1、浙江省浙东北联盟浙江省浙东北联盟(ZDB)2021(ZDB)2021 年高二上期中数学试年高二上期中数学试卷卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1. 已知等差数列 na中，6108aa，则8a的值是（ ） A 2 B. 8 C. 1 D. 4 2. 直线30 xya的倾斜角为（ ） A. 30 B. 60 C. 150 D. 120 3. 已知双曲线22:12yC x ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. 2yx B. 2yx C. 22yx D. 12yx 4. 直线3yx截圆22:20C xyx所得的线段长为（ ） A.
2、2 B. 3 C. 1 D. 2 5. 已知点M是抛物线24xy上一点，F是抛物线的焦点，C是圆22(1)(5)1xy的圆心，则|MFMC的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6. 已知函数(31)5,1( ),1xaxxf xax定义域为 R，数列 nb满足( )nbf nnN，且 nb是递增数列，则实数 a 的取值范围是（ ） A. (1,2) B. 1,3 C. (1,) D. (4,) 7. 分形几何学是数学家伯努瓦 曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路 按照如图 1 所示的分形规律可得如图 2所
3、示的一个树形图 若记图 2 中第n行黑圈的个数为na，则5a （ ） A. 21 B. 25 C. 27 D. 30 8. 已知椭圆22:1(01)C xmym，若存在过点(3,1)A且互相垂直的直线1l，2l，使得1l，2l与椭圆C均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A 1,13 B. 10,3 C. 2 20,3 D. 2 2,13 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对
4、的得分，部分选对的得 2 分分 9. （多选）若直线过点（3，4） ，且在两坐标轴上的截距相等，则该直线的一般式方程可能为（ ） A. 430 xy B. 430 xy C. 10 xy D. 10 xy 10. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆， 如图所示， 已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且FA B、 、三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为2 2 2a b c、 、，则 A. acmR B. acnR C. 2am n D. ()()bmR nR 11. 若圆222(3
5、)(5)xyr上有且只有两个点到直线4320 xy的距离等于 2，则半径 r的大小可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 在平面直角坐标系中，已知曲线1C上任意点P与两个定点2,0A 和点2,0B连线的斜率之和等于2，曲线2C上任意点Q与两个定点2,0A 和点2,0B连线的斜率之积等于1，则关于曲线1C、2C的结论正确的有（ ） A. 曲线1C是中心对称图形 B. 曲线1C上所有的点都在圆222xy外 C. 曲线1C、2C有两个公共点 D. 过2,0与曲线2C公共点最少的直线中有两条与曲线1C没有公共点 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题
6、5 分，共分，共 20 分分 13. 九章算术是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出 100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这 5个人各出多少钱？”在这个问题中，若大夫出 6钱，则上造出的钱数为_ 14. 过点(2,4)P作圆22:4C xy的切线，则点P到切点的距离为_ 15. 若直线24ykxk与曲线24yx有公共点，则实数 k的取值范围是_ 16. 已知椭圆2212xy，过左焦点F任作一条斜率为k的直线交椭圆于不同的两点M，N
7、，点M为点M关于x轴的对称点，若1 ,13k ，则FM N面积的取值范围是_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知直线1:260lxay和直线22:110laxya （1）当12/ll时，求a的值； （2）当12ll时，求a的值 18. 已知圆2221:2450Cxymxym和圆222:40Cxyx （1）当2m时，判断圆1C和圆2C的位置关系； （2） 是否存在实数m， 使得圆1C和圆2C内含？若存在， 求出实数m的取值范围， 若不存在， 请说明理由 19. 已知数列 n
