1、第二十三章第二十三章 旋转旋转 一、单选题一、单选题 12020 年 7 月 20 日，宁津县人民政府印发津县城市生活垃圾分类制度实施方案的通知，全面推行生活垃圾分类下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ） A30 B90 C120 D180 3有下列说法： 平行四边形具有四边形的所有性质： 平行四边形是中心对称图形： 平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成 4 个
2、面积相等的小三角形 其中正确说法的序号是（ ） A B C D 4 如图， 将ABC绕点A逆时针旋转55得到ADE， 若70E 且ADBC于点F， 则BAC的度数为 （ ） A65 B70 C75 D80 5如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将ABO绕点O按顺时针方向旋转 90 ，得到ABO ，则点B的坐标为（ ） A(2,1) B(1,2) C(2, 1) D(2,0) 6在下列面点烘焙模具中，其图案是中心对称图形的是（ ） A B C D 7将抛物线(2)(4)yxx先绕坐标原点O旋转180，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A21024yxx B21024yxx
3、C22yxx D22yxx 8若 P(x，3)与点 Q(4，y)关于原点对称，则 xy 的值是( ) A12 B12 C64 D64 9如图，G是正方形 ABCD内一点，以 GC 为边长，作正方形 GCEF，连接 BG和 DE，试用旋转的思想说明线段 BG与 DE 的关系（ ） ADEBG BDEBG CDEBG DDEBG 10下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 11如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转_度，会与原图案重合 12如图 1 所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图 2 所示方法玩拼图游戏，两两相
4、扣，相互间不留空隙，那么小明用 9 个这样的图形（图 1）拼出来的图形的总长度是_（结果用含a、b代数式表示）. 13以原点为中心，把3,4M逆时针旋转 90 得到点N，则点N的坐标为_ 14如图，将等边 AOB放在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(0,4)，点 B 在第一象限，将等边 AOB绕点 O顺时针旋转 180 得到 AOB，则点 B的坐标是_ 15如图，ABC是等边三角形，点 D为 BC边上一点，122BDDC，以点 D 为顶点作正方形 DEFG，且DEBC，连接 AE， AG若将正方形 DEFG 绕点 D旋转一周，当 AE 取最小值时，AG的长为_ 16 以水平数轴的原点O为圆心
5、过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆， 将Ox逆时针依次旋转30、60、90、L、330得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为5,0、4,300，则点C的坐标表示为_ 17 如图， 在正方形网格中， 格点ABC绕某点顺时针旋转角0180得到格点111ABC， 点A与点1A，点B与点1B，点C与点1C是对应点，则_度 三、解答题三、解答题 18如图，等腰 Rt ABC中，A45 ，ABC90 ，点 D 在 AC 上，将 ABD 绕点 B 沿顺时针方向旋转90 后，得到 CBE （1）求DCE 的度数； （2）若 AB4，CD3AD，求 DE 的长 19 ABC 在坐标
6、系中的位置如图 1 所示，其中每个小正方形的边长为 1 个单位长度 (1)按要求作图：画出 ABC关于原点 O的中心对称图形 A1B1C1； 画出将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 90 得到 AB2C2； (2)如图 2，已知AOB，OAOB，点 E在 OB 边上，四边形 AEBF 是矩形请你只用无刻度的直尺在图中画出AOB 的平分线（请保留画图痕迹） 20问题情境： 数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动， ABC 和 DEC 是两个全等的直角三角形纸片，其中ACBDCE90 ，BE30 ，ABDE4 解决问题： （1）如图 1，智慧小组将 DEC 绕点 C 顺时针旋
7、转，发现当点 D 恰好落在 AB 边上时，DEAC，请你帮他们证明这个结论； （2） 缜密小组在智慧小组的基础上继续探究， 当 DEC 绕点 C 继续旋转到如图 2 所示的位置时， 连接 AE、AD、BD，他们提出 SBDCSAEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由 21如图，已知：正方形ABCD，点E，F分别是BC，DC上的点，连接AE，AF，EF，且45EAF，求证：BEDFEF 22如图，在 ABC 中，CAB70 ，在同一平面内，将 ABC绕点 A旋转到 ABC的位置，使得 CCAB，求CCA 的度数 23如图，在平面直角坐标系中，线段 AB 的两个端点的坐标分别是 A（1，
