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江苏省常州市金坛区2021年高一上期中数学试卷(含答案解析)

1、江苏省常州市金坛区2021-2022学年高一上期中数学试题一单项选择题(本题共8小题,每题5分共40分)1. 设全集.集合,则( )A. B. C. D. 2. 若命题“,”为假命题,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 3. 若、都是正实数,则“”是“”( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若,则的值为( )A. B. C. 1D. 75. 若函数是上的减函数,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 6. 若,且,则的值为( )A. B. C. D. 7. 已知集合,若则实数的取值集合为( )A. B. C. D. 8.

2、 若“,”为真命题,“,”为假命题,则集合可以是( )A. B. C. D. 二多项选择题(本题共4小恩,每题5分共20分,每题四个选项中,有多项是正确的,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分)9. 已知集合,则下列说法中正确的是( )A. 但B. 若,其中,则C. 若,其中,则D 若,其中,则10. 如图所示的电路图中,“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图有( )A. B. C. D. 11. 在下列命题中不正确的是( )A. 当时,则B. 当时,则C. 当时,函数的最小值是3D. 若,则,当且仅当时,等号成立12. 已知函数(其中).则以下命题正确是( )A. 若函数的

3、值域为,则B. 若函数有唯一零点,则C. 若函数在区间上有且仅有一个零点,则取值范围是D. 若关于的不等式恒成立,则的最小值为3三填空题(本大题共4小题,每小还5分,共20分)13. 若,则称的数量级为,已知宇宙中某星球的质量为,且满足,则的数量级为_.14. 若,且,则的值为_.15. 若实数满足,则的取值范围是_.16. 已知不等式的解集为,则实数的值为_,函数的所有零点之和等于_.四解答题:(本大题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤)17. 求下列各式的值:(1);(2).18. 已知,且M=xm-2xm+2 ,且或.(1)若,求实数的值

4、;(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.19. 求解下列问题:(1)若,且,求的最小值;(2)若,且,求的最小值.20. 已知函数.(1)若函数为偶函数,求实数值;(2)若函数在区间上具有单调性,求实数取值范围;(3)若函数在区间上不具有单调性,求实数的取值范围.21. 某自来水水源地污染超标,当地自来水公司对水质检测后,决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为的药剂后,经过天该药剂在水中释放的浓度(毫克/升)满足:,其中,当药剂在水中的度不低于5(毫克/升)时称为有效净化:当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化.(1)如果投放的药剂的质

5、量为,试问自来水达到有效净化总共可以持续多少天?(2)如果投放的药剂的质量为,为了使在前9天(从投放约剂时算起到第9天结束)之内的自来水达到最佳净化标准,试确定应该投放的药剂质量的取值范围.22. 已知函数定义域为,且函数同时满足下列个条件:对任意的实数,恒成立;当时,;.(1)求及的值;(2)求证:函数既是上的奇函数,同时又是上的增函数;(3)若,求实数的取值范围.江苏省常州市金坛区2021-2022学年高一上期中数学试题一单项选择题(本题共8小题,每题5分共40分)1. 设全集.集合,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】由已知可

6、得,因此,.故选:D.2. 若命题“,”为假命题,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得出,即可解得实数的取值范围.【详解】因为命题“,”为假命题,则,解得.故选:B.3. 若、都是正实数,则“”是“”( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法、基本不等式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】因为、都是正实数,若,取,则,即“”“”;若,由基本不等式可得,即“”“”.因此,“”是“” 必要不充分条件.故选:B.4. 若,则的值为( )A. B. C. 1

7、D. 7【答案】C【解析】【分析】利用根式的性质可求的值.【详解】,故选:C.5. 若函数是上的减函数,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合图象可知,分段函数为减函数,则两段函数都递减,且第一段的右端点不在第二段左端点的下方,然后可得.【详解】因为函数是上的减函数,所以2-m1xx3=xx3,由题意可知,.故选:D.二多项选择题(本题共4小恩,每题5分共20分,每题四个选项中,有多项是正确的,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分)9. 已知集合,则下列说法中正确的是( )A. 但B. 若,其中,则C. 若,其中,则D. 若,其中,则【答案】B

