1、第1章三角形的初步知识一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1如果ABC的三边长分别为3、5、7，DEF的三边长分别为3，3x-2，2x-1，若这两个三角形全等，则x的值为()AB4C3D52如图，已知AE是ABC的角平分线，AD是BC边上的高若ABC=34，ACB=64，则DAE的大小是（）A5B13C15D203如图，ABC的面积为3，BD：DC2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）ABCD4已知三角形的三边长分别为2，a1，4，则化简|a3|a7|的结果为（ ）A2a10B102aC4D45如图，ABC中，ABBC，BEAC，1=2，A
2、D=AB，则下列结论不正确的是ABF=DFB1=EFDCBFEFDFDBC6已知：如图，GBC，BAC的平分线相交于点F，BECF于H，若AFB=40，BCF的度数为（）A40B50C55D607如图，直线m是ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的动点若AB=6，AC=4，BC=7则APC周长的最小值是A10B11C11.5D138如图，在ABC中，C90，B30，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）AD是BAC的平分线ADC60点D在AB的垂直平分线
3、上若AD2dm，则点D到AB的距离是1dmSDAC：SDAB1：2A2B3C4D59如图1，已知 AB=AC，D为BAC 的平分线上一点，连接 BD、 CD；如图2，已知 AB= AC，D、E为BAC的平分线上两点，连接 BD、CD、BE、CE；如图3，已知 AB=AC，D、E、F为BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、 BF、CF；，依次规律，第 n个图形中全等三角形的对数是（） AnB2n-1CD3（n+1）10如图所示，直角梯形 ABCD 中， AD BC ， AB BC ， AD 3， BC 5，将腰 DC 绕点 D 逆时针旋转90至 DE ，联结 AE ，则 ADE 的面
4、积是（） A1B2C3D42、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11如图，ABBC且ABBC，点P为线段BC上一点，PAPD且PAPD，若A22，则D的度数为_12如图，是的中线，点F在上，延长交于点D若，则_13如图a是长方形纸带，DEF=25，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的CFE的度数是_14如图，在ABC中，B46，三角形的外角DAC和ACF的平分线交于点E，则AEC_15如图，四边形ABCD中，ABAD，AC5，DABDCB90，则四边形ABCD的面积为_16如图，在ABC中，ACB90，AC7cm，BC3cm，CD为AB边上的高点E从点B出发在直
5、线BC上以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F.当点E运动_s时，CFAB17如图，点和点从点出发，分别在射线和射线上运动，且点运动的速度是点运动的速度的倍，当点运动至_时，与全等18如图，C=90，AC=BC，直线经过点C,过点A、B分别作AE，BF，垂足分别为E、F.若AE=5，BF=8，则EF=_三、解答题（本大题共6小题，共60分）19（8分）如图，在RtABC中，ACB90，ACBC，ABC45，点D为BC的中点，CEAD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF求证：ADCBDF20（8分）已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，过作，为垂足求证：（）（）2
6、1（10分）已知：如图，在ABC中，D是BA延长线上一点，AE是DAC的平分线，P是AE上的一点（点P不与点A重合），连接PB，PC通过观察，测量，猜想PB+PC与AB+AC之间的大小关系，并加以证明22（10分）如图，四边形ABCD中，ADBC，点E在CD上，EA，EB分别平分DAB和CBA，设ADx，BCy且（x3）2+|y4|0求AB的长23（10分）已知，M是等边ABC边BC上的点，如图，连接AM，过点M作AMH=60，MH与ACB的邻补角的平分线交于点H，过H作HDBC于点D（1）求证：MA=MH（2）猜想写出CB、CM、CD之间的数量关系式，并加以证明24（12分）把两个全等的直角
7、三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N（1）如图（1），若，当绕点D旋转时，AM，MN，BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当时，AM，MN，BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M，N分别改在CA，BC的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM，MN，BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）参考答案1C【分析】根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x值判断即可解：此题需要分类讨论若，则，所以所以此种情况不符合题意；若，则，所以所以此种情况符合题意综上所述：故选C
