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浙江省台州市“十校联盟”2021-2022学年高一上期中联考数学试卷(含答案解析)

1、台州市“十校联盟”2021-2022学年高一上期中联考数学试题一单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. 已知全集,则( )A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是( )A. B. C. D. 3. 设,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下列各组函数表示同一函数的是( )A. B. C. D. 5. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A. B. C. D. 6. 已知函数则( )A. 1B. 5C. D. 7. 定义在上的奇函数满足且在上单调递减,则不等式的解集是( )A. B. C. D. 8. 高斯是

2、德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,用他的名字命名了“高斯函数”.设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数.例如:,已知函数,则下列选项中,正确的是( )A. 的最大值为1,没有最小值B. 最小值为0,没有最大值C. 没有最大值,没有最小值D. 的最大值为1,最小值为0二多选题(本大题共小题,每小题分,共分.每小题各有四个选项,有多个选项正确)9. 以下四个选项表述正确的有( )A. B. C. D. 10. 设x,y为实数,满足,则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 11. 已知,不等式的解集是,下列说法正确的是( )A. B. C. 关于的不等式的解集是D. 如果,则12.

3、(多选)设函数,给出下列四个命题正确的是( )A. 时,是奇函数B ,时,方程只有一个实数根C. 方程至多有两个实数根D. 的图像关于对称三填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知集合,集合,则_.14. 函数定义域为_;15. 设,满足,若不等式恒成立,则实数的范围是_.16. 已知函数是上的函数,且满足对于任意的,都有成立,则取值范围是_.四.解答题:本小题共6小题,共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17. 已知集合,.(1)当时,求.(2)若,求实数m取值范围.18. 已知函数是定义在上的奇函数,且当时,.(1)求函数的解析式;(2)作出函数图像,并根据图像

4、写出函数的单调区间.19. 已知幂函数在上单调递增.(1)求的解析式;(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.20. 设函数是定义在上的奇函数,且.(1)求函数的解析式;(2)判断在上的单调性,并用单调性定义证明.21. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现:某珍稀水果树的单株产量(单位:千克)与施用肥料(单位:千克)满足如下关系:,肥料成本投入为元,其它成本投入(如培育管理施肥等人工费)元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克,且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为(单位:元).(1)求的函数关系式;(2)当施用肥料为多少千克

5、时,该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22. 已知二次函数满足(1)求函数的解析式;(2)若,求最小值,讨论关于的方程的解的个数.台州市“十校联盟”2021-2022学年高一上期中联考数学试题一单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. 已知全集,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据补集概念求解出,然后再根据并集概念求解出.【详解】因为,所以,又因为,所以,故选:D.2. 命题“”的否定是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据含一个量词的命题的否定方法:修改量词并否定结论,即可得到原命题的否定.【详解】因为的否定为,的否定为,所以原

6、命题的否定为:.故选:C.【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定,难度较易.注意全称命题的否定为特称命题.3. 设,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解法,求得不等式解集对应的集合,结合是的真子集,即可求解.【详解】由不等式,解得,设为集合又由,解得,设为集合,则是的真子集,所以是充分不必要条件.故选:A.4. 下列各组函数表示同一函数的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数定义域和对应关系,对每个选项进行逐一分析,即可容易判断.【详解】对A:的定义域为,的定义域

7、为,定义域不同;对B:的定义域为,的定义域为,定义域不同;对C:的定义域为,的定义域为,定义域不同;对D:定义域都为,且,故两函数相等;故选:.【点睛】本题考查函数相等的判断,一般从定义域和对应关系入手考虑即可,同时要注意细节即可.5. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】A是增函数,不是奇函数;B和C都不是定义域内的增函数,排除,只有D正确,因此选D.点评:该题主要考察函数的奇偶性和单调性,理解和掌握基本函数的性质是关键.6. 已知函数则( )A. 1B. 5C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据分段函数,先计算,再计算即可得答案.【详解

