1、第12章全等三角形一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1如图，已知ABAC，ADAE，AB=AC，AD=AE，则BFD的度数是（）A60B90C45D1202如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD3，BC4将腰 CD 以 D 为旋转中心逆时针旋转 90至 DE，连结 AE，则ADE 的面积是（）AB2CD不能确定3如图，在四边形中，对角线平分，下列结论正确的是（）ABCD与的大小关系不确定4如图1，已知 AB=AC，D为BAC 的平分线上一点，连接 BD、 CD；如图2，已知 AB= AC，D、E为BAC的平分线上两点，连接 BD、CD、BE、CE；如图3，已知
2、 AB=AC，D、E、F为BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、 BF、CF；，依次规律，第 n个图形中全等三角形的对数是（） AnB2n-1CD3（n+1）5“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：已知：如图（1），AOB和OA上一点C求作：一个角等于AOB，使它的顶点为C，一边为CA作法：如图（2），（1）在0A上取一点D（ODOC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；（3）作射线CC所以CCA就是所求作的角此作图的依据中不含有（）A三边分别相等
3、的两个三角形全等B全等三角形的对应角相等C两直线平行同位角相等D两点确定一条直线6如图，已知，在的平分线上有一点，将一个60角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线，相交于点，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），则；其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个7如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点，都在格点上，连接，相交于，那么的大小是（）ABCD8如图，点 P 在MAN的角平分线上，点 B ，C 分别在 AM，AN上，作 PRAM， PSAN，垂足分别是 R，S若ABP +ACP = 180，则下面三个结论： AS = AR；PCAB；BRPCSP 其中正确的是（）ABCD9如图
4、，点在线段上，于，于，且，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动过，分别作的垂线，垂足为，设运动时间为，当以，为顶点的三角形与全等时，的值为（）A1或3B1或C1或或D1或或510如图，ABAD，ACAE，AHBC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：DGEG；BC2AG；AHAG；，其中正确的结论为（ ）ABCD二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11如图，ABBC且ABBC，点P为线段BC上一点，PAPD且PAPD，若A22，则D的度数为_12如图，ABC是等边三角形，AECD，AD、BE相交于点P，BQDA
5、于Q，PQ3，EP1，则DA的长是_.13如图所示，的外角的平分线CP与的平分线相交于点P，若，则_14如图，在中，平分，于，若，则为_15在ABC中，BAC=120，AB=AC，ACB的平分线交AB于D，AE平分BAC交BC于E，连接DE，DFBC于F，则EDC=_16如图，在33的正方形网格中标出了1和2，则1+2=_17如图，点E是等边ABC内一点，且EAEB，ABC外一点D满足BDAC，且BE平分DBC，则D_.18如图，RtABC中，C=90E为AB中点，D为AC上一点，BFAC交DE的延长线于点F，AC=6，BC=5则四边形FBCD周长的最小值是_三、解答题19（8分）如图，在中，
6、平分，于，交于.求证：（1）；（2）.20（8分）在ABC中，AD是BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且EDF+EAF=180，求证DE=DF21（10分）如图，四边形ABCD中，ADBC，点E在CD上，EA，EB分别平分DAB和CBA，设ADx，BCy且（x3）2+|y4|0求AB的长22（10分）如图，在RtBCD中，CBD=90，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EFEA，交CD所在直线于点F（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：AE=EF；（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段AE与EF
7、又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明23（10分）如图，在ABC中，AB=AC=2，B=40，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作ADE=40，DE交线段AC于点E（1）当BDA=115时，EDC=_，AED=_；（2）线段DC的长度为何值时，ABDDCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求BDA的度数；若不可以，请说明理由24（12分）（1）阅读理解：如图，在中，若，求边上的中线的取值范围可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_；（2）问题解决：如图，在中，是边
