1、台州市“十校联盟”2021-2022学年高一上期中联考数学试题一单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知全集，则（ ）A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A. B. C. D. 6. 已知函数则（ ）A. 1B. 5C. D. 7. 定义在上的奇函数满足且在上单调递减，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 8. 高斯是
2、德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，已知函数，则下列选项中，正确的是（ ）A. 的最大值为1，没有最小值B. 最小值为0，没有最大值C. 没有最大值，没有最小值D. 的最大值为1，最小值为0二多选题（本大题共小题，每小题分，共分.每小题各有四个选项，有多个选项正确）9. 以下四个选项表述正确的有（ ）A. B. C. D. 10. 设x，y为实数，满足，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 11. 已知，不等式的解集是，下列说法正确的是（ ）A. B. C. 关于的不等式的解集是D. 如果，则12.
3、（多选）设函数，给出下列四个命题正确的是（ ）A. 时，是奇函数B ，时，方程只有一个实数根C. 方程至多有两个实数根D. 的图像关于对称三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知集合，集合，则_.14. 函数定义域为_；15. 设，满足，若不等式恒成立，则实数的范围是_.16. 已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则取值范围是_.四.解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17. 已知集合，.（1）当时，求.（2）若，求实数m取值范围.18. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数的解析式；（2）作出函数图像，并根据图像
4、写出函数的单调区间.19. 已知幂函数在上单调递增.（1）求的解析式；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.20. 设函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明.21. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克
5、时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？22. 已知二次函数满足（1）求函数的解析式；（2）若，求最小值，讨论关于的方程的解的个数.台州市“十校联盟”2021-2022学年高一上期中联考数学试题一单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据补集概念求解出，然后再根据并集概念求解出.【详解】因为，所以，又因为，所以，故选：D.2. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词并否定结论，即可得到原命题的否定.【详解】因为的否定为，的否定为，所以原
6、命题的否定为：.故选：C.【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，难度较易.注意全称命题的否定为特称命题.3. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解法，求得不等式解集对应的集合，结合是的真子集，即可求解.【详解】由不等式，解得，设为集合又由，解得，设为集合，则是的真子集，所以是充分不必要条件.故选：A.4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数定义域和对应关系，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断.【详解】对A：的定义域为，的定义域
7、为，定义域不同；对B：的定义域为，的定义域为，定义域不同；对C：的定义域为，的定义域为，定义域不同；对D：定义域都为，且，故两函数相等；故选：.【点睛】本题考查函数相等的判断，一般从定义域和对应关系入手考虑即可，同时要注意细节即可.5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D.点评：该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.6. 已知函数则（ ）A. 1B. 5C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据分段函数，先计算，再计算即可得答案.【详解
8、】由题知，所以.故选：C7. 定义在上的奇函数满足且在上单调递减，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可得在也单调递减，分别讨论和，利用单调性可求解.【详解】是奇函数，在上单调递减，在也单调递减，当时，不等式化为，即，解得，当时，不等式化为，即，解得，综上，不等式的解集是.故选：C.8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，已知函数，则下列选项中，正确的是（ ）A. 的最大值为1，没有最小值B. 的最小值为0，没有最大值C. 没有最大值，没有最小值D. 的最大值
9、为1，最小值为0【答案】B【解析】【分析】先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象判断最值情况即可.【详解】由高斯函数的定义可得：当时，则，当时，则，当时，则，当时，则，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，观察可得函数有最小值0，没有最大值.故选：B.二多选题（本大题共小题，每小题分，共分.每小题各有四个选项，有多个选项正确）9. 以下四个选项表述正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】利用元素集合的关系判断得错误，正确.【详解】，所以该选项错误；空集是任何集合的子集，所以该选项正确；由子集的定义得，所以该选项正确；是一个集合，它和之间不能用连接，所以该选
