1、浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高三上期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知，则函数（ ）A. 有最小值4B. 有最大值4C. 无最小值D. 有最大值3. 已知非零向量，若，且，则（ ）A. 4B. -4C. D. 4. 函数的大致图象是（ ）A. B. C D. 5. 要得到函数的图象只需将函数的图象（ ）A. 先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度B. 先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度C. 先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度D. 先向左平移个单位长度，再向上平移2个单
2、位长度6. 给出下列四组函数：，；，；，；，.其中，表示相同函数的组的序号是（ ）A. B. C. D. 7. 设，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 若定义在上的奇函数在单调递增，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 9. 已知圆与轴的负半轴交于点，若为圆上的一动点，为坐标原点则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 10. 公元1202年列昂那多斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。若将此数列的各项除以2后的余数构成一个新数列，设数列
3、的前项的和为；若数列满足：，设数列的前项的和为，则（ ）A. 1348B. 1347C. 674D. 673二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11. 已知，则是_（填：“锐角”，“钝角”，“直角”之一），且_.12. 设，则_（用数值表示），_（用表示）13. 已知函数则_，_.14. 设等差数列的前项和为，且，则_.15. 已知向量，满足：，则向量与的夹角为_.16. 已知集合，则_.（用集合的描述法表示）17. 已知，且，则的最大值为_，最小值为_.三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 设的内角，的对边分别为
4、，已知.（）求角；（）若，求角，.19. 已知平面向量，设函数.（）求函数的最小正周期；（）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.20. 设函数，.（）当时，解不等式；（）若对任意时，直线恒在曲线上方，求的取值范围.21. 已知数列满足，.（）问是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由；（）设，求.22. 已知函数（，是自然对数底数）.（）求曲线在点处的切线方程；（）当时，求的单调区间；（）若在内存在两个极值点，求取值范围.浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高三上期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知全集，集合，则（ ）
5、A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据与求出两集合的并集，由全集，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合【详解】，2，全集，2，3，故选：2. 已知，则函数（ ）A. 有最小值4B. 有最大值4C. 无最小值D. 有最大值【答案】C【解析】【分析】根据题意判断函数的单调性，求出值域即可得出结论【详解】时，因为在上递减，在上单调递减，函数是定义域上的单调增函数，且，其值域是；所以函数无最大、最小值故选：C3. 已知非零向量，若，且，则（ ）A. 4B. -4C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的共线定理，列方程求出的值【详解】由题意知，所以；又，所以，解得故选：D
6、4. 函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性即可判断【详解】函数的定义域为，为奇函数，其图象关于原点对称，故排除，令，解得，故排除，易知函数在和单调递增，故排除，故选：A5. 要得到函数的图象只需将函数的图象（ ）A. 先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度B. 先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度C. 先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度D. 先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度【答案】B【解析】【分析】根据三角函数图像平移规则，进行平移即可【详解】解：由函数，所以先向左平移个单位长度，得的图像，再
7、向上平移2个单位长度，得 的图像，故选：B6. 给出下列四组函数：，；，；，；，.其中，表示相同函数的组的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据两函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相同函数.【详解】对于：，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于：，两函数的定义域相同，对应关系不同，不是相同函数；对于：，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于：，两函数的定义域相同，对应关系不同，不是相同函数；故选：C.7. 设，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，画出满足的可行域，将目标函数转化为，平
8、移直线求解.【详解】令，画出，且可行域如图所示阴影部分：将目标函数转化为：，平移直线，由图象可知：z可取任意值，所以目标函数的取值范围是故选：D8. 若定义在上的奇函数在单调递增，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知可把原不等式转化为（2），结合单调性可求【详解】因为定义在上的奇函数在单调递增，且（2），所以（2），则不等式即为可转化为（2），所以，故选：9. 已知圆与轴的负半轴交于点，若为圆上的一动点，为坐标原点则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出的坐标，设出的坐标，然后化简向量的数量积，利用三角函数的最值求
9、解向量的数量积的范围即可【详解】圆与轴的负半轴交于点，若为圆上的一动点，为坐标原点，可得，设，所以，故选：10. 公元1202年列昂那多斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。若将此数列的各项除以2后的余数构成一个新数列，设数列的前项的和为；若数列满足：，设数列的前项的和为，则（ ）A. 1348B. 1347C. 674D. 673【答案】B【解析】【分析】根据题意写出数列的前若干项，观察发现此数列是以3为周期的周期数列，可得，再计算，结合等比数列的通项公式和求和公式，