8、a前 n项和为24nSnn ，Nnnban （1）求数列 na的通项公式； （2）求数列 nb前 n 项的和nT 20. 设椭圆2222:1(0)xyCabab过点(0,4)M，离心率为35 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点(3,0)且斜率为45的直线 l交椭圆 C于 A、B 两点，求弦AB的长度 21. 已知数列 na满足11a ，110N1nnnaana （1）求证：数列1na等差数列； （2）令2N21nnnbna，若对任意nN，都有2883nbtt，求实数t的取值范围 22. 已知点P、A、B是抛物线2:4C xy上的点，且PAPB （1）若点P的坐标为2,1，则动直线AB是否过
9、定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由 （2）若PAPB，求PAB面积的最小值 浙江省浙东北联盟浙江省浙东北联盟(ZDB)2021(ZDB)2021 年高二上期中数学试年高二上期中数学试卷卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1. 已知等差数列*+中，6+ 10= 8，则8的值是（ ） A. 2 B. 8 C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求出. 【详解】因为*+是等差数列，所以6+ 10= 28= 8，即8= 4. 故选：D 2. 直线3 + = 0的倾斜角为（ ） A. 30
10、B. 60 C. 150 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】 先由直线方程求出斜率，再由斜率求出直线的倾斜角得解. 详解】 3 + = 0， = tan = 3， 0 1的定义域为 R，数列*+满足= ()( )，且*+是递增数列，则实数 a的取值范围是（ ） A. (1,2) B. .13,+/ C. (1,+) D. (4,+) 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数和一次函数的单调性，结合数列的单调性的定义，可得的不等式组，解不等式可得所求范围 【详解】解：由函数() = (3 1) + 5, 1, 1的定义域为R，数列*+满足= ()( )，且*+是递增数列， 可得 13
11、1 + 5 1 4 或 4， 则实数的取值范围是(4,+) 故选：D 7. 分形几何学是数学家伯努瓦 曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科， 它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路 按照如图 1所示的分形规律可得如图 2 所示的一个树形图 若记图 2中第行黑圈的个数为，则5=（ ） A. 21 B. 25 C. 27 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】设表示第行中白圈的个数，由题意可得:1= 2+ ，:1= + ，根据初始值，结合递推公式可求得5的值. 【详解】已知是第行中黑圈的个数，设表示第行中白圈的个数， 由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑
12、圈产生下一行的一白两黑三个圈， 由题意可得:1= 2+ ，:1= + 且1= 0，1= 1， 所以，2= 21+ 1= 1，2= 1+ 1= 1；3= 22+ 2= 3，3= 2+ 2= 2； 4= 23+ 3= 8，4= 3+ 3= 5；5= 24+ 4= 21，5= 4+ 4= 13. 故选：A. 8. 已知椭圆:2+ 2= 1(0 1)，若存在过点(3,1)且互相垂直的直线1，2，使得1，2与椭圆 C均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A. .13,1/ B. .0,13/ C. .0,223/ D. .223,1/ 【答案】C 【解析】 【分析】判断 l1，l2中一条斜率不存
13、在和另一条斜率为 0，两直线中有一条与椭圆相交，当两直线斜率存在且不为 0 时，可设1: 1 = ( 3)，联立椭圆方程，由于判别式小于 0，以及求根公式，结合两直线垂直的条件，可将换为1，解不等式，考虑不等式有解，可得 m 的范围，即可得到所求离心率的范围 【详解】椭圆:2+ 2= 1(0 1)， 过点 A（3，1）的直线 l1，l2中一条斜率不存在和另一条斜率为 0 时，斜率为 0的直线与椭圆相交，当两直线的斜率存在且不为 0时，设1: 1 = ( 3)，即 = + 1 3， 联立椭圆方程可得(1 + 2)2+ 2(1 3) + (3 1)2 1 = 0， 由直线和椭圆无交点，可得 = 4
14、22(3 1)2 4(1 + 2),(3 1)2 1- 0，解得 3:2:88； 由两直线垂直的条件，可将换为1，即有82+6+ 1 0， 化为(1 )2 6 8 0， 解得3;2:81; 3;2:81; 由题意可得3:2:883:2:81;，可得19 3;2:81;，解得19 1 则 = 1 22= 1 (0,223) 故选：C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对