8、C【解析】【分析】A选项,求出,故;BC选项,通过计算可以得到,;D选项,时,不符合要求,D错误.【详解】,故,所以,A错误;,其中,故,B正确;,其中,故,C正确;因为,若,此时无意义,故,D错误.故选:BC10. 如图所示的电路图中,“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图有( )A B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】分别分析四个选项中的电路,选出开关S闭合灯一定亮,灯亮时,开关S一定闭合的选项即可.【详解】A:当开关S闭合时,灯泡L亮,当灯泡L亮时,也可能是S上方开关闭合,因此“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件,A不正确;B: 当开关S闭合时,灯泡L亮,当灯泡

9、L亮时,只可能是S开关闭合,因此B正确;C: 当开关S闭合时,灯泡L不一定亮,所以C不正确;D: 当开关S闭合时,灯泡L亮,当灯泡L亮时,只可能是S开关闭合,因此D正确.故选:BD.11. 在下列命题中不正确的是( )A. 当时,则B. 当时,则C. 当时,函数的最小值是3D. 若,则,当且仅当时,等号成立【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式或反例逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A,由基本不等式有,但,故等号不可取,故,故A正确.对于B,取,则,此时不成立,故B不正确.对于C,因为,故,故等号不可取,故的最小值不是3,故C错误.对于D,故,当且仅当时等号成立,故D正确.故选:BC.

10、12. 已知函数(其中).则以下命题正确的是( )A. 若函数的值域为,则B. 若函数有唯一零点,则C. 若函数在区间上有且仅有一个零点,则的取值范围是D. 若关于的不等式恒成立,则的最小值为3【答案】ABD【解析】【分析】化简函数,结合二次函数的图象与性质,逐项判定,即可求解.【详解】由题意,函数,若函数的值域为,可得,解得,所以A正确;若函数有唯一零点,可得,所以,所以B正确;由函数,可得函数在单调递增,要使得函数在区间上有且仅有一个零点,则满足,可得,即实数的取值范围是,所以C不正确;由不等式恒成立,即不等式恒成立,因为,所以的最大值为,所以,所以的最小值为3,所以D正确.故选:ABD.

11、三填空题(本大题共4小题,每小还5分,共20分)13. 若,则称的数量级为,已知宇宙中某星球的质量为,且满足,则的数量级为_.【答案】【解析】【分析】利用对数式与指数式的互化可得出,即可得出的数量级.【详解】因,故数量级为.故答案为:.14. 若,且,则的值为_.【答案】2【解析】【分析】根据等量关系得到,进而利用对数运算法则进行计算.【详解】由题意得:,即,即,则故答案为:215. 若实数满足,则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由已知条件,应用基本不等式可得,即可求目标式的范围,注意等号成立条件.【详解】由题设,当且仅当时等号成立,所以,可得.故答案为:16. 已知不等式的解集为,则

12、实数的值为_,函数的所有零点之和等于_.【答案】 . ; . .【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集及根与系数关系求参数a、b,再由根系关系求所有零点之和.【详解】由题设,易知:是的两个根,则,所以,对于,其所有零点之和为.故答案为:,.四解答题:(本大题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤)17. 求下列各式的值:(1);(2).【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据对数的运算法则,准确运算,即可求解;(2)根据指数幂的运算法则,准确运算,即可求解.【小问1详解】解:根据对数的运算法则,可得.【小问2详解】解:根据指数幂的运算公式

13、,可得.18. 已知,且M=xm-2xm+2 ,且或.(1)若,求实数的值;(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】(1); (2)或.【解析】【分析】(1)根据集合的运算可得出关于实数的等式组,由此可解得实数的值;(2)由题意可知,可得出关于实数的不等式,由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】解:因为M=xm-2xm+2,或,且,所以, ,解得.【小问2详解】解:因为是的充分不必要条件,则,则或,解得或.19. 求解下列问题:(1)若,且,求的最小值;(2)若,且,求的最小值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用1的代换结合基本不等式可求最小值.(2)因为,故可利

