1、第十四章第十四章 整式的乘法与因式分解整式的乘法与因式分解 一、单选题一、单选题 1下列各式因式分解正确的是( ) Aa2+4ab+4b2=(a+4b)2 B2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2 C3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b) Da(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b) 2下列计算正确的是（ ） A2ab 2a 2b B23a 32a 66a C43x12x D(a m)(b n) ab mn 3下列计算正确的是（ ） A3332aaa B632aaa C236aa D23636aa 4设 a 是绝对值最小的有理数，b 是最大的负整数，c 是倒数等于自身的有理
2、数，则a bc 的值为 ( ) A2 B0 C0 或 2 D0 或-2 5下列运算结果正确的是（ ） Aa2+a4a6 Ba2a3a6 C （a2）3a6 Da8 a2a6 6下列分解因式正确的是（ ） A24(4)xxx x B2()xxyxx xy C2()()()x xyy yxxy D244(2)(2)xxxx 7已知 4x2-2（k+1）x+1 是一个完全平方式，则 k的值为（ ） A2 B 2 C1 D1 或-3 8计算（a+3） （a+1）的结果是（ ） Aa22a+3 Ba2+4a+3 Ca2+4a3 Da22a3 9下列运算正确的是（ ） A246xxx B246()xx C
3、3362xxx D33( 2 )6xx 10已知、为实数，且12a2b+44b，则20152016ab的值是（ ） A12 B12 C2 D2 二、填空题二、填空题 11计算20192020( 0.125)8=_. 12已知 x2+mx+16 能用完全平方公式因式分解，则 m的值为 _ 13现规定一种运算：xyxyxy，其中, x y为实数，则()xyyxy_ 14若 x=16，y=18，则代数式（2x+3y）2-（2x-3y）2的值是_ 15分解因式323aa=_ 16计算：201820195-252的结果是_. 17分解因式：2310 xx_ 三、解答题三、解答题 18因式分解： （1）3
4、2xxy （2）2212123axaxyay 19已知242xxpxq的展开式中不含2x项，且一次项的系数为 14，求常数pq、的值. 20阅读材料并解答问题：根据课本 P100，我们已经知道，“多项式乘以多项式”法则可以用平面几何图形的面积来表示，如图 1实际上还有一些代数等式也可以用这种形式来表示，例如：22223ababaabb就可以用图 2 中、等图形的面积来表示 （1） 根据图 1 反映的平面几何图形的面积之间的数量关系， 请用字母直接表示出“多项式乘以多项式”法则：abpq ； （2）请直接写出图 3 所表示的代数等式： ； （3）试画出一个几何图形，使它的面积能表示3abab，并
5、直接写出3abab计算结果 （请仿照图 2 中的图或图在几何图形上标出有关数量） 21矩形纸片的长和宽分别为a、b，在纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形 （1）请画出图形，并用含有a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）当13xab ，剩余部分的面积恰好等于剪去面积的 4 倍时，求纸片的长与宽 22我们在课堂上学习了运用提取公因式法、公式法等分解因式的方法，但单一运用这些方法分解某些多项式的因式时往往无法分解例如22691aabb，通过观察可知，多项式的前三项符合完全平方公式，通过变形后可以与第四项结合再运用平方差公式分解因式，解题过程如下：222691(3 )1(31)(31)
6、aabbababab ，我们把这种分解因式的方法叫做分组分解法利用这种分解因式的方法解答下列各题： (1)分解因式：2221xyx (2)若ABC三边, ,a b c满足2220abcacab，试判断ABC的形状，并说明理由 23已知43ab，求327ab的值. 答案第 4 页，共 10 页 参考答案：参考答案： 1D 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义：把一个多项式写成几个因式的积的形式进行判断即可 【详解】 a2+4ab+4b2=(a+2b)2，故选项 A 不正确； 2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2不是因式分解，B 不正确； 3a2-12b2=3(a+2b)(a-2b)，故选项
7、 C 不正确； a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)是因式分解，D 正确， 故选 D 【点睛】 本题考查的是因式分解的概念，把一个多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，在判断一个变形是否是因式分解时，看是否是积的形式即可 2C 【解析】 【分析】 利用完全平方公式展开得到结果，即可对 A 做出判断；利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可对 B做出判断；利用幂的乘方法则计算得到结果，即可对 C 做出判断；利用多项式乘多项式得到结果，即可对D 做出判断 【详解】 A.2ab 222aabb，该选项错误； B. 23a 32a56a，该选项错误； C. 43x12x，该选项正