15、的得 2 分分 9. （多选）若直线过点（3，4） ，且在两坐标轴上的截距相等，则该直线的一般式方程可能为（ ） A. 4 3 = 0 B. 4 + 3 = 0 C. + 1 = 0 D. + 1 = 0 【答案】BD 【解析】 【分析】 分情况讨论， 当直线过原点时直线方程4 + 3 = 0； 当直线不过原点时： 设直线方程为 + = ， 代入点(3,4)求出的值即可得到直线方程 【详解】解：当直线过原点时：直线方程为 = 43，化为一般式为4 + 3 = 0， 当直线不过原点时：设直线在两坐标轴上的截距都为，则直线方程为 + = ， 又直线过点(3,4)，代入得3 + 4 = ，即 = 1
16、， 直线方程为： + = 1，化为一般式为 + 1 = 0， 综上所求，直线的方程为4 + 3 = 0或 + 1 = 0. 故选：BD. 10. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且、三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为2、2、2，则 A. = + B. + = + C. 2 = + D. = ( + )( + ) 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件数形结合可知 = = + ，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】因为地球的
17、中心是椭圆的一个焦点， 并且根据图象可得 = = + ， （*） = + ，故 A正确； + = + ，故 B正确； （*）两式相加 + = 2 2，可得2 = + + 2，故 C 不正确； 由（*）可得 + = + = + ，两式相乘可得( + )( + ) = 2 2 2 2= 2 ， 2= ( + )( + ) = ( + )( + ) ，故 D正确. 故选 ABD 【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简. 11. 若圆( 3)2+ ( + 5)2= 2上有且只有两个点到直线4 3 2 = 0的距离等
18、于 2，则半径 r 的大小可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，根据题设知|5 | 2，解不等式可得解. 【详解】由圆( 3)2+ ( + 5)2= 2，可得圆心的坐标为(3,5) 圆心(3,5)到直线4 3 2 = 0的距离为 =|43;3(;5);2|42:32= 5 由题设知|5 | 2，解得3 2， 即点., 4/在圆2+ 2= 2外，B对； 对于 C选项，联立 = 42 2= 4 2 ，化简可得2 4 = 2，矛盾， 故曲线1、2无交点，C错； 对于 D选项，过(2,0)与曲线2公共点最少的直线的方程为 = 2
19、或 = 0， 这两条直线与曲线2均无公共点，D对. 故选：ABD. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 九章算术是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出 100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这 5个人各出多少钱？”在这个问题中，若大夫出 6钱，则上造出的钱数为_ 【答案】27 【解析】 【分析】将实际问题转化为等差数列的数学模型，根据前项和公式求出公差，结合通项公
20、式即可求解. 【详解】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列*+. 根据题意可知，等差数列*+的首项为1= 6，前 5 项和为 100，设公差为 ， 则100 = 6 5 +5(5;1)2，解得 = 7， 所以上造出的钱数为4= 6 + (4 1) 7 = 27. 故答案为：27 14. 过点(2,4)作圆:2+ 2= 4的切线，则点到切点的距离为_ 【答案】4 【解析】 【分析】由题知点(2,4)到圆心的距离为| = 25，再根据|2 2求解即可. 【详解】解：由圆:2+ 2= 4得圆心为(0,0)，半径为 = 2， 所以点(2,4)到圆心的距离为| = 4 +
21、16 = 25， 所以点到切点的距离为|2 2= 20 4 = 4 故答案为：4 15. 若直线 = + 2 4与曲线 = 4 2有公共点，则实数 k的取值范围是_ 【答案】,0，1- 【解析】 【分析】根据题意可得直线过定点(4，2)，作出图象，利用数形结合的思想可得直线斜率的最大、最小值. 【详解】由题意得，直线 = + 2 4过定点(4，2)， 画出 = 4 2的图象，如图， 结合图形可知，当直线与圆相切于点(0，2)时，斜率取得最小值，此时 = 0； 当直线与圆相交于点(2，0)时，斜率最大，此时 =2;04;2= 1， 所以实数的取值范围是,0，1-. 故答案为：,0，1- 16.