10、可得，进而得到所求和【详解】 “兔子数列”的各项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，此数列被2除后的余数依次为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，即，数列是以3为周期的周期数列，由题意知，由于，所以，所以则故选：B【点睛】关键点点睛：确定数列数列是以3为周期的周期数列，利用周期性求出数列的和，摆动数列可以利用分组求和，是解决问题的关键，属于中档题.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11. 已知，则是_（填：“锐角”，“钝角”，“直角”之一），且_.【答案】 (1). 钝角 (2). 【解析】【分析】将已知等式两边平方，可得，可得，可得是钝角，
11、利用二倍角公式即可求解的值【详解】因为，两边平方，可得，可得，所以，可得是钝角，可得故答案为：钝角；12. 设，则_（用数值表示），_.（用表示）【答案】 (1). 9 (2). 【解析】【分析】利用对数的运算性质和换底公式求解【详解】，故答案为：9，13. 已知函数则_，_.【答案】 (1). -4 (2). -2【解析】【分析】根据分段函数解析式，代入求解即可.【详解】因为所以，故答案为：；14. 设等差数列的前项和为，且，则_.【答案】305【解析】分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】设等差数列的公差为，解得则故答案为：30515. 已知向量，满足：，则向量与的夹角为_
12、.【答案】【解析】【分析】根据条件对两边平方即可求出的值，然后根据求出的值，然后即可求出与的夹角【详解】，且，故答案为：16. 已知集合，则_.（用集合的描述法表示）【答案】【解析】【分析】根据对描述法的理解求集合，进行交集的运算即可【详解】时，；时，故答案为：，17. 已知，且，则的最大值为_，最小值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由，化简得到，根据基本不等式，得到不等式，求得，再由，得到不等式，求得，即可求解.【详解】由，可得且，即，因为，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立，即，解得，所以，当且仅当时，等号成立，又因为，且，所以，即，解得，当且仅当或时，等
13、号成立，所以，.故答案为：，.【点睛】方法总结：根据，化简得到，分别结合和，构造出关于的一元二次不等式是解答本题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 设的内角，的对边分别为，已知.（）求角；（）若，求角，.【答案】（）；（），.【解析】【分析】（）利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，解方程可得，结合，可求的值（）由余弦定理得，可求的值，得，又，得，联立解得，可得，再求出角，的值【详解】（）因为，所以，解得，因为，所以；（）因为，所以由余弦定理得，得，又，得，将代入得：，即，而，解得，所以，故，得是直角三角形，且角是直角，所以，.【
14、点睛】关键点点睛：关键需要利用余弦定理及条件解方程组得出的关系，利用勾股定理即可证明三角形为直角三角形，求出角，属于中档题.19. 已知平面向量，设函数.（）求函数的最小正周期；（）若不等式在上恒成立，求实数取值范围.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）先利用平面向量的数量积公式代入，再利用三角恒等变换化简整理，最后利用周期求法求解即可；（）利用整体代入的思想求出，再求出函数的范围，结合已知条件列出不等式即可得出结论.【详解】（）因为，所以，所以，所以最小正周期为；（）因为，所以，所以，由不等式恒成立，得，解得，故所求实数的取值范围为.【点睛】思路点睛：先运用平面向量的数量积公式代入求解，
15、再利用两角和与差的正弦公式以及二倍角公式化简整理，再利用周期公式，和整体代入思想求解值域，解不等式即可.20. 设函数，.（）当时，解不等式；（）若对任意时，直线恒在曲线的上方，求的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）由时，不等式为，然后分，讨论求解.（）将任意时，不等式恒成立，转化为且在恒成立求解.【详解】（）当时，不等式，即，所以或，即得或，解得或，所以原不等式的解集是；（）因为对任意时，不等式恒成立，即当时恒成立，即，即，故只要且在恒成立即可，即当时，只要大于的最大值且小于的最小值，因为当时，为减函数，为减函数，故所求的取值范围是.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
16、若在区间D上有最值，则；若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；21. 已知数列满足，.（）问是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由；（）设，求.【答案】（）存在，；（）.【解析】分析】（）直接利用存在性问题的应用和等比数列的性质的应用建立等量关系，进一步求出和的值；（）利用（）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和【详解】（）假设存在，则对任意，（常数）由，得即由，代入验证知数列是首项为4，公比为4的等比数列，故存在实数，使得数列是等比数列，且，.（）由（）得，因为所以，其中，（1）所以，（2）由（1）-（2）得，所以，故所求【
17、点睛】关键点点睛：解题的关键点在于数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，利用等比数列的定义求x，y ,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题22. 已知函数（，是自然对数的底数）.（）求曲线在点处的切线方程；（）当时，求的单调区间；（）若在内存在两个极值点，求的取值范围.【答案】（）；（）的递减区间为，递增区间为；（）.【解析】【分析】（）求出函数的导数，计算（1），（1），求出切线方程即可；（）代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）问题等价于在内有两个异号零点，设，求出函数的导数，通过讨论的范围，求出的单调性，从而确定的范围即可【详解】（）所以切线斜率，而，所以曲线在点处的切线方程为即；（）可知函数的定义域为，当时，可知在，当时，；当时，故的递减区间为，递增区间为； （）函数在内存在二个极值点在内有两个异号零点，所以在内存在二个极值点在内有两个异号零点，设，则，当时，所以在上递增，所以在内不存在两个不同的根；当时，由可得；由可得，所以的最小值为，所以在内有两个不同的根解得，综上所述，所求的取值范围为.【点睛】函数根据极值点的个数确定参数的取值范围，先转化为导函数零点的个数问题，利用导数研究导函数的导数，根据单调性、极值，建立不等式组即可求解，属于较难题目.