8、确； D. am b nabbmanmn，该选项错误； 故选：C 【点睛】 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则、完全平方公式以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键 3C 【解析】 【分析】 直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方和积的乘方运算法则分别计算得出答案 答案第 5 页，共 10 页 【详解】 解：A、336aaa，故此选项错误； B、633aaa，故此选项错误； C、236aa，故此选项正确； D、23639aa，故此选项错误； 故选 C 【点睛】 此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方和积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 4C 【解析】 【分析】
9、由 a 是绝对值最小的有理数，b 为最大的负整数，c 是倒数等于自身的有理数，可分别得出 a、b、c 的值，代入计算可得结果 【详解】 解：a 是绝对值最小的有理数，b 是最大的负整数，c 是倒数等于自身的有理数， 可得 a=0，b=-1，c=1 或 c=-1， 所以 a-b+c=0-（-1）+1=0+1+1=2， 或者 a-b+c=0-（-1）-1=0+1+-1=0， 综上所述，a-b+c 的值是 0 或 2 故选 C 【点睛】 本题主要考查有理数的概念的理解及代数式求值，能正确判断有关有理数的概念是解题的关键 5D 【解析】 【分析】 根据整式的运算直接进行排除选项即可 【详解】 解：A、
10、a2+a4，无法合并，故此选项错误； B、a2a3a5，故此选项错误； C、 （a2）3a6，故此选项错误； D、a8 a2a6，正确； 故选：D 【点睛】 答案第 6 页，共 10 页 本题主要考查整式的运算，熟练掌握整式的运算是解题的关键 6C 【解析】 【详解】 【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案注意分解要彻底 【详解】A. 244xxx x ，故 A 选项错误； B. 21xxyxx xy，故 B 选项错误； C. 2x xyy yxxy ，故 C 选项正确； D. 244xx=（x-2）2，故 D 选项错误， 故选 C. 【点睛】 本题考查了提公因式法
11、， 公式法分解因式 注意因式分解的步骤： 先提公因式， 再用公式法分解 注意分解要彻底 7D 【解析】 【分析】 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 k的值 【详解】 解：4x2-2（k+1）x+1 是关于 x 的完全平方式， 2（k+1）= 4， 解得：k=1 或 k=-3， 故选：D 【点睛】 此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 8A 【解析】 【分析】 运用多项式乘多项式法则，直接计算即可 【详解】 解： （a+3） （a+1） a23a+a+3 a22a+3 故选：A 【点睛】 答案第 7 页，共 10 页 本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式
12、与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加 9A 【解析】 【分析】 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项进行判断即可 【详解】 A 选项246xxx，选项正确，故符合题意； B 选项248()xx，选项错误，故不符合题意； C 选项3332xxx，选项错误，故不符合题意； D 选项33( 2 )8xx，选项错误，故不符合题意 故选：A 【点睛】 本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项，属于基础题，熟练掌握这些计算公式和方法是解决本题的关键 10C 【解析】 【分析】 已知等式整理后，利用非负数的性
13、质求出与的值，利用同底数幂的乘法及积的乘方运算法则变形后，代入计算即可求出值 【详解】 已知等式整理得：12a2(2)b0， a12，b2， 即 ab1， 则原式2015()abb 2， 故选：C 【点睛】 本题考查了实数的非负性，同底数幂的乘法，积的乘方，活用实数的非负性，确定字母的值，逆用同底数幂的乘法，积的乘方，进行巧妙的算式变形，是解题的关键 11-8 【解析】 答案第 8 页，共 10 页 【分析】 先把原式改写成201920190.1258 8，然后逆用积的乘方法则计算即可. 【详解】 原式=201920190.1258 8=20190.125 8 8=-8. 故答案为-8. 【点
14、睛】 本题考查了积的乘方运算逆运算， 熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键.积的乘方等于各因数乘方的积，即mmmaba b（m为正整数）. 128 【解析】 【分析】 利用完全平方公式的结构特征判断，确定出 m的值即可得到答案 【详解】 解：要使得216xmx能用完全平方公式分解因式， 应满足22164xmxx， 224816xxx， 8m， 故答案为：8 【点睛】 此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法、完全平方公式是解本题的关键 13y2y 【解析】 【分析】 根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，列出算式，然后根据单项式乘多项式的法则计
15、算即可 【详解】 解：xy（yx）y， xyxy（yx）y（yx）y， y2y； 故答案为：y2y 【点睛】 本题考查了单项式乘多项式的运算和信息获取能力，读懂规定运算的运算方法并列出代数式是解题的关键 答案第 9 页，共 10 页 1412 【解析】 【分析】 根据平方差公式将原分式分解，转化为因式的积形式，再把 x、y 代入求值. 【详解】 原式=（2x+3y-2x+3y）(2x+3y+2x-3y)=6y 4x=24xy，代入 x、y 值，计算出得 12 . 【点睛】 本题考查了学生简便方法的应用，用平方差公式将代数式先化简再代值计算是解决此题的关键. 152)(3a a 【解析】 【分析
