1、江苏省扬州市江都区2021-2022学年高一上期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合，则（ ）A B. C. D. 2. 下列各组函数是同一函数的是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与3. 已知，则是的什么条件（ ）A. 既不充分又不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件4. 下列函数中为偶函数且在区间上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 5. 已知命题，是假命题，则的取值范围为（ ）A. B. C 或D. 或6. 函数，若，则（ ）A. 0B. 0或1C. 1或D. 7. 围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上
2、可能出现黑、白、空三种情况，因此有种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列最接近的是（注：）（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若，则下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 10. 下列运算中正确的是（ ）A. B. 当时， C. 若，则3.D. 11. 若，则下
3、列不等式中对一切满足条件的，恒成立的是（ ）A. B. C. D. 12. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）A. B. 若在上为增函数，则在上为减函数C. 若在上有最小值，则在上有最大值1D. 若时，则值域为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13. 已知函数，则函数的定义域为_.14. 已知关于的不等式的解集为，则=_.15. 请写出一个满足以下条件的函数：为偶函数值域为，_.16. 几何原本中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设，称为、的调和
4、平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=，CB=，且，O为AB中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是、的算术平均数，线段CD的长度是、的几何平均数，线段_的长度是、的调和平均数,该图形可以完美证明三者的大小关系为_.四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 求下列各式的值：（1）；（2）；18. 在；“是“”的充分不必要条件；这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合（1）当时，求AB；（2）若_，求实数取值范围.1
5、9. 已知函数是定义域为上的奇函数，且.（1）求的解析式；（2）用定义证明：在上是增函数.20. 为响应创建文明卫生城市的号召，某校计划在学校空地建设一个面积为的长方形花草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形种植花卉，矩形上下各留左右各留种植草坪，设花草坪长度为（单位：），宽度为（单位：），矩形的面积为（单位：）.（1）试用表示；（2）求的最大值，并求出此时的值.21. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）画出函数的图象并根据图像写出函数的单调增区间及值域；（3）解不等式22. 已知是二次函数，其两个零点分别为-3、1，且.（1）求解析式；（2）若，恒成立，求实
6、数的取值范围；（3）设，的最小值为，若方程有两个不等的根，求的取值范围.江苏省扬州市江都区2021-2022学年高一上期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义直接计算.【详解】，则.故选：B.2. 下列各组函数是同一函数的是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】A【解析】【分析】当两个函数的定义域和对应关系都相同时，则两个函数为同一函数，再对各个选项中的函数进行化简并求出定义域，即可判断得出答案.【详解】解：对于A，的定义域为，的定义域为，则两个函数的定义域和对应关系都相同，
7、是同一函数；对于B，的定义域为，的定义域为，则两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，的定义域为，的定义域为，则两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，和的对应关系不同，故不是同一函数.故选：A.3. 已知，则是的什么条件（ ）A. 既不充分又不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据分式不等式的解法得出，再根据充分不必要条件的定义即可判断得出结果.【详解】解：，由于，解得：，所以是的充分不必要条件.故选：D.4. 下列函数中为偶函数且在区间上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】从偶函数及在上递增这两个