8、上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；（3）问题拓展：如图，在四边形中，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，之间的数量关系，并说明理由参考答案1B【分析】先证BAECAD，得出B=C，再证CFB=BAC=90即可解：ABAC，ADAE，BAC=DAE=90,BAE=CAD，在BAE和CAD中，,BAECAD，B=C，BGA=CGF，CFB=BAC=90,BFD=90,故选：B【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是确定全等三角形并通过8字型导角求出度数2A【分析】作EFAD交AD延长线于点F，作DGBC于点G，首先利用旋转的性质证明DCG与DEF全
9、等，再根据全等三角形对应边相等可得EF的长，即ADE的高，即可求出三角形ADE的面积解：如图所示，作EFAD交AD延长线于点F，作DGBC于点G，CD以D为中心逆时针旋转90至ED，EDF+CDF=90，DE=CD，又CDF+CDG=90，CDG=EDF，DCGDEF（AAS），EF=CG，AD=3，BC=4，CG=BCAD=43=1，EF=1，ADE 的面积是.故选A.【点拨】本题考查了梯形的性质、旋转的性质和全等三角形的判定与性质，对于旋转来说，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等要注意旋转的三要素：旋转中心；旋转方向；旋转角度本题证明D
10、CG与DEF全等正是充分运用了旋转的性质.3A【分析】先通过在AB上截取AE=AD，得到一对全等三角形，利用全等三角形的性质得到对应边相等，再利用三角形的三边关系和等量代换即可得到A选项正确解：如图，在AB上取，对角线平分，在和中，故选：【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的三边关系，要求学生能根据已知条件做出辅助线构造全等三角形，并能根据全等三角形的性质得到不同线段之间的关系，利用三角形三边关系判断大小，解决本题的关键是牢记概念和公式，正确作辅助线构造全等三角形等4C【分析】根据条件可得图1中ABDACD有1对三角形全等；图2中可证出ABDACD，BDECDE，A
11、BEACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数解：AD是BAC的平分线，BAD=CAD在ABD与ACD中，AB=AC，BAD=CAD，AD=AD，ABDACD图1中有1对三角形全等；同理图2中，ABEACE，BE=EC，ABDACDBD=CD，又DE=DE，BDECDE，图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是故选：C【点拨】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律5C【分析】根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，
12、全等三角形的性质和两点确定一条直线，直接判断即可解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知EODGCF，故A正确；结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确；作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确；故选：C【点拨】本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行判断6A【分析】过点作于点，于点，根据的平分线性质及含30度直角三角形的性质可得；分三种情况考虑：当，分别在射线，射线上时；当，分别在射线的反向延长线上，射线上时；当，分别在射线上、射线反向延长线上时；通过证明，得CD=CE，OD、OC、OE间的关系，从而可用a、b表示OE，综合以上三种
13、情况即可完成求解解：过点作于点，于点平分， ON+OF=OC当，分别在射线，上时，此时OCOD，如图 ，OE=OCOD= a-b如图，当，分别在射线反向延长线，射线上时同理可得：，OE=OC+OD=a+b如图，当，分别在射线上、在射线反向延长线上时，OCOD同理可得：，综上：只有（1）正确，（2）（3）（4）均错误故选：A【点拨】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质等知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形的性质，从而完成求解.注意分类讨论，否则出现遗漏情况7C【分析】取格点，连接，先证明，得出，再证明得出，最后证明是等腰直角三角形，得出，从而得
14、出即可解：取格点，连接，由已知条件可知：，同理可得：，,是等腰直角三角形，,即，故选：【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，所求角转换成容易求出度数的角，合理的添加辅助线是解决本题的关键8C【分析】利用角平分线的性质得到PR=PS，再利用HL证明APRAPS，得到AS=AR，可判断；再根据ABP +ACP = 180，得到ABP=PCS，再利用AAS证明BRPCSP可判断；再说明若要PCAB，则需要说明AC=PC，无法达成，从而可判断.解：点 P 在MAN的角平分上，PRAM， PSAN，PR=PS，ARP=ASP=90，在RtAPR和RtAP
15、S中，APRAPS（HL），AS=AR，故正确；ABP +ACP = 180，ABP=PCS，又PR=PS，PRB=PSC=90，BRPCSP（AAS），故正确；若MAP=CPA，则PCAB，则需要AC=PC得出PAN=CPA，从而根据MAP=PAN，得出MAP=CPA，而题中没有条件说明AC=PC，故错误；故选：C【点拨】本题考查三角形全等的性质和线段平行条件辅助线是解决本题的关键9C【分析】分三种情况讨论，当点P在AC上，点Q在CE上时，当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，由全等三角形的判定和性质可求解解：当点P在AC上，点Q在CE上时，以P，C