22、已知椭圆22+ 2= 1，过左焦点任作一条斜率为的直线交椭圆于不同的两点，点为点关于轴的对称点，若 ,13,1-，则 面积的取值范围是_ 【答案】,311，24- 【解析】 【分析】先设出直线方程，联立直线和椭圆方程得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和与积，利用= 得到关于的表达式，再利用函数的单调性求其最值. 【详解】由题意(1,0)，设(1，1)，(2，2)，则(1，1)， 直线的方程为 = ( + 1)， 与椭圆方程联立得 = ( + 1)22+ 2= 1， 消去，得(22+ 1)2+ 42 + 22 2 = 0， 所以1+ 2=;4222:1，12=22;222:1，
23、 因为 ,13,1-，所以2 1，即22 2 0，即12 0， 不妨设1 0，2 0， 则= =12 |21| |2 1| 12 |21|1+ 1| = |1|(1 2 1 1) = |1|(2+ 1) = |(1+ 1)(2+ 1) = |(1+ 2+ 12+ 1) = |(4222+ 1+22 222+ 1+ 1) = | 42 22+ 2 22 122+ 1=|22+ 1=12| +1| 令 = 2| +1|， 由对勾函数的性质得，函数 = 2| +1|在,13，22-上单调递减， 在,22，1-上单调递增，所以= 22， 当 =13时， =113，当 = 1时， = 3 113， 所以
24、 ,22，113-， 所以 ,311，122-， 即 ,311，24-， 所以面积的取值范围是,311，24-， 故答案为：,311，24- 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知直线1:2 + + 6 = 0和直线2:( 1) + + 2 1 = 0 （1）当1/2时，求的值； （2）当1 2时，求的值 【答案】 （1） = 1； （2） =23. 【解析】 【分析】 （1）根据两直线平行可的关于实数的等式，解出的值，再进行检验即可得解； （2）根据两直线垂直可得出关于实数
25、的等式，即可解得实数的值. 【小问 1 详解】 解：因为1/2，则( 1) = 2，解得 = 1或2. 当 = 1时，直线1的方程为2 + 6 = 0，直线2的方程为2 = 0，1/2； 当 = 2时，直线1的方程为 + + 3 = 0，直线2的方程为 + + 3 = 0，1与2重合，不合乎题意. 综上所述， = 1. 【小问 2 详解】 解：因1 2，则2( 1) + = 0，解得 =23. 18. 已知圆1:2+ 2 2 + 4 + 2 5 = 0和圆2:2+ 2+ 4 = 0 （1）当 = 2时，判断圆1和圆2的位置关系； （2）是否存在实数，使得圆1和圆2内含？若存在，求出实数的取值范
26、围，若不存在，请说明理由 【答案】 （1）圆1和圆2相交 （2）不存在实数，使得圆1和圆2内含，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）由题设写出圆1、2的圆心坐标及半径1,2，并求出圆心距，根据与1 2,1+ 2的大小关系，判断两圆的位置关系. （2）假设存在实数，根据两圆内含关系列不等式并求解，即可知参数的存在性. 小问 1 详解】 解：当 = 2时，圆1的标准方程为( 2)2+ ( + 2)2= 9，则1(2,2)，半径1= 3， 圆2的方程为( + 2)2+ 2= 4，则2(2,0)，半径2= 2， 两圆的圆心距 = (2 + 2)2+ (2 0)2= 25， 又1+ 2= 5,1 2=
27、 1， 1 2 1+ 2， 圆1和圆2相交 【小问 2 详解】 解：不存在理由如下： 圆1的方程可化为( )2+ ( + 2)2= 9， 则1 (,2)，半径1= 3 而2(2,0)，半径2= 2 假设存在实数，使得圆1和圆2内含，则圆心距 = ( + 2)2+ (2 0)2 3 2，即( + 2)2 0，当 3时， 0，当 3时， 0)过点(0,4)，离心率为35 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点(3,0)且斜率为45的直线 l交椭圆 C于 A、B 两点，求弦的长度 【答案】 （1）225+216= 1 （2）415 【解析】 【分析】 （1）依题意求出，再由离心率及2= 2 2，求出