8、角度逐一分析各选项中函数而判断作答.【详解】对于A，定义域为，是偶函数，而在上递减，A不符合；对于B，定义域为，是偶函数，在上递增，B符合；对于C，定义域为，不是偶函数，C不符合；对于D，定义域为，是奇函数，D不符合.故选：B5. 已知命题，是假命题，则的取值范围为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】根据假命题的否定是真命题，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可.【详解】因为命题，是假命题，所以，是真命题，于是有：.故选：A.6. 函数，若，则（ ）A. 0B. 0或1C. 1或D. 【答案】D【解析】【分析】分三种情况解出的值，注意的范围进行取舍即可.【详解】因为
9、，当时，解得，不符合题意；当时，解得或（舍去）；当时，则，不符合题意，故选：D7. 围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列最接近的是（注：）（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，取对数得，得到，分析选项，即可求解.【详解】根据题意，对于，可得，可得，分析选项，可得D中与其最接近.故选：D【点睛】本题主要考查了对数的运算性质及其应用，其中解答中掌握对数的运算性质是解答的关键，着重考查计算与求解能
10、力.8. 已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题可知f(x)在0，)单调递增，由f(x)是偶函数知其在(，0)单调递减，则距离y轴越近，函数值越小，即自变量绝对值越小，函数值越小【详解】由题可知f(x)在0，)单调递增，由f(x)是偶函数知其在(，0)单调递减，则距离y轴越近，函数值越小，即自变量绝对值越小，函数值越小|2|23|，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若，则下列不等式中成立的是（ ）
11、A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】利用不等式的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A：若，则，即故A正确；对于B：若，则，故B正确；对于C：取，满足，满足，不满足，故C错误；对于D：取，满足，满足，不满足，故D错误；故选： AB10. 下列运算中正确的是（ ）A. B. 当时， C. 若，则3.D. 【答案】BD【解析】【分析】选项A由换底公式可判断；选项B由分数指数幂的运算可判断；选项C. 设，两边平方可判断；选项D由对数恒等式结合对数的值可判断【详解】选项A. 由换底公式可得，故选项A不正确.选项B. 当时， ,故选项B正确.选项C. 设，两边平方可得，则，
12、故，故选项C不正确.选项D. ,故选项D正确.故选：BD11. 若，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式，可求出的范围，即可判断A；将平方后，再利用基本不等式，即可判断B；变形，进而可判断C；利用“1”的变形，展开后利用基本不等式，即可判断D.【详解】解：，即，即，故正确；，故，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：ACD12. 函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）A. B. 若在上为增函数，则在上为减函数C. 若在上有最小值，则在上有最大值1D. 若时，则值域为【答案】AC【解析】【分析】A：R上的
13、奇函数必有f(0)0；B、C：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；D：根据x0时的解析式求出值域，然后根据奇函数求出x0时的值域【详解】奇函数有f(x)f(x)，xR，则可取x0，得f(0)0，故A正确；奇函数图像关于原点对称，故在关于原点对称的区间上，单调性相同，故B错误，据此亦可知f(x)在上有最小值，则在上有最大值1，故C正确；时，f(x)(0，1)，f(x)是奇函数，x0时，f(x)(1，0)，又f(0)0，值域为，故D错误故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13. 已知函数，则函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】根据被开方数非负，列出不等式求解即可.
14、【详解】由，解得，所以函数的定义域为：故答案为：14. 已知关于的不等式的解集为，则=_.【答案】8【解析】【分析】由题可知方程的两根分别为，结合韦达定理即可求出，从而得出的结果.【详解】解：因为不等式的解集为，所以方程的两根分别为，故由韦达定理可得，解得：，所以.故答案为：8.15. 请写出一个满足以下条件的函数：为偶函数值域为，_.【答案】=（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数满足的性质，写出一个满足条件的即可.【详解】由函数满足：为偶函数值域为函数=满足条件.故答案为：=（答案不唯一）16. 几何原本中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一
15、方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设，称为、的调和平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=，CB=，且，O为AB中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是、的算术平均数，线段CD的长度是、的几何平均数，线段_的长度是、的调和平均数,该图形可以完美证明三者的大小关系为_.【答案】 . # . 【解析】【分析】根据给定条件结合圆的有关性质、直角三角形射影定理用a，b表示出相关线段长即可作答.【详解】依题意，由直角三角形射影定理得，即，而点C与点O不重合，在中，即，则，在中
