 2个风景点的游览顺序个
7、风景点的游览顺序, ,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ? 排列问题排列问题 组合问题组合问题 例例5、平面内有、平面内有A、B、C、D共四个点共四个点. (1)以其中以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？个点为端点的有向线段共有多少条？ (2)以其中以其中2个点为端点的线段共有多少条？个点为端点的线段共有多少条？ 思考：思考： 利用排列和组合之间关系，以利用排列和组合之间关系，以“元素相同元素相同”为标准分为标准分类，你能建立起例类，你能建立起例5（1）中排列和（）中排列和（2）中组合）中组合之间的之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由对应关系吗？进一步地，能否从这种
8、对应关系出发，由排列数求出组合的个数？排列数求出组合的个数？ 2412A （1）排列问题）排列问题 （2）组合问题；只选不排）组合问题；只选不排 22A24A=6 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的个元素的所有组合的个数，叫做从所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示. . mnC23C34C例如例如: :从从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数也就是组合数是所有组合个数也就是组合数是: : 从从4 4个元素个元素中中取出取出3 3个元素的组合数
9、是：个元素的组合数是： 概念讲解概念讲解 组合数概念组合数概念: : 注意：注意： 是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 mnC例例5中已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这中已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？种关系，由排列数来求组合数呢？ 从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。 从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有排列所有的排列 abc abd acd bcd abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda
10、dca bcd cbd dbc bdc cdb dcb 将每个组合分别进行全排列，就得到了所有排列将每个组合分别进行全排列，就得到了所有排列 你发现了你发现了什么什么? 34A求可分两步考虑：34 4C第一步，个；33 6A第二步，个；333.434 CAA根据分步计数原理，334343ACA从而mnC猜想如猜想如何计算何计算: : 组合数公式 根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到： 因此：因此： 一般地，求从一般地，求从n 个不同元素中取出个不同元素中取出m 个元素个元素的排列数，可以分为以下的排列数，可以分为以下2步：步： 第第1步，先求出从这步，先求出从这n个不同元素中取出个不
11、同元素中取出m 个元个元素的组合数素的组合数 mnC第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中m个元素的全排列数个元素的全排列数 mnAmmmnmnACA这里这里 ，且，且 ，这个公式叫做，这个公式叫做组数公式组数公式 *Nnm、nm 概念讲解概念讲解 组合数公式组合数公式: (1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm 从从 n 个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数 mmmnmnCAA!()!mnnCm nm概念讲解概念讲解 解：解： 33101033(1)ACA10 9 83! 12071010!(2)7 107 !C！10 9 8 7!7! 3! 120)!
12、710( ! 7!10710C或！3778910120例题分析例题分析 310(1)C计算：例例6： 710(2)C1010(3);C010(4)C101010101010(3)ACA10!10!10101C(4)观察（1）和（2），（3）和（4）的结果你有什么发现？（1）和（2）分别用了不同组合数公式，你对公式的选择有什么想法？ 一般地一般地，从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素后个元素后，剩下剩下nm个元素个元素因为从因为从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的每一个元素的每一个组合个组合，与剩下与剩下nm个元素的每一个组合一一对应个元素的每一个组合一一对应，所所以从以从n
13、个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的组合数个元素的组合数，等于从这等于从这n个元素中取出个元素中取出nm个元素的组合数个元素的组合数，即即 性质性质 证明：证明： mnnmnCC，规定10nC1! 0 !nnCnnnnnCC 0对于组合数公式对于组合数公式 (1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm（1） （2） 2nm 当时选择（1），2nm 当时选择（2）例题分析例题分析 例例7: 在在100100件产品中件产品中，有有9898件合格品件合格品，2 2件次品件次品从这从这100100件产件产品中任意抽出品中任意抽出3 3件件 （1 1）有多少种不同的
14、抽法有多少种不同的抽法？ （2 2）抽出的抽出的3 3件中恰好有件中恰好有1 1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种？ （3 3）抽出的抽出的3 3件中至少有件中至少有1 1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种？ 解：解：（1）所求的不同抽法的种数所求的不同抽法的种数，就是从就是从100件产品中取出件产品中取出3件的件的组合数组合数，为为 3100C69899100.161700（2）从）从2件次品中抽出件次品中抽出1件次品的抽法有件次品的抽法有 种，种， 12C从从98件合格品中抽出件合格品中抽出2件合格品的抽法有件合格品的抽法有 种种 298C因此抽出的因此抽出的3件中件中
15、恰恰有有1件是次品的抽法的种数是：件是次品的抽法的种数是： 29812CC.95069798（3）方法方法1：抽出的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法的种数件是次品的抽法的种数，就是就是从从100件中抽出件中抽出3件的抽法种数减去件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法的种数件都是合格品的抽法的种数，即即 3983100CC.9604方法方法2：抽出的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法件是次品的抽法 ，包括，包括1件是次品或件是次品或2件是次品件是次品 。 可以分两类可以分两类 ： 恰有一件次品恰有一件次品 ；29812CC 恰有两件次品恰有两件次品 19822CC 故共有故共有: 1982219812CCCC)(9604 种 例例6: 在在100100件产品中件产品中，有有9898件合格品件合格品，2 2件次品件次品从这从这100100件产件产品中任意抽出品中任意抽出3 3件件 （1 1）一共有多少种不同的抽法一共有多少种不同的抽法？ （2 2）抽出的抽出的3 3件中恰好有件中恰好有1 1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种？ （3 3）抽出的抽出的3 3件中至少有件中至少有1 1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种？