8、【点拨】此题考查的是根据全等三角形的性质求字母的值，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键2C【分析】由三角形的内角和定理，可求BAC=82，又由AE是BAC的平分线，可求BAE=41，再由AD是BC边上的高，可知ADB=90，可求BAD=56，所以DAE=BAD-BAE，问题得解解：在ABC中，ABC=34，ACB=64,BAC=180BC=82，AE是BAC的平分线，BAE=CAE=41.又AD是BC边上的高，ADB=90，在ABD中BAD=90B=56，DAE=BAD BAE =15.【点拨】在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角
9、，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.3B【分析】连接CP设CPE的面积是x，CDP的面积是y根据BD：DC=2：1，E为AC的中点，得BDP的面积是2y，APE的面积是x，进而得到ABP的面积是4x再根据ABE的面积是BCE的面积相等，得4x+x=2y+x+y，解得y= x，再根据ABC的面积是3即可求得x、y的值，从而求解解：连接CP，设CPE的面积是x，CDP的面积是yBD：DC=2：1，E为AC的中点，BDP的面积是2y，APE的面积是x，BD：DC=2：1ABD的面积是4x
10、+2yABP的面积是4x4x+x=2y+x+y，解得y= x又ABC的面积为34x+x= ，x= 则四边形PDCE的面积为x+y= 故选B【点拨】此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比；等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比4C解：试题分析：已知三角形的三边长分别为2，a1，4，则根据三角形的三边关系：可得：a-14-2，a-13，a0，a-73，a7，因此可以判断a-3和a-7的正负情况此题还考查了考生绝对值的运算法则：正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值还是零由此可化简|a3|a7|【结束】5B【分析】根据余角
11、的性质得到C=ABE，EBC=BAC根据SAS推出ABFADF，根据全等三角形的性质得到BF=DF，故A正确；由全等三角形的性质得到ABE=ADF，等量代换得到ADF=C，根据平行线的判定得到DFBC，故D正确；根据直角三角形的性质得到DFEF，等量代换得到BFEF；故C正确；根据平行线的性质得到EFD=EBC=BAC=21，故B错误解：ABBC，BEAC，C+BAC=ABE+BAC=90，C=ABE同理：EBC=BAC在ABF与ADF中，ABFADF，BF=DF，故A正确，ABFADF，ABE=ADF，ADF=C，DFBC，故D正确；FED=90，DFEF，BFEF；故C正确；DFBC，EF
12、D=EBCEBC=BAC=BAC=21，EFD=21，故B错误故选B【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，证得ABFADF是解题的关键6B【分析】作FZAE于Z，FYCB于Y，FWAB于W，根据角平分线的性质得到FZ=FY，根据角平分线的判定定理得到FCZ=FCY，根据题意得到答案解：作FZAE于Z，FYCB于Y，FWAB于W，AF平分BAC，FZAE，FWAB，FZ=FW，同理FW=FY，FZ=FYFZAE，FYCB，FCZ=FCY，AFB=40，ACB=80，ZCY=100，BCF=50故选B【点拨】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的
13、距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键7A【分析】根据垂直平分线的性质BP=PC，所以APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BPAC+AB=10.解：如图，连接BP直线m是ABC中BC边的垂直平分线,BP=PC,APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP,两点之间线段最短AP+BPAB，APC周长最小为AC+AB=10.【点拨】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短.做本题的关键是能得出AP+BPAB，做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件，联系相关定理得出结论，再根据结论进行推论.8D【分析】根据作图的过程可以判定AD是BAC的角平分线；利
14、用角平分线的定义可以推知CAD=30，则由直角三角形的性质来求ADC的度数；利用等角对等边可以证得ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；作DHAB于H，由1=2，DCAC，DHAB，推出DC=DH即可解决问题；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比解：根据作图的过程可知，AD是BAC的平分线，故正确；如图，在ABC中，C90，B30，CAB60又AD是BAC的平分线，12CAB30，390260，即ADC60故正确；1B30，ADBD，点D在AB的中垂线上故正确；作DHAB于H，12，DCAC，DHAB，D