8、】由题知,所以.故选:C7. 定义在上的奇函数满足且在上单调递减,则不等式的解集是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可得在也单调递减,分别讨论和,利用单调性可求解.【详解】是奇函数,在上单调递减,在也单调递减,当时,不等式化为,即,解得,当时,不等式化为,即,解得,综上,不等式的解集是.故选:C.8. 高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,用他的名字命名了“高斯函数”.设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数.例如:,已知函数,则下列选项中,正确的是( )A. 的最大值为1,没有最小值B. 的最小值为0,没有最大值C. 没有最大值,没有最小值D. 的最大值

9、为1,最小值为0【答案】B【解析】【分析】先进行分段化简函数,并画函数图象,再结合图象判断最值情况即可.【详解】由高斯函数的定义可得:当时,则,当时,则,当时,则,当时,则,易见该函数具有周期性,绘制函数图象如图所示,观察可得函数有最小值0,没有最大值.故选:B.二多选题(本大题共小题,每小题分,共分.每小题各有四个选项,有多个选项正确)9. 以下四个选项表述正确的有( )A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】利用元素集合的关系判断得错误,正确.【详解】,所以该选项错误;空集是任何集合的子集,所以该选项正确;由子集的定义得,所以该选项正确;是一个集合,它和之间不能用连接,所以该选

10、项错误.故选:BC10. 设x,y为实数,满足,则下列结论正确是( )A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据x,y的范围及基本不等关系,对选项一一分析即可.【详解】对于A,即,故A正确;对于B,则,即,故B错误;对于C,即,故C正确;对于D,由题知,则,故D错误;故选:AC11. 已知,不等式的解集是,下列说法正确的是( )A. B. C. 关于的不等式的解集是D. 如果,则【答案】BCD【解析】【分析】根据题意,结合二次函数图象与二次不等式的关系得,和是方程的实数根,进而得,再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解:对于A选项,的解集是,则,故A选项不正确;对于B选项,由题意

11、知是方程的实数根,故,故B选项正确;对于C选项,由题意知和是方程的实数根,则由韦达定理得,则不等式变为,即,解不等式得的取值范围为:,故C选项正确;对于D选项,如果,则,故,则,故D选项正确.故选:BCD.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得,和是方程的实数根,进而讨论各选项即可得答案.12. (多选)设函数,给出下列四个命题正确的是( )A. 时,是奇函数B. ,时,方程只有一个实数根C. 方程至多有两个实数根D. 的图像关于对称【答案】ABD【解析】【分析】利用函数解析式结合奇偶性、单调性的定义逐一考查所给函数的性质即可求得最终结果【详解】解:对于A:当时,函数,函数函数为奇函数,故A正确

12、;对于B:,时,因为函数在上是增函数,且值域为方程只有一个实数根,故B正确;对于D:由A知函数为奇函数,图象关于原点对称的图象是由它的图象向上平移个单位而得,所以函数的图象关于对称,故D正确;对于C:当,时,方程有三个实根:1,和0因此C方程至多有两个实根错误故选:三填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知集合,集合,则_.【答案】【解析】【分析】根据题意,由列举法,即可得出结果.【详解】因为,所以.故答案为:.【点睛】本题主要考查列举法表示集合,属于基础题型.14. 函数定义域为_;【答案】【解析】分析】根据函数解析式有意义建立不等式组即可求解.【详解】因为,所以,解得,故

13、函数的定义域为.故答案为:15. 设,满足,若不等式恒成立,则实数的范围是_.【答案】【解析】【分析】先利用基本不等式求出的最小值,再解可求得答案【详解】解:因为,且,所以,当且仅当,即时取等号,所以不等式恒成立,等价于不等式恒成立,由,得,解得,所以实数的范围是,故答案为:16. 已知函数是上的函数,且满足对于任意的,都有成立,则取值范围是_.【答案】【解析】【分析】首先判断函数是单调递增函数,再根据分段函数,列不等式求解的取值范围.【详解】由条件对任意的,都有成立,则函数单调递增,若函数是上的单调递增函数,需满足,解得:.所以取值范围是.故答案为:四.解答题:本小题共6小题,共70分.解答