16、】 提取公因式 a2即可 【详解】 解：323aa， =2)(3a a， 故答案为：2)(3a a 【点睛】 本题考查了分解因式方法之一提取公因式，正确提取公因式是解决本题的关键 1652 【解析】 【分析】 逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案. 【详解】 201820195-252 =201820185-25252 = 20185-25252 =(5-4)201852 =5+2， 故答案为5+2. 【点睛】 本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键. 答案第 10 页，共 10 页 17(5)(2)xx 【解析】 【分析】 原式利用十字相乘法分解即
17、可 【详解】 原式=（x-2） （x+5） ， 故答案为： （x-2） （x+5） 【点睛】 此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键 18 （1）x xyxy； （2）232axy 【解析】 【分析】 （1）直接提取公因式 x，再利用平方差公式分解因式即可； （2）直接提取公因式 3a，再利用完全平方公式分解因式即可； 【详解】 解： （1）32xxy 22x xy x xyxy； （2）2212123axaxyay 22344axxyy 22322 2axx yy 232axy 【点睛】 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键
18、191p ，4q 【解析】 【分析】 根据多项式乘以多项式的运算法则展开化简，依题意，2x项的系数为 0，一次项系数为 14，列方程组求解即可 【详解】 242xxpxq 3224242pxpxpxqxqxq 答案第 11 页，共 10 页 32(4)(24 )2pxpq xpq xq 依题意，得： 402414pqpq 解得：14pq 1p ，4q 【点睛】 本题考查了整式的混合运算和多项式的定义，涉及的知识有：多项式乘以多项式，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则以及依据题意得到方程组是解本题的关键 20 （1）apaqbpbq； （2）22(2)(2)522ab abaabb； （3）见解析
19、，22343ababaabb 【解析】 【分析】 （1）根据图 1 反映的平面几何图形的面积之间的数量关系，即可表示abpq； （2）根据图 3 反映的平面几何图形的面积即可表示代数等式； （3）根据3abab可知，表示为长为3ab，宽为ab的矩形的面积，画图即可 【详解】 （1）abpqapaqbpbq， 故答案为：apaqbpbq； （2）由图可得：22(2)(2)522ab abaabb， 故答案为：22(2)(2)522ab abaabb； （3）3abab表示的图形如下所示： 22343ababaabb 【点睛】 本题考查多项式乘多项式的应用，掌握平面几何图形的面积表示多项式乘多项式
20、是解题的关键 21 （1）24abx； （2）纸片的长是2 462，宽是2 462 答案第 12 页，共 10 页 【解析】 【分析】 （1）根据剩余部分的面积等于矩形的面积减去四个小正方形的面积，即可解答； （2）由13xab ，可求出4ab ，进而求出222()216abaabb， 再根据剩余部分的面积恰好等于剪去面积的 4 倍，可得到180ab，然后求出222()2736abaabb，继而可得到4 46ab，联立，解方程组即可 【详解】 （1）如下图， 剩余部分的面积等于矩形的面积减去四个小正方形的面积，即24abx ； （2）13xab ， 4ab ， 即222()216abaabb
21、剩余部分的面积恰好等于剪去面积的 4 倍， 22244416abxxx， 2243163ab ，即180ab ， 222()2162180376ababab ， 222()2736abaabb ， 解得：4 46ab 或4 46ab （舍去） ， 联立得：4 464abab ，解得：2 4622 462ab ， 即纸片的长是2 462，宽是2 462 【点睛】 本题主要考查了用代数式表示矩形、正方形的面积，以及乘法公式的运用，解题的关键是熟记常见的乘法公式，并会灵活应用 22(1)(1)(1)xyxy (2)等腰三角形，见解析 【解析】 答案第 13 页，共 10 页 【分析】 （1）先分组，
22、再利用完全平方公式和平方差公式继续分解即可； （2）先把所给等式左边利用分组分解法得到()(2 )0ab ac，由于20ac，则0ab，即ab，然后根据等腰三角形的判定方法进行解题 (1) 解：原式222221(1)(1)(1)xxyxyxyxy； (2) ABC的为等腰三角形 理由：22220,220abcacabaabacbc， ()2 ()0,()(2 )0a abc abab ac， 20,0,acabab Q ABC是等腰三角形 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定、因式分解的应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键 23181 【解析】 【分析】 根据43ab，可得34ab，然后将27b化为33b，最后根据同底数幂的乘法法则求解 【详解】 解：43ab ， 34ab ， 则33273abab， 34ab， 原式41381 【点睛】 本题考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂乘法，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法法则