15、CDH，在RtACD中，CDAD1dm，点D到AB的距离是1dm；故正确，在RtACB中，B30，AB2AC，SDAC：SDABACCD：ABDH1：2；故正确综上所述，正确的结论是：，共有5个故选：D【点拨】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质9C【分析】根据条件可得图1中ABDACD有1对三角形全等；图2中可证出ABDACD，BDECDE，ABEACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数解：AD是BAC的平分线，BAD=CAD在ABD与ACD中，AB=AC，BAD=CAD，A
16、D=AD，ABDACD图1中有1对三角形全等；同理图2中，ABEACE，BE=EC，ABDACDBD=CD，又DE=DE，BDECDE，图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是故选：C【点拨】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律10C解：作DHBC于H，CH532，再作EFAD交AD的延长线于点F，利用旋转前后的关系，证明DHCDFE，则EFCH2，故SADE323，故选C1123解：过D作DEPC于EPAPD，APB+DPE=90ABBC，A+APB=90，A=DPE=
17、22在ABP和PED中，A=DPE，B=E=90，PAPD，ABPPED，AB=PE，BP=DEAB=BC，BC=PE，BP=CEBP=DE，CE=DE，DCE=45，PDC=DCEDPC=4522=23故答案为2312【分析】连接ED，由是的中线，得到，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可解：连接ED是的中线，设，与是等高三角形，故答案为：【点拨】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键13105解：由图a知，EFC=155.图b中，EFC=155，则GFC=EFC-EFG=155-25=130.图c中，
18、GFC=130，则CFE=130-25=105. 故答案为105.【点拨】在长方形的折叠问题中，因为有平行线和角平分线，所以存在一个基本的图形等腰三角形，即图b中的等腰CEF，其中CE=CF，这个等腰三角形是解决本题的关键所在.1467【分析】先根据三角形内角和定理计算出BAC+BCA180B134，则利用邻补角定义计算出DAC+FCA180BAC+180BCA226，再根据角平分线定义得到EACDAC，ECAFCA，所以EAC+ECA（DAC+FCA）113，然后再利用三角形内角和计算AEC的度数解：B46，BAC+BCA18046134，DAC+FCA180BAC+180BCA360134
19、226，AE和CE分别平分DAC和FCA，EACDAC，ECAFCA，EAC+ECA（DAC+FCA）113，AEC180（EAC+ECA）18011367故答案为：67【点拨】本题考查角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的性质在本题解题过程中，有些角单独计算不出来，所以把两个角的和看作一个整体计算（如：BAC+BCA，DAC+FCA），故掌握整体思想是解决此题的关键1512.5【分析】过A作AEAC，交CB的延长线于E，判定ACDAEB，即可得到ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与ACE的面积相等，根据SACE=55=12.5，即可得出结论解：如图，过A作AEAC，交C
20、B的延长线于E，DAB=DCB=90，D+ABC=180=ABE+ABC，D=ABE，又DAB=CAE=90，CAD=EAB，又AD=AB，ACDAEB（ASA），AC=AE，即ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与ACE的面积相等，SACE=55=12.5，四边形ABCD的面积为12.5，故答案为12.5【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题165或2【分析】分点E在射线BC上移动和点E在射线CB上移动两种情况求解即可.解：如图，当点E在射线BC上移动时，CFAB.AACD90，BCDACD90，ABCD.又ECFBCD，
21、AECF.在CFE与ABC中， ，CFEABC(AAS)，CEAC7cm，BEBCCE10cm，1025(s)当点E在射线CB上移动时，CFAB.在CFE与ABC中，CFEABC(AAS)，CEAC7cm，BECECB4cm，422(s)综上可知，当点E运动5s或2s时，CFAB.故答案为5或2.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据已知条件构造全等三角形是解决问题的关键.解决本题时注意考虑全面，不要漏解.17AC中点【分析】本题要分情况讨论：RtAPQRtCBA，此时AP=BC=5cm，可据此求出P点的位置RtQAPRtBCA，此时AP=AC，P、C重合解：根据三角形全等的判定方法可
22、知：当运动到的，在和中，即，即运动到的中点当P运动到与C点重合时，AP=AC，在RtABC与RtQPA中， 根据边的关系，P,Q的运动速度来看，此种情况不成立，舍去【点拨】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解183或13.分析：分两种情况讨论：当E、F在点C的同侧，如图1，可证明ACECBF，则该全等三角形的对应边相等AE=CF，CE=BF，结合线段间的和差关系推知：EF=BFAE；当E、F在点C的异侧，如图2，可通过证明ACECBF得到：AE=C