16、，M为顶点的三角形与QCN全等，PCCQ，52t63t，t1，当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，以P，C，M为顶点的三角形与QCN全等，PCCQ，52t3t6，t，当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，以P，C，M为顶点的三角形与QCN全等，PCCQ，2t5183t，t综上所述：t的值为1或或或故选：C【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键10B【分析】如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，即可得结论；延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，则可得，即，；由可知，故不一定等于；，由可知，则，由可得即可得解：如图，
17、过点分别作的垂线交及的延长线于点，ABAD，ACAE，AHBC同理可得又故正确如图，延长至，使，连接，如图，取的中点，连接并延长至，使得，是的中点， ，又如图，由可知，故不一定等于故不正确如图，由可知，故正确综上所述，故正确的有故选B【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键1123解：过D作DEPC于EPAPD，APB+DPE=90ABBC，A+APB=90，A=DPE=22在ABP和PED中，A=DPE，B=E=90，PAPD，ABPPED，AB=PE，BP=DEAB=BC，BC=PE，BP=CEBP=DE，CE=DE，DCE=45，PDC=DCEDP
18、C=4522=23故答案为23127解：ABC为等边三角形，AB=CA，BAE=ACD=60；又AE=CD，在ABE和CAD中，ABECAD；BE=AD，CAD=ABE；BPQ=ABE+BAD=BAD+CAD=BAE=60；BQAD，AQB=90，则PBQ=90-60=30；PQ=3，在RtBPQ中，BP=2PQ=6；又PE=1，AD=BE=BP+PE=7故答案为7.13【分析】如图（见分析），设，从而可得，先根据三角形的外角性质可求出，再根据角平分线的性质可得，从而可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据平角的定义即可得解：如图，过点P分别作于点M，于点N，于点E，设，则，
19、是的平分线，是的平分线，同理可得：，在和中，即，又，解得，故答案为：【点拨】本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键144【分析】延长BA，CE交于点F，证BEFBEC，ABDACF，得出EFEC，ECCF，及BDCF，则CEBD，可以求出其值解：延长BA，CE交于点F，BAC90，BAC=BEC=FAC，ABD+ADB90，CDE+ACF90，ADB=CDE，ABDACF，在ABD和ACF中 ABDACF，BDCF=8，BD平分ABC，ABECBE，CEBD，BEFBEC90在BEF和BEC中 BEF
20、BEC，EFEC，ECCF=4故答案为：4【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质及判定，会添加辅助线构造全等是解题关键1530【分析】过D作DMAC交CA的延长线于M，DNAE，根据角平分线的性质得到DF=DM，根据邻补角的定义得到DAM=60，根据角平分线的定义得到BAE=60，推出DE平分AEB，根据等腰三角形的性质得到AEB=90，得到DEF=45，根据三角形的外角的性质即可得到结论解：过D作DMAC交CA的延长线于M，DNAE，CD平分ACB，DF=DM，BAC=120，DAM=60，AE平分BAC，BAE=60，DAM=BAE，DM=DN，DF=DN,DF
21、BC，DE平分AEB，AB=AC，AE平分BAC交BC于E，AEBC，AEB=90，DEF=45，B=ACB=30，CD平分ACB，DCF=15，EDC=DEF -DCF=30.故答案为30【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、角平分线的定义，正确的作出辅助线，熟练运用性质是解题的关键1645【分析】如图，连接AC，BC，根据勾股定理及其逆定理，求得ACB=90，CAB=45再证明四边形ADFC是平行四边形，可得ACDF，根据两直线平行，同位角相等可得2=DAC，在RtABD中，1+DAB=90，又因DAB=DAC+CAB，所以1+CAB+DAC=90，即可得1+DAC=45，即
22、1+2=1+DAC=45解：如图，连接AC，BC根据勾股定理，AC=BC= ，AB= （）2+（）2=（）2，ACB=90，CAB=45ADCF，AD=CF，四边形ADFC是平行四边形，ACDF，2=DAC（两直线平行，同位角相等），在RtABD中，1+DAB=90（直角三角形中的两个锐角互余）；又DAB=DAC+CAB，1+CAB+DAC=90，1+DAC=45，1+2=1+DAC=45故答案为45【点拨】本题考查了格点三角形、勾股定理、平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键.1730解：（1）连接CE，ABC是等边三角形， AC=BC，在BCE与ACE
23、中，BCEACE（SSS）BCE=ACE=30BE平分DBC，DBE=CBE，在BDE与BCE中，BDEBCE（SAS），BDE=BCE=301816解：四边形FBCD周长=BC+AC+DF；当 时，四边形FBCD周长最小为5+6+5=1619（1）证明见分析；（2）证明见分析【分析】（1）连接DF，证FAEOAE，推出AFAO，AFOAOF，求出ODDF，求出BFDF，即可得出答案；（2）在AD上截AMOF，连接OM，证AMOOFB，推出MOBFOD，求出DEME，ADOFDM2DE，即可证明证明：（1）连接DF，OFAD，AEFAEO90，AD平分FAO，FAEOAE，在FAE和OAE中，
