1、浙江省S9联盟2021-2022学年高二上期中联考数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1. 已知为虚数单位，则复数的实部是（ ）A. B. C. D. 12. 已知实数，则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 3. 为迎接2022年杭州亚运会，亚委会采用按性别分层随机抽样的方法从某高校报名的200名学生志愿者中抽取30人组成亚运志愿小组，若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中男生可能有（ ）人A. 18B. 12C. 120D. 804. 若向量，则（ ）A. B. C. D. 5. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为A. B. C D. 6
2、. 设是两个不同平面，是两条直线，下列命题中正确的是（ ）A. 如果，那么B. 如果，那么C. 如果，那么D. 如果，与所成角和与所成的角相等，那么7. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件8. 在等腰梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（ ）A. B. 3C. D. 二、多选题（每题5分，少选得2分，多选或错选得0分，共20分）9. 给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）A. 平均数为3B. 标准差为C. 众数2和3D. 85%分位数为4.510 抛掷三枚硬币，设事件“第枚硬币正面朝上”，2，3则（ ）A.
3、 与互斥B. 与相互独立C. D. 11. 以下结论正确的是（ ）A. B. 的最小值为2C. 若a2+2b21，则D. 若a+b1，则12. 如图，三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为60，为锐角，且侧面底面，下列四个结论正确的是（ ）A. B. C. 直线与平面所成的角为45D. 第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_14. 已知函数，则的零点个数为_.15. 若不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围为_16. 如图，矩形中，平面，若在线段上至少存在一个点满足，则的取值范围是_.
4、四、解答题（第17题为10分，其余均为15分，共70分）17. 如图：已知四棱锥中，平面，四边形是正方形，是的中点，求证：（1）平面；（2）平面18. 袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球黄球绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：（1）袋中黑球黄球绿球的个数分别是多少？（2）从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个得概率是多少？（3）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？19. 已知的内角，所对的边分别是，且.（1）求角A的大小；（2）若，且的面积，求a.20. 已知定义在上的函数.（1）求的值，并判断的奇偶性（要有过程）
5、；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.21. 在三棱柱中，平面，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.浙江省S9联盟2021-2022学年高二上期中联考数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1. 已知为虚数单位，则复数的实部是（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】利用复数除法运算法则，化简复数，结合实部概念得到结果.【详解】，复数的实部是，故选：A.2. 已知实数，则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案.【详解】当时，不等式不成立，错误；，故错
6、误正确；当时，不等式不成立，错误；故选：【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.3. 为迎接2022年杭州亚运会，亚委会采用按性别分层随机抽样的方法从某高校报名的200名学生志愿者中抽取30人组成亚运志愿小组，若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中男生可能有（ ）人A. 18B. 12C. 120D. 80【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的比例关系计算得到答案.【详解】这200名学生志愿者中男生可能有人.故选：D.4. 若向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由向量数量积的坐标运算求得数量积，模，结合向量
7、的共线定义判断【详解】由已知，与不垂直，若，则，但是，因此与不共线故选：D5. 将棱长为2正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知中，将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球，结合正方体和圆的结构特征，就是正方体的内切球，我们可以求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案【详解】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是13故选A【点睛】本题考查的知识点是球的体积，其中根据正方体和圆的结构特征，求出球的半径，是解答本题的关键6. 设是两个不同平面
8、，是两条直线，下列命题中正确的是（ ）A. 如果，那么B. 如果，那么C. 如果，那么D. 如果，与所成的角和与所成的角相等，那么【答案】C【解析】【分析】A.由，得到或，再利用平行于同一直线的两平面的位置关系判断；B. 由，得到或，再利用面面垂直的判定定理判断； C. 由，得到，再利用垂直于同一直线的两平面平行判断；D.利用空间直线的位置关系判断【详解】A.因为，所以或，又，则位置不确定，故错误；B.因为，所以或，又，所以，故错误；C. 因为，所以，又，所以，故正确；D.如果，与所成的角和与所成的角相等，那么，相交或异面，故错误故选：C7. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B.