23、F，CE=BF，结合线段间的和差关系推知：EF= BF+AE解：分两种情况讨论：当E、F在点C的同侧，如图1ACB=90，A=BCF（同角的余角相等） 在ACE与CBF中，ACECBF（AAS），AE=CF，CE=BF，EF=CECF= BFAE，即EF=BFAE=85=3当E、F在点C的异侧，如图2ACB=AEC=BFC=，A=BCF（同角的余角相等）在ACE与CBF中，ACECBF（AAS），AE=CF，CE=BF，EF=CF+CE=AE+BF=5+8=13综上所述：EF的长为：3或13 故答案为3或13【点拨】本题是全等三角形综合题是一道探究题，用到了全等三角形的判定与性质、线段间的和差
24、关系，等量代换等知识点，考查了探究能力，渗透了由特殊到一般的思想，是一道好题19见分析【分析】作BGCB，交CF的延长线于点G，由ASA证明ACDCBG，得出CDBG，CDACGB，证出BGBD，FBDGBFCBG，再由SAS证明BFGBFD，得出FGBFDB，即可得出结论证明：作BGCB，交CF的延长线于点G，如图所示：CBG90，CFAD，CAD+ADCBCG+ADC90，CADBCG，在ACD和CBG中，ACDCBG（ASA），CDBG，CDACGB，CDBD，BGBD，ABC45，FBDGBFCBG，在BFG和BFD中，BFGBFD（SAS），FGBFDB，ADCBDF【点拨】本题考查
25、了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论20证明详见分析分析：（1）根据角平分线的性质，得到ABD=CBD，然后根据SAS证得，然后根据全等三角形的性质和三角形的外角得到等腰ACE，由此可证；（2）过点作于点，根据三角形全等的判定“HL”证得和，然后根据全等三角形的对应边相等，等量代换求解.证明：（）为的角平分线，在和中，为等腰三角形，（）过点作于点，是上的点，在和中，在和中，【点拨】此题考查了角平分线定理，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，利用了转化及等量代换的数学思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键21PB
26、PCABAC.分析：根据全等三角形的判定与性质，可得FP=CP，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案解：PBPCABAC.证明如下：如图，在BA的延长线上截取AFAC，连接PF.AE平分DAC，FAPCAP.在FAP和CAP中，AF=AC，FAPCAP，AP=AP，FAPCAP(SAS)，FPCP.在FPB中，FPBPFAAB，即PBPCABAC.【点拨】本题考点是全等三角形的判定与性质，三角形三边关系.难点在于通过全等三角形的判定与性质得出FPCP.关键点是通过三角形的三边关系列出式子.227【分析】由非负性可求AD3，BC4，如图，在AB上截取AHAD3，连接HE，由“SAS”可证DA
27、EHAE，可得DEAAEH，由“ASA”可证BEHBEC，可得BHBC4，即可求解解：（x3）2+|y4|0，x-3=0，y-4=0，x3，y4，AD3，BC4，如图，在AB上截取AHAD3，连接HE，ADBC，DAB+ABC180，EA，EB分别平分DAB和CBA，DAEEABDAB，EBCEBAABC， EAB+EBA90，AEB90，DEA+BEC90，DAEEAH，ADAH，AEAE，DAEHAE（SAS）DEAAEH，AEH+BEH90，DEA+BEC90，HEBCEB，且BEBE，CBEHBE，BEHBEC（ASA）BHBC4，ABAH+BH7【点拨】此题考查平行线的性质：两直线平
28、行同旁内角互补，角平分线的性质，三角形全等的判定及性质.23（1）见分析；（2）CB=CM+2CD.分析：（1）过M点作MNAC交AB于N，然后根据全等三角形的判定“ASA”证明AMNMHC，再根据全等三角形的性质可得MA=MH；（2）过M点作MGAB于G，再根据全等三角形的判定“AAS”证明BMGCHD可得CD=BG，因为BM=2CD可得BC=MC+2CD解：（1）如图，过M点作MNAC交AB于N，则BM=BN，ANM=120，AB=BC，AN=MC，CH是ACD的平分线，ACH=60=HCD，MCH=ACB+ACH=120，又NMC=120，AMH=60，HMC+AMN=60又NAM+AM
29、N=BNM=60，HMC=MAN，在ANM和MCH中，AMNMHC（ASA），MA=MH；（2）CB=CM+2CD；证明：如图，过M作MGAB于G，HDBC，HDC=MGB=90，AMNMHC，MN=HC，MN=MB，HC=BM，在BMG和CHD中，BMGCHD（AAS），CD=BG，BMN为等边三角形，BM=2BG，BM=2CD，BC=MC+2CD【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，关键是正确作出辅助线构造全等三角形和等边三角形，解题时注意：等边三角形的三个内角都相等，且都等于6024（1）；证明见分析；（2）；证明见分析；（3）补图见分析；证明见分析
30、【分析】（1）延长CB到E，使BE=AM，证DAMDBE，推出BDE=MDA，DM=DE，证MDNEDN，推出MN=NE即可；（2）延长CB到E，使BE=AM，证DAMDBE，推出BDE=MDA，DM=DE，证MDNEDN，推出MN=NE即可；（3）在CB截取BE=AM，连接DE，证DAMDBE，推出BDE=MDA，DM=DE，证MDNEDN，推出MN=NE即可解：（1）证明如下：如图，延长CB到E，使，连接DE，在和中，在和中，；（2）证明如下：如图，延长CB到E，使，连接DE，在和中，在和中，；（3）补充完成题图，如图所示证明如下：如上图，在CB上截取BE=AM，连接DE，在和中，在和中，【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键