14、应写出文字说明证明过程或演算步骤17. 已知集合,.(1)当时,求.(2)若,求实数m的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用集合的交集运算即可求解;(2)由集合的基本运算得出集合的包含关系,进而求出实数m的取值范围.【小问1详解】解:时,;又;【小问2详解】解:由得所以解得:所以实数m的取值范围为:18. 已知函数是定义在上的奇函数,且当时,.(1)求函数的解析式;(2)作出函数的图像,并根据图像写出函数的单调区间.【答案】(1);(2)图见解析,和上单调递增,区间(-1,1)上单调递减.【解析】【分析】(1)先根据奇偶性求出时的解析式,注意奇函数性质的应用;(2)根据奇

15、函数的图象关于原点对称,结合二次函数的图象的特征做出所求的函数的图象,再根据函数图象读出函数的单调区间;【详解】解:(1)设,则,是奇函数,(2)图象如下所示:由图可知的单调区间有,在区间和上单调递增,在区间上单调递减19. 已知幂函数在上单调递增.(1)求的解析式;(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据幂函数的定义和的单调性,求出得值;(2)结合第一问求出的,利用函数的单调性,解决恒成立问题.【小问1详解】是幂函数,则,或-3,在上单调递增,则所以;【小问2详解】即,要使此不等式在上恒成立,只需使函数在上的最小值大于0即可.上单调递减,由,得.

16、因此满足条件的实数k的取值范围是.20. 设函数是定义在上的奇函数,且.(1)求函数的解析式;(2)判断在上的单调性,并用单调性定义证明.【答案】(1), (2)增函数,证明过程见解析【解析】【分析】(1)由奇函数的定义及函数的定义域得出,再结合列方程即可求出和的值,进而求出函数的解析式;(2)利用函数单调性的定义进行证明即可.【小问1详解】解:函数是定义在上的奇函数,而,得,解得,此时满足,即函数为定义域上的奇函数;,【小问2详解】函数在上为增函数证明:任取,且,则因为,所以,又因为,所以,所以,即,所以函数在上为增函数.21. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜的将该镇打造

17、成“生态水果特色小镇”.经调研发现:某珍稀水果树的单株产量(单位:千克)与施用肥料(单位:千克)满足如下关系:,肥料成本投入为元,其它成本投入(如培育管理施肥等人工费)元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克,且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为(单位:元).(1)求的函数关系式;(2)当施用肥料为多少千克时,该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?【答案】(1) (2)当施用肥料为4千克时,种植该果树获得的最大利润是480元【解析】【分析】(1)用销售额减去成本投入得出利润的解析式;(2)分段判断的单调性,及利用基本不等式求出的最大值即可【小问1详解】由已知【小问2详解】解:由(1

18、)得当时,;当时,当且仅当时,即时等号成立.因为,所以当时,.当施用肥料为4千克时,种植该果树获得的最大利润是480元.22. 已知二次函数满足(1)求函数的解析式;(2)若,求的最小值,讨论关于的方程的解的个数.【答案】(1) (2);答案见解析【解析】【分析】(1)利用待定系数法结合代入法即可求出函数的解析式;(2)分类讨论二次函数对称轴与所给区间的关系即可求出对应的最小值;利用数形结合即可求解.【小问1详解】解:设因为:所以得:所以【小问2详解】解:,对称轴当,即时,在是单调递增的,当,即时当,即时,在是单调递减的,综上所述由知,画出函数图象,如下图所示由结合图象得:当时,方程无解当时,方程有4个解当或时,方程有2个解当时,有3个解【点睛】方法点睛:本题求解直线与曲线的交点个数,而曲线为已知的分段函数所表示,因此画出该分段函数的图象,利用数形结合即可清晰地求出不同情况下的交点个数.