9、充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别解两个不等式得到集合，再利用集合间的关系，即可得到答案.【详解】解不等式得；，解不等式得：，因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了.8. 在等腰梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（ ）A. B. 3C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图，以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，用坐标表示出，即可求出答案【详解】解：如图，以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得，设，其，
10、则，所以，所以，所以当时，取最小值，故选：C二、多选题（每题5分，少选得2分，多选或错选得0分，共20分）9. 给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）A. 平均数为3B. 标准差为C. 众数为2和3D. 85%分位数为4.5【答案】AC【解析】【分析】根据平均数，方差、标准差的计算公式，可判定A、B项；由众数和百分位数的概念可判定C、D，即可求解.【详解】平均数为，故A正确；标准差为，故B错误；观察数据可得众数为2和3，故C正确；将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.则，第85百分位数5，故D错误.故选：AC.10. 抛掷三枚硬币，设事件“第枚硬币正面
11、朝上”，2，3则（ ）A. 与互斥B. 与相互独立C D. 【答案】BCD【解析】【分析】利用相互独立事件、互斥事件的定义以及相互独立事件的概率公式,逐一判断四个选项即可【详解】事件=“第i枚硬币正面朝上”,i=1,2,3.因为A1与A2可以同时发生，所以A1与A2不互斥，故选项A错误；因为A1、A2与A3相互独立，所以与相互独立，故选项B正确；因为，故选项C正确；因为故选项D正确.故选：BCD11. 以下结论正确是（ ）A. B. 的最小值为2C. 若a2+2b21，则D. 若a+b1，则【答案】AC【解析】【分析】利用基本不等式逐个分析判断即可.【详解】对于A，当且仅当x21时等号成立，故
12、A正确，对于B，当且仅当时等号成立，但，故B错误，对于C，当且仅当a21，b2时等号成立，故C正确，对于D，当a0，b0，a+b1时，但a+b1，不一定a0，b0，故D错误.故选：AC.12. 如图，三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为60，为锐角，且侧面底面，下列四个结论正确的是（ ）A. B. C. 直线与平面所成的角为45D. 【答案】ACD【解析】【分析】选项A，侧棱与底面所成角为，可得，又四边形为菱形，可判断；选项B，D，建立空间直角坐标系，转化为判断数量积是否为0，可判断；选项C，可知即为与平面所成的角，即可判断.【详解】如图，过作，为垂足，连结，如图建立空间直角坐标系对于A
13、选项，侧棱与底面所成角为，为锐角，且侧面底面，又三棱柱的各棱长相等，可知四边形为菱形，故A选项正确；对于B选项，易知，故B选项不正确；对于C选项，由题意可知即为与平面所成的角，故C选项正确；对于D选项，因此，故D选项正确.故选：ACD【点睛】本题考查了空间向量与立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_【答案】【解析】【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案【详
14、解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，故该密码被成功破译的概率故答案为：14. 已知函数，则的零点个数为_.【答案】2【解析】【分析】根据函数零点的概念，令，按照、分类，解方程即可得解.【详解】令，则，当时，解得；当时，解得；所以函数的零点为，共2个.故答案为：2.【点睛】本题考查了具体函数零点个数的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.15. 若不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】【分析】分离参数a，得，只需求在的最小值【详解】解：，在的最小值为，实数a的取值范围为故答案为【点睛】此题考查求参数范围，一般用
15、分离参数法，进而求函数的值域16. 如图，矩形中，平面，若在线段上至少存在一个点满足，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由已知中平面，在边上取点，使，由线面垂直的判定定理及性质可得满足条件时，即以为直径，的中点为圆心的圆，再根据，满足条件的点至少有1个，从而可得的取值范围【详解】解：平面，平面，又，平面，又平面，所以点是以中点为圆心，以为直径的圆与的交点，在线段上至少存在一个点满足，故答案为：四、解答题（第17题为10分，其余均为15分，共70分）17. 如图：已知四棱锥中，平面，四边形是正方形，是的中点，求证：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【
16、分析】（1）连BD，与AC交于O，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明，从而可证BC平面PCD【详解】（1）连，与交于，连接是正方形，是的中点，是的中点，又平面，平面平面；（2）平面，平面是正方形，又平面【点睛】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用考查了学生空间观察和推理能力18. 袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球黄球绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：（1）袋中黑球黄球绿球的个数分别是多少？（2）从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个得概率是多少？（3）从中任取两个球，得到的两个球颜色不
17、相同的概率是多少？【答案】（1）黑球黄球绿球的分别有3、2、4个 （2）0.6 （3）【解析】【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球黄球绿球为事件，由已知列出的方程组，求解可求得，从而可得答案；（2）由（1）知黑球黄球个数分别为3，2， 则有从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个得概率是；（3）求出从9个球中取出2个球的样本空间中共有的样本点，再求出两个球同色的样本点可得答案.【小问1详解】解：从中任取一球，分别记得到黑球黄球绿球为事件，由于，为互斥事件，根据已知，得，解得，所以，任取一球，得到黑球黄球绿球的概率分别是，.所以黑球的个数为个，黄球的个数为个，绿球的个数为个，所以袋
18、中黑球黄球绿球的个数分别是3、2、4个.【小问2详解】解：由（1）知黑球黄球个数分别为3，2， 所以从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个得概率是.【小问3详解】解：从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，于是，两个球同色的概率为，则两个球颜色不相同的概率是.19. 已知的内角，所对的边分别是，且.（1）求角A的大小；（2）若，且的面积，求a.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理结合辅助角公式得出角A的大小；（2）利用面积公式以及余弦定理，解出的值【详解】（1）因为，由正弦定理得；所以得因
19、故（2）得所以20. 已知定义在上的函数.（1）求的值，并判断的奇偶性（要有过程）；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），为奇函数 （2）【解析】【分析】（1）直接代入即可得的值，判断与的关系可得奇偶性；（2）利用分离参数思想可得，令，求出右端函数的最小值即可得结果.【小问1详解】，因为函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数.【小问2详解】由，得，因为，所以，所以令，则，此时不等式可化为，记，因为当时，和均为减函数，所以为减函数，故，因为恒成立，所以21. 在三棱柱中，平面，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解
20、析；（2）.【解析】【分析】（1）由，得平面，平面，可得答案.（2）以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量由数量积公式可得答案.【详解】（1）由平面，平面，得，又，故平面，平面，故平面平面.（2）以为原点，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，又， 故，设平面的一个法向量为，则，即，令，则， ，设直线与平面所成的角为，故，即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的判定、线面角的求法，证明线面垂直可以证明面面垂直，也可以用直线的方向向量与平面的法向量共线证明，用向量法求线面角只需找到直线的方向向量和平面的法向量再利用数量积公式可求得答案，本题考查了学生的空间想象力和计算能力.