28、，即可求出椭圆方程； （2）首先求出直线方程，设直线与的交点为(1,1)，(2,2)，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，再利用弦长公式求出弦长； 【小问 1 详解】 解：将点(0,4)代入椭圆C的方程得162= 1，所以 = 4 又由 =35，2= 2 2得2;22=925，即1 162=925，所以 = 5 所以椭圆 C的方程为225+216= 1 【小问 2 详解】 解：过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 =45( 3)， 设直线与的交点为(1,1)，(2,2)， 联立方程 =45( 3)225+216= 1，消去得2 3 8 = 0， 得1+ 2= 3，12= 8 由弦长公式|
29、 = 1 + 2 (1+ 2)2 412=1 + .45/2 32 4 (8) =415 21. 已知数列*+满足1= 1，+1+1;1= 0( N) （1）求证：数列1是等差数列； （2）令=1;22( N)，若对任意 ，都有8+83 2，求实数的取值范围 【答案】 （1）证明见解析； （2）.,13 ,3,+). 【解析】 【分析】 （1）将等式=+11;+1变形得出1+11= 1，利用等差数列的定义可得出结论； （2）求得=;22，分析数列*+的单调性，求出数列*+的最大项的值，可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围. 【小问 1 详解】 证明：对任意的 ，+1+1;1= 0，
30、所以，=+11;+1， 则1=1;+1+1=1+1 1，故1+11= 1且11= 1， 所以，数列1为等差数列，且首项为1，公差为1，1= 1 + 1 = ，故=1. 【小问 2 详解】 解：=1;22=;22，则:1 =;12+1;22=;1;2(;2)2+1=3;2+1. 当 2时，则有:1 ，即1 2 3； 当 = 3时，则有3= 4=18； 当 4时，则有:1 0， 由韦达定理可得1+ 2= 4，12= 4， = (1 2,1 1) = .1 2,12;44/，同理 = .2 2,22;44/， = (1 2)(2 2) +(1 2)(2 2)(1+ 2)(1+ 2)16 =(1;2)
31、(2;2)16 ,16 + (1+ 2)(2+ 2)- = 0， 所以，12+ 2(1+ 2) + 20 = 4 + 8 + 20 = 0，可得 = 2 + 5， 故直线的方程为 = + 2 + 5 = ( + 2) + 5， 因此，直线过定点(2,5). 【小问 2 详解】 解：由（1）可知，直线的斜率存在，且直线的方程为 = + ，记线段的中点为点. 当 = 0时，则、关于轴对称，此时线段的垂线为轴， 因为| = |，则点为坐标原点，又因为 ，则 为等腰直角三角形， 则 的两腰所在直线的方程为 = ，联立 = 2= 4，解得 = 0 = 0或 = 4 = 4， 此时，| = | = 42+
32、 42= 42，=12 (42)2= 16； 当 0时，1:22= 2，1:22= 1:22+ = 22+ ，即点(2,22+ )， 因为| = |，则 ， 设点(0,0)，其中0 1且0 2， = .0 1,02;124/， = .0 2,02;224/， 由已知可得 = (0 1)(0 2) +(02;12)(02;22)16 =(0;1)(0;2)16,(0+ 1)(0+ 2) + 16- = 0， 所以，02+ 0(1+ 2) + 12+ 16 = 02+ 40 4 + 16 = 0，则 = 0+ 0+ 4， 直线的斜率为=22:;02;0= 1，可得 = 0 2 22+0， 所以，2
33、(2+ 3) + (2 1)0= 0，当 = 1时，等式2(2+ 3) + (2 1)0= 0不成立， 所以， 0且0= 2(2:3)2;1， 所以， =024+ 0+ 4，则2+ = 2+2(2:3)2(2;1)222(2:3)2;1+ 4 =2(2;1)2:2(2:3)2;22(2:3)(2;1):4(2;1)2(2;1)2=4(2:1)2(2;1)2， 所以，| = 1 + 2(1+ 2)2 412= 41 + 2 2+ ， 故=12| 12| = 4(2+ 1)(2+ ) =16(2:1)3(2;1)2= 16(2+ 1) 4:22:14;22:1 16. 综上所述， 16. 因此， 面积的最小值为16. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值