16、，因，由直角三角形射影定理得，又，则，即，所以线段的长度是、的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为.故答案为：；四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 求下列各式的值：（1）；（2）；【答案】（1）0； （2）10.【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质进行化简求值即可；（2）根据指数幂的运算，以及根式和分数指数幂的转化，即可化简求值.【小问1详解】解：原式.【小问2详解】解：原式.18. 在；“是“”的充分不必要条件；这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合（1）当时，求AB；（2）若_，求实
17、数的取值范围.【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）代入，然后根据并集进行计算.（2）选，可知，求解即可；选可知，计算即可；选，则或计算即可.【小问1详解】当时，集合，所以；【小问2详解】因为 ，因为，所以若选择，则，又，所以，解得，所以实数的取值范围是. 若选择，“是“”的充分不必要条件，则，因为，所以，又，所以，解得，所以实数的取值范围是.若选择，因为，所以，又所以或，解得或，所以实数的取值范围是19. 已知函数是定义域为上的奇函数，且.（1）求的解析式；（2）用定义证明：在上是增函数.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用奇函数可求，然后利用可求，从
18、而可得解析式；（2）先取值，作差，变形，然后判定符号，可得单调性.【详解】（1）函数是定义域为上的奇函数，；又，；.(经验证满足题意）（2）证明：设，是上任意两个实数，且，则因为，且，所以，所以，所以所以在上是单调增函数.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题方法如下：（1）根据在定义域内时，一定有，结合题中所给条件，建立方程组，求得相应参数值，得到结果；（2）利用函数单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性，利用取值、作差、变形、得其符号，求得结果.20. 为响应创建文明卫生城市的号召，某校计划在学校空地建设一个面积为的长方形花草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形种植花卉，矩形
19、上下各留左右各留种植草坪，设花草坪长度为（单位：），宽度为（单位：），矩形的面积为（单位：）.（1）试用表示；（2）求最大值，并求出此时的值.【答案】（1）； （2）最大值为，此时.【解析】【分析】（1）根据题意，可知矩形长为，宽为，再由矩形的面积公式即可得出；（2）因为，而，再利用基本不等式即可求出的最大值和的值.【小问1详解】解：由题意可得，矩形长为，宽为，所以.【小问2详解】解：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，此时.21. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）画出函数的图象并根据图像写出函数的单调增区间及值域；（3）解不等式.【答案】（1
20、）； （2）图见解析，增区间是，；值域是 ； （3）或.【解析】【分析】（1）根据偶函数和时的解析式，可求出时的解析式，从而得出在上的解析式；（2）根据的解析式以及二次函数的性质画出图象，再根据图象得出函数的单调增区间和最值，从而得出值域；（3）由，得 或，结合图象即可求解不等式的解集.【小问1详解】解：是定义在上的偶函数，当时，当时，则，则，在上的解析式为：.【小问2详解】解：函数的图象如图：由图象可知，函数的单调递增区间是，；则的最小值为，最大值为，所以值域是 .【小问3详解】解：由，得 或，所以或或，解得：或，综上：不等式的解集为或.22. 已知是二次函数，其两个零点分别为-3、1，且.
21、（1）求的解析式；（2）若，恒成立，求实数的取值范围；（3）设，的最小值为，若方程有两个不等的根，求的取值范围.【答案】（1）； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）根据题意，设，根据，可求出的值，即可得出的解析式；（2）将原不等式恒成立转化为任意，成立，即，再利用基本不等式求的最小值，从而得出的取值范围；（3）根据题意得出，对称轴，分类讨论求出的最小值，从而得出，再根据方程有两个不等的根，令，即，作出的简图，再结合两函数的交点个数，从而可求出的取值范围.【小问1详解】解：二次函数，其两个零点分别为-3、1，且，可设，则，解得：，.【小问2详解】解：由（1）得，由，得，所以任意，成立，即，由基本不等式，得（当且仅当时，等号成立），所以最小值为6，所以，实数的取值范围.【小问3详解】解：由题可知，对称轴，当，即时，在区间单调递增，；当，即时，在区间单调递减，；当，即时，的最小值为，；由于方程有两个不等的根，则函数零点即为方程的根令，即，作出的简图如图所示：当时，有唯一解，解得：，有1个零点；当时，有两个不同解，解得：或，有2个零点；当时，解得：，有1个零点；当时，无解，无零点；综上：当时，方程有两个不等的根，即的取值范围为.