8、4） ，B（3，1） （1）画出线段 AB 向右平移 4 个单位后的线段 A1B1； （2）画出线段 AB 绕原点 O旋转 180 后的线段 A2B2 答案第 8 页，共 14 页 参考答案：参考答案： 1B 【解析】 【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念去判断即可 【详解】 A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不满足题意； B、是轴对称图形也是中心对称图形，故满足题意； C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不满足题意； D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不满足题意； 故选：B 【点睛】 本题考查了轴对称图形和中心对称图形，关键是紧扣轴对称图形和中心对称图形的概念
9、2C 【解析】 【分析】 根据图形的对称性，用 360 除以 3 计算即可得解 【详解】 解：360 3=120 ， 旋转的角度是 120 的整数倍， 旋转的角度至少是 120 故选 C 【点睛】 本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是 120 的整数倍是解题的关键 3D 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质、中心对称图形的定义和全等三角形的判定进行逐一判定即可 【详解】 解：平行四边形是四边形的一种， 平行四边形具有四边形的所有性质，故正确： 平行四边形绕其对角线的交点旋转 180 度能够与自身重合， 平行四边形是中心对称图形，故正确： 四边形 ABCD是平行四边形， 答案第
10、9 页，共 14 页 AD=BC，CD=AB，ADC=CBA ADCCBA（SAS） 同理可以证明 ABDCDB 平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故正确； 四边形 ABCD是平行四边形， OA=OC，OD=OB， ADOABOSS，ADODOCSS，DOCBOCSS， =ADOABODOCBOCSSSS， 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成 4 个面积相等的小三角形，故正确 故选 D 【点睛】 本题主要考查了中心对称图形的定义，平行四边形的性质，全等三角形的判定，三角形中线把面积分成相同的两部分等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 4C 【解析】 【
11、分析】 由旋转的性质可得BAD=55 ，E=ACB=70 ，由直角三角形的性质可得DAC=20 ，即可求解 【详解】 解：将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 55 得 ADE， BAD=55 ，E=ACB=70 ， ADBC， DAC=20 ， BAC=BAD+DAC=75 故选 C 【点睛】 本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键 5A 【解析】 【分析】 答案第 10 页，共 14 页 根据网格结构作出旋转后的图形，然后根据平面直角坐标系写出点 B的坐标即可 【详解】 ABO如图所示，点 B（2，1） 故选 A 【点睛】 本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握网格结构，作出图形是解题的
12、关键 6D 【解析】 【分析】 根据中心对称图形的性质得出图形旋转 180 ，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可 【详解】 解：A.不是中心对称图形，不符合题意； B.不是中心对称图形，不符合题意； C.不是中心对称图形，不符合题意； D.是中心对称图形，符合题意； 故选：D 【点睛】 此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键 7C 【解析】 【分析】 先根据点绕坐标原点O旋转180的坐标变换规律、 待定系数法求出旋转后的抛物线的解析式， 再根据二次函数的图象平移的规律即可得 【详解】 将抛物线(2)(4)yxx的顶点式为2(3)
13、1yx 则其与 x轴的交点坐标为(2,0),(4,0)，顶点坐标为(3, 1) 点绕坐标原点O旋转180的坐标变换规律：横、纵坐标均变为相反数 答案第 11 页，共 14 页 则绕坐标原点O旋转180后，所得抛物线与 x轴的交点坐标为( 2,0),( 4,0)，顶点坐标为( 3,1) 设旋转后所得抛物线为2(3)1ya x 将点( 2,0)代入得：2( 23)10a ，解得1a 即旋转后所得抛物线为2(3)1yx 则再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为2(32)1yx 即22yxx 故选：C 【点睛】 本题考查了点绕坐标原点O旋转180的坐标变换规律、 待定系数法求二次函数解析式、 二
14、次函数的图象平移的规律，熟练掌握坐标旋转变换规律和二次函数的图象平移规律是解题关键 8A 【解析】 【分析】 直接利用关于原点对称点的性质得出 x，y 的值，进而得出答案 【详解】 P x,3与点Q 4,y关于原点对称， x4 ，y3 ， xy12 故选 A 【点睛】 此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键 9A 【解析】 【分析】 根据四边形 ABCD为正方形，得出 BC=DC，BCD=90 ，根据四边形 CEFG 为正方形，得出 GC=EC，GCE=90 ，再证BCG=DCE， BCG 与 DCE 具有可旋转的特征即可 【详解】 解：四边形 ABCD为正方形，