24、FAEOAE（ASA），AFAO，AFOAOF，ADOF，FEOE，DFDO，DFODOF，AFOAOF，AFDAOB90，AOB90，AOBO，B45，FDBAFOB904545B，BFDF，ODBF；（2）解：在AD上截AMOF，连接OM，OABB45，AD平分OAB，OAM22.5，ODDF，DFODOF，FDB45DFODOF，FOB22.5OAM，在AMO和OFB中，AMOOFB（SAS），MOBFOD，OFAD，DEME，ADOFDM2DE【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力20证明见分析.【分析】过D作DM
25、AB，于M，DNAC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，继而可推导得出MED=NFD，根据全等三角形的判定AAS推出EMDFND即可解：过D作DMAB于M，DNAC于N，即EMD=FND=90，AD平分BAC，DMAB，DNAC，DM=DN（角平分线性质），EAF+EDF=180，MED+AFD=360-180=180，AFD+NFD=180，MED=NFD，在EMD和FND中，EMDFND（AAS），DE=DF【点拨】本题考查了全等三角形的判定和角平分线性质的应用，解题的关键是正确作辅助线，推出EMD和FND全等.217【分析】由非负性可求AD3，BC4，如图，在AB上截取AHAD3，连接
26、HE，由“SAS”可证DAEHAE，可得DEAAEH，由“ASA”可证BEHBEC，可得BHBC4，即可求解解：（x3）2+|y4|0，x-3=0，y-4=0，x3，y4，AD3，BC4，如图，在AB上截取AHAD3，连接HE，ADBC，DAB+ABC180，EA，EB分别平分DAB和CBA，DAEEABDAB，EBCEBAABC， EAB+EBA90，AEB90，DEA+BEC90，DAEEAH，ADAH，AEAE，DAEHAE（SAS）DEAAEH，AEH+BEH90，DEA+BEC90，HEBCEB，且BEBE，CBEHBE，BEHBEC（ASA）BHBC4，ABAH+BH7【点拨】此题
27、考查平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质，三角形全等的判定及性质.22（1）证明见分析；（2）AE=EF，证明见分析.【分析】（1）如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE证明AHEEDF，根据全等三角形的性质可得AE=EF；（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，类比（1）的方法可证AE=EF；如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE类比（1）的方法可证AE=EF解：（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BEBC=AB=BD，BE=BH，AH=ED，AEF=ABE=90，AEB+FED=90，AEB+BAE=90，FED=HAE，BHE=CDB=45，AHE=
28、EDF=135，AHEEDF，AE=EF（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：AE=EF如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE同法可证：AE=EF【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题23（1）25，65；（2）2，理由见详解；（3）可以，110或80.【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（2）当DC=2时，利用DEC+EDC=140，ADB+EDC=140，求出ADB=DEC，再利用AB=DC=2，即可得出ABDDCE（3）当BDA的度数为110或80时，ADE的形状是等腰三
29、角形解：（1）B=40，ADB=115，BAD=180-B-ADB=180-115-40=25，AB=AC，C=B=40，EDC=180-ADB-ADE=25，DEC=180-EDC-C=115，AED=180-DEC=180-115=65；（2）当DC=2时，ABDDCE，理由：C=40，DEC+EDC=140，又ADE=40，ADB+EDC=140，ADB=DEC，又AB=DC=2，在ABD和DCE中， ABDDCE（AAS）；（3）当BDA的度数为110或80时，ADE的形状是等腰三角形，BDA=110时，ADC=70，C=40，DAC=70，ADE的形状是等腰三角形；当BDA的度数为8
30、0时，ADC=100，C=40，DAC=40，ADE的形状是等腰三角形【点拨】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题24（1）；（2）见详解；（3），理由见详解【分析】（1）根据旋转的性质可证明，在中根据三角形三边关系即可得出答案；（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，可得出，根据垂直平分线的性质可得出，利用三角形三边关系即可得出结论；（3）延长AB至N，使BN=DF，连接CN，可得，证明，得出，利用角的和差关系可推出，再证明，得出，即可得出结论解：（1）在中根据三角形三边关系可得出：，即故答案为：；（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，同（1）可得出，在中，；（3），理由如下：延长AB至N，使BN=DF，连接CN，（SAS）【点拨】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图中结构相关的图形此题结构精巧，考查范围广，综合性强