14、用基本不等式求目标代数式的最小值.【小问1详解】因为,且,所以,则.当且仅当时,即时,也即时,上式取等号,故当时.【小问2详解】因为,且,所以,当且仅当吋,又,所以当且仅当时,上式取等号,故当时,20. 已知函数.(1)若函数为偶函数,求实数的值;(2)若函数在区间上具有单调性,求实数的取值范围;(3)若函数在区间上不具有单调性,求实数的取值范围.【答案】(1); (2); (3).【解析】【分析】(1)由偶函数性质可得都有成立,即可得的值;(2)(3)根据二次函数的性质,结合给定区间的单调性求参数范围即可.【小问1详解】因为定义在上的函数为偶函数所以对,都有成立,即对,都有成立,整理可得:都

15、有成立,则,即所求实数的值为,【小问2详解】因为函数的对称轴为,当时,即时,此时,二次函数在上递减当时,即时,此时,二次函数上递增,由知:要使函数在上具有单调性,则的取值范围为.小问3详解】因为函数在上不具有单调性,则必有,解得,所以要使函数在上不具有单调性,则的取值范围为.21. 某自来水水源地污染超标,当地自来水公司对水质检测后,决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为的药剂后,经过天该药剂在水中释放的浓度(毫克/升)满足:,其中,当药剂在水中的度不低于5(毫克/升)时称为有效净化:当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化.(1)如果投放的药剂

16、的质量为,试问自来水达到有效净化总共可以持续多少天?(2)如果投放的药剂的质量为,为了使在前9天(从投放约剂时算起到第9天结束)之内的自来水达到最佳净化标准,试确定应该投放的药剂质量的取值范围.【答案】(1)21天 (2)【解析】【分析】小问1:当时,求出的表达式,自来水达到有效净化只需,讨论求解不等式即可;小问2:分析函数的单调性从而求得函数值域,根据最佳净化标准的要求,列不等式求解即可【小问1详解】当时,当时,恒成立,即当时,自来水达到有效净化的标准;当时,由,解得即当时,自來水达到有放净化的标准.由可知当时,自来水均能达到有效化的标准也即自来水达到有效净化一共可持续21天,【小问2详解】

17、因为从投放药齐第1天算起到第9天结束,所以当时,设,则,即则函数在区间上为增函数,故,即,当时,设.则,即则函数在区间上为淢函数,故,即;由得又因为从投放药剂第1天算起到第9天结束,期间自来水要达到最佳浄化标准,所以必有.解得即应该投放的药剂质量的取值范围为22. 已知函数定义域为,且函数同时满足下列个条件:对任意的实数,恒成立;当时,;.(1)求及的值;(2)求证:函数既是上的奇函数,同时又是上的增函数;(3)若,求实数的取值范围.【答案】(1),; (2)证明见解析; (3).【解析】【分析】(1)在等式中,令可求得的值,令,结合可求得的值;(2)在等式中令可证得函数为奇函数,然后任取、,并且,根据函数单调性的定义可证得函数为上的增函数;(3)利用(2)中的结论将所求不等式变形为,可得出关于的不等式,即可解得实数的取值范围.【小问1详解】解:因为对任意的实数、,恒成立,所以在上式中令得,即,又在上式中令,得.又,.【小问2详解】证明:在等式中令得.即,且定义域为,则函数为奇函数.又由已知可得:当时,任取、,并且,则,即,所以,即,则函数在区间上为增函数.【小问3详解】解:因为对任意的实数、,恒成立,令,则,即,又因为,所以,又由(2)知函数为上的奇函数,则,即,又因为,所以,又由(1)知,即,则,也即,又由(2)知函数为上的增函数,所以,即,解得或,故所求实数的取值范围为.