15、 BC=DC，BCD=90 ， 四边形 CEFG 为正方形， GC=EC，GCE=90 ， BCG+GCD=GCD+DCE=90 ， BCG=DCE， 答案第 12 页，共 14 页 BCG绕点 C 顺时针方向旋转 90 得到 DCE， BG=DE， 故选项 A 【点睛】 本题考查图形旋转特征，正方形性质，三角形全等条件，同角的余角性质，掌握图形旋转特征，正方形性质，三角形全等条件是解题关键 10B 【解析】 【分析】 根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可 【详解】 解：A 中的图形旋转 180 后不能与原图形重合， A 中的图象不是中心对称图形， 选项 A 不正确； B 中的图形旋转
16、180 后能与原图形重合， B 中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形， 选项 B 正确； C 中的图形旋转 180 后能与原图形重合， C 中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形， 选项 C 不正确； D 中的图形旋转 180 后不能与原图形重合， D 中的图形不是中心对称图形， 选项 D 不正确； 故选：B 【点睛】 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键 1160 【解析】 【分析】 根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点解答即可 【详解】 因为该图形被平分为 6 份， 则每一份中心的角度为360660 ， 即至少旋转 60 度
17、可与原图形重合， 答案第 13 页，共 14 页 故答案为：60 【点睛】 本题考查旋转角的定义及求法，熟记定义是解题关键 12a+8b 【解析】 【分析】 观察可知两个拼接时，总长度为 2a-(a-b)，三个拼接时，总长度为 3a-2(a-b)，由此可得用 9 个拼接时的总长度为 9a-8(a-b)，由此即可得. 【详解】 观察图形可知两个拼接时，总长度为 2a-(a-b)， 三个拼接时，总长度为 3a-2(a-b)， 四个拼接时，总长度为 4a-3(a-b)， ， 所以 9 个拼接时，总长度为 9a-8(a-b)=a+8b， 故答案为 a+8b. 【点睛】 本题考查了规律题图形的变化类，通
18、过推导得出总长度与个数间的规律是解题的关键. 134,3 【解析】 【分析】 建立平面直角坐标系，根据旋转的性质得出 N点坐标，由此即可得出答案 【详解】 解：如图： 由旋转的性质可得：M 点横坐标等于 N 点纵坐标的值， M 点纵坐标的值等于 N 点横坐标的绝对值， 又M（3，4） ， N（-4，3） ， 故答案为： （-4，3） 答案第 14 页，共 14 页 【点睛】 此题考查有关点的坐标旋转的性质 ，结合坐标轴和旋转的特点确定坐标即可 14( 2 3, 2) 【解析】 【分析】 先根据等边三角形的性质、点 A 坐标求出点 B 坐标，再根据点坐标关于原点对称规律：横坐标和纵坐标均变为相反
19、数，即可得出答案 【详解】 如图，作BHy轴于 H AOB为等边三角形，(0,4)A 12,602OHAHOABOA 32 3BHOH 点 B 坐标为(2 3,2) 等边AOB绕点 O 顺时针旋转180得到AOB 点B与点 B 关于原点 O 对称 点B的坐标是( 2 3, 2) 故答案为：( 2 3, 2) 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、图形旋转的性质等知识点，根据等边三角形的性质和点 A 坐标求出点 B 坐标是解题关键 158 【解析】 【分析】 过点 A作AMBC于 M，由已知得出4DC ，得出6BCBDDC，由等边三角形的性质得出6ABACBC，116322BMBC，得出1DMB
20、MBD，在Rt ABMV中，由勾股定理得出223 3AMABBM， 当正方形 DEFG绕点 D旋转到点 E、 A、 D 在同一条直线上时，ADAEDE， 答案第 15 页，共 14 页 即此时 AE取最小值，在Rt ADMV中，由勾股定理得出222 7ADDMAM，在Rt ADGV中，由勾股定理即可得出228ADAGDG 【详解】 过点 A作AMBC于 M， 122BDDC， 4DC ， 246BCBDDC， ABC是等边三角形， 6ABACBC， AMBC， 116322BMBC， 321DMBMBD ， 在Rt ABMV中，2222633 3AMABBM， 当正方形 DEFG绕点 D旋转到
21、点 E、A、D 在同一条直线上时，ADAEDE， 即此时 AE取最小值， 在Rt ADMV中，22221(3 3)2 7ADDMAM， 在Rt ADGV中，2222(2 7)68AGADDG； 故答案为 8 【点睛】 本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键 163,240 【解析】 【分析】 根据同心圆的个数以及每条射线所形成的角度，以及 A，B 点坐标特征找到规律，即可求得 C 点坐标 【详解】 解： 图中为 5 个同心圆， 且每条射线与 x 轴所形成的角度已知，A、B的坐标分别表示为5,0、4,300
22、， 答案第 16 页，共 14 页 根据点的特征，所以点C的坐标表示为3,240； 故答案为：3,240 【点睛】 本题考查坐标与旋转的规律性问题，熟练掌握旋转性质，并找到规律是解题的关键 1790 【解析】 【分析】 先连接1CC，1AA，作1CC，1AA的垂直平分线交于点E，连接AE，1AE，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可得到答案. 【详解】 如图，连接1CC，1AA，作1CC，1AA的垂直平分线交于点E，连接AE，1AE， 1CC，1AA的垂直平分线交于点E， 点E是旋转中心， 190AEA， 旋转角90. 故答案为90. 【点睛】 本题考查旋转，解题的关键是掌握旋转的性质. 1