10、项错误.故选：BC10. 设x，y为实数，满足，则下列结论正确是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据x，y的范围及基本不等关系，对选项一一分析即可.【详解】对于A，即，故A正确；对于B，则，即，故B错误；对于C，即，故C正确；对于D，由题知，则，故D错误；故选：AC11. 已知，不等式的解集是，下列说法正确的是（ ）A. B. C. 关于的不等式的解集是D. 如果，则【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，结合二次函数图象与二次不等式的关系得，和是方程的实数根，进而得，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，的解集是，则，故A选项不正确；对于B选项，由题意
11、知是方程的实数根，故，故B选项正确；对于C选项，由题意知和是方程的实数根，则由韦达定理得，则不等式变为，即，解不等式得的取值范围为：，故C选项正确；对于D选项，如果，则，故，则，故D选项正确.故选：BCD.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，和是方程的实数根，进而讨论各选项即可得答案.12. （多选）设函数，给出下列四个命题正确的是（ ）A. 时，是奇函数B. ，时，方程只有一个实数根C. 方程至多有两个实数根D. 的图像关于对称【答案】ABD【解析】【分析】利用函数解析式结合奇偶性、单调性的定义逐一考查所给函数的性质即可求得最终结果【详解】解：对于A：当时，函数，函数函数为奇函数，故A正确
12、；对于B：，时，因为函数在上是增函数，且值域为方程只有一个实数根，故B正确；对于D：由A知函数为奇函数，图象关于原点对称的图象是由它的图象向上平移个单位而得，所以函数的图象关于对称，故D正确；对于C：当，时，方程有三个实根：1，和0因此C方程至多有两个实根错误故选：三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知集合，集合，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意，由列举法，即可得出结果.【详解】因为，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查列举法表示集合，属于基础题型.14. 函数定义域为_；【答案】【解析】分析】根据函数解析式有意义建立不等式组即可求解.【详解】因为，所以，解得，故
13、函数的定义域为.故答案为：15. 设，满足，若不等式恒成立，则实数的范围是_.【答案】【解析】【分析】先利用基本不等式求出的最小值，再解可求得答案【详解】解：因为，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以不等式恒成立，等价于不等式恒成立，由，得，解得，所以实数的范围是，故答案为：16. 已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则取值范围是_.【答案】【解析】【分析】首先判断函数是单调递增函数，再根据分段函数，列不等式求解的取值范围.【详解】由条件对任意的，都有成立，则函数单调递增，若函数是上的单调递增函数，需满足，解得：.所以取值范围是.故答案为：四.解答题：本小题共6小题，共70分.解答
14、应写出文字说明证明过程或演算步骤17. 已知集合，.（1）当时，求.（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用集合的交集运算即可求解；（2）由集合的基本运算得出集合的包含关系，进而求出实数m的取值范围.【小问1详解】解：时，；又；【小问2详解】解：由得所以解得：所以实数m的取值范围为：18. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数的解析式；（2）作出函数的图像，并根据图像写出函数的单调区间.【答案】（1）；（2）图见解析，和上单调递增，区间(-1，1)上单调递减.【解析】【分析】（1）先根据奇偶性求出时的解析式，注意奇函数性质的应用；（2）根据奇
15、函数的图象关于原点对称，结合二次函数的图象的特征做出所求的函数的图象，再根据函数图象读出函数的单调区间；【详解】解：（1）设，则，是奇函数，（2）图象如下所示：由图可知的单调区间有，在区间和上单调递增，在区间上单调递减19. 已知幂函数在上单调递增.（1）求的解析式；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义和的单调性，求出得值；（2）结合第一问求出的，利用函数的单调性，解决恒成立问题.【小问1详解】是幂函数，则，或-3，在上单调递增，则所以；【小问2详解】即，要使此不等式在上恒成立，只需使函数在上的最小值大于0即可.上单调递减，由，得.
16、因此满足条件的实数k的取值范围是.20. 设函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明.【答案】（1）， （2）增函数，证明过程见解析【解析】【分析】（1）由奇函数的定义及函数的定义域得出，再结合列方程即可求出和的值，进而求出函数的解析式；（2）利用函数单调性的定义进行证明即可.【小问1详解】解：函数是定义在上的奇函数，而，得，解得，此时满足，即函数为定义域上的奇函数；，【小问2详解】函数在上为增函数证明：任取，且，则因为，所以，又因为，所以，所以，即，所以函数在上为增函数.21. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造
17、成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1） （2）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元【解析】【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；（2）分段判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可【小问1详解】由已知【小问2详解】解：由（1
18、）得当时，；当时，当且仅当时，即时等号成立.因为，所以当时，.当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元.22. 已知二次函数满足（1）求函数的解析式；（2）若，求的最小值，讨论关于的方程的解的个数.【答案】（1） （2）；答案见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合代入法即可求出函数的解析式；（2）分类讨论二次函数对称轴与所给区间的关系即可求出对应的最小值；利用数形结合即可求解.【小问1详解】解：设因为：所以得：所以【小问2详解】解：，对称轴当，即时，在是单调递增的，当，即时当，即时，在是单调递减的，综上所述由知，画出函数图象，如下图所示由结合图象得：当时，方程无解当时，方程有4个解当或时，方程有2个解当时，有3个解【点睛】方法点睛：本题求解直线与曲线的交点个数，而曲线为已知的分段函数所表示，因此画出该分段函数的图象，利用数形结合即可清晰地求出不同情况下的交点个数.