23、8 （1）90 ； （2）2 5 【解析】 【分析】 （1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得DCE 的度数； （2）根据勾股定理求出 AC 的长，根据 CD3AD，可得 CD 和 AD 的长，根据旋转的性质可得 ADEC，再根据勾股定理即可得 DE 的长 【详解】 解： （1）ABC为等腰直角三角形， BADBCD45 ， 由旋转的性质可知BADBCE45 ， 答案第 17 页，共 14 页 DCEBCEBCA45 45 90 ； （2）BABC，ABC90 ， 224 2ACABBC， CD3AD， 2AD，3 2DC ， 由旋转的性质可知： ADEC2， 222 5DECEDC
24、【点睛】 本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质 19(1)作图见解析，作图见解析 (2)作图见解析 【解析】 【分析】 （1）如图 1，根据中心对称图形的性质可知1A、1B、1C的点坐标， 在坐标系中描点， 然后依次连接即可； 如图 1，根据旋转的性质，A为旋转中心，作图即可； （2）如图 2，根据矩形的性质，连接对角线，根据等腰三角形三线合一的性质，连接O与矩形对角线的交点即可 (1) 解：如图 1 中， A1B1C1即为所求作 如图 1 中， AB2C2即为所求作 (2) 解：如图 2，射线 OK 即为所求作 答案第 18 页，共 14 页 【点睛】 本题考
25、查了中心对称图形的性质与作图，旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握 20 （1）证明见解析； （2）正确，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）如图 1 中，根据旋转的性质可得 ACCD，然后求出 ACD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得ACD60 ，然后根据内错角相等，两直线平行进行解答； （2）如图 2 中，作 DMBC 于 M，ANEC 交 EC 的延长线于 N根据旋转的性质可得 BCCE，ACCD，再求出ACNDCM，然后利用“角角边”证明 ACN 和 DCM 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ANDM，然后利用等底等高的三角形的面积相等
26、证明 【详解】 解： （1）如图 1 中，DEC 绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上， ACCD， BAC90 B90 30 60 ， ACD 是等边三角形， ACD60 ， 又CDEBAC60 ， ACDCDE， DEAC； （2）结论正确， 理由如下：如图 2 中，作 DMBC 于 M，ANEC 交 EC 的延长线于 N 答案第 19 页，共 14 页 DEC 是由 ABC 绕点 C 旋转得到， BCCE，ACCD， ACNBCN90 ，DCMBCN180 90 90 ， ACNDCM， 在 ACN 和 DCM 中， ACNDCMCMDN90ACCD ， ACNDCM（AAS） ，
27、 ANDM， BDC 的面积和 AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等） ， 即 SBDCSAEC 【点睛】 本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质的综合应用，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键 21见解析 【解析】 【分析】 将 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 得到 ADG，根据旋转的性质可得 GD=BE，AG=AE，DAG=BAE，然后求出FAG=EAF， 再利用“边角边”证明 AEF 和 AGF 全等， 根据全等三角形对应边相等可得 EF=FG，即可得出结论 【详解】 如解图，将ABE绕点A逆时针旋转90至ADG的位
28、置，使AB与AD重合 答案第 20 页，共 14 页 AGAE，,DAGBAE DGBE 45EAF 904545GAFDAGDAFBAEDAFBADEAF， EAFGAF 在AGF和AEF中， ,AGAEGAFEAFAFAF， AGFAEF SAS EFGF GFDGDFBEDF， BEDFEF 【点睛】 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于利用旋转变换作出全等三角形 22CCA =70 【解析】 【分析】 先根据平行线的性质， 由CCAB得ACC=CAB=70 ， 再根据旋转的性质得 AC=AC， BAB=CAC，于是根据等腰三角形的性质有ACC=ACC=7
29、0 【详解】 CCAB， ACC=CAB=70 ， ABC绕点 A旋转到 ABC的位置， AC=AC，BAB=CAC， 在 ACC中，AC=AC ACC=CCA =70 ， 【点睛】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 答案第 21 页，共 14 页 旋转前、后的图形全等 23 （1）画图见解析， （2）画图见解析 【解析】 【分析】 （1）分别确定,A B向右平移 4 个单位后的对应点11,A B，再连接11AB即可； （2）分别确定,A B绕原点 O旋转 180 后的对应点22,A B，再连接22A B即可. 【详解】 解： （1）如图，线段11AB即为所求作的线段， （2）如图，线段22A B即为所求作的线段， 【点睛】 本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，掌握平移的性质与中心对称的性质是解题的关键.