1、第14课时 二次函数的应用百色中考命题规律与预测（二次函数）详见本书“第13课时”此部分表格.百色中考考题感知与试做二次函数的建模及应用（2016百色中考）正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点.（1）建立适当的平面直角坐标系，直接写出O，P，A三点坐标；求抛物线L的解析式；（ 2）求OAE与OCE面积之和的最大值.解：（1）如图，以点O为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系.（答案不唯一）正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，O（0，0），A（4，0），P（2，2）；设抛物线L的解析式为y
2、ax 2bxc.抛物线L经过O，P，A三点， ，解得0 c，0 16a 4b c2 4a 2b c， ) a 12，b 2，c 0， )抛物线L的解析式为y x22x；12（2）点E是正方形内的抛物线上的动点，设点E的坐标为（m， m22m）（0m4），12S OAE S OCE OAyE OCxEm 24m2m（m3） 29，12 12当m3时，OAE与OCE面积之和最大，最大值为9.核心考点解读二次函数的实际应用1.应用二次函数解决实际问题的解题方法（1）设：设定题目中的两个变量，一般是设x是自变量，y为x的函数；（2）列：根据题目中的等量关系，列出函数解析式；（3）定：根据数学意义和实际
3、意义确定自变量的取值范围；（4）解：利用相关性质解决问题；（5）答：检验后写出合适的答案.二次函数的综合应用2.二次函数的常见题型（1）抛物线型解决此类问题的关键是选择合理的位置建立直角坐标系.建立直角坐标系的原则：所建立的直角坐标系要使求出的二次函数解析式比较简单；使已知点所在的位置适当（如在x轴、y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数的解析式和之后的计算求解.（2）结合几何图形型解决此类问题一般是根据几何图形的性质，找自变量与该图形面积（或周长）之间的关系，用自变量表示出其他边的长，从而确定二次函数的解析式，再根据题意和二次函数的性质解题即可.（3）最值型列出二次函数的解析式，并根据自变
4、量的实际意义，确定自变量的取值范围；配方或利用公式求顶点坐标；检查顶点是否在自变量的取值范围内.若在，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若不在，则在自变量的取值范围的两端点处，根据函数增减性确定最值.【温馨提示】解决最值问题要注意两点：（1）设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（或最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）最值的求解，依据配方法或者最值公式，而不是解方程.1.如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m.若水面下降1 m，则水面宽度为（ A ）A.2 m B.2 m6 3C. m D. m6 32.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16
5、m，则所围成矩形AB CD的最大面积是（ C ）A.60 m2 B.63 m2C.64 m2 D.66 m23.（2018贺州中考）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20x30，且x为整数）出售，可卖出（30x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为 25 元.来源:Zxxk.Com4.（2018百色中考）抛物线yax 2bx的顶点M（ ，3）关于x轴的对称点为B，点A为抛物线与x轴的一个3交点，点A关于原点O的对称点为A；已知C为AB的中点，P为抛物线上一动点，作CDx轴，PEx轴 ，垂足分别为D，E.（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；（2）当0x2 时，是否存
6、在点P使以点C，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标3；若不存在，请说明理由.解：（1）由于抛物线的顶点为M（ ，3），则3解得3a 3b 3， b2a 3， ) a 1，b 23， )抛物线的解析式为yx 22 x.3当y0时，x0或2 ，A（2 ，0）；3 3（2）存在.点M，B关于x轴对称，点A，A关于原点O对称，A（2 ，0），B（ ，3）.3 3C为AB的中点，CD |yB| .12 32CDx轴，PEx轴，CDPE.要使四边形CDPE为平行四边形，则CDPE ，即y P ，32 32令x 22 x ，332x ，2362点P的坐标为 或 .(23 62 ，
7、32) (23 62 ， 32)典题精讲精练二次函数的实际应用例1 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 h/m 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论：足球距离地面的最大高度为20 m；足球飞行路线的对称轴是直线t ；足球被踢出9 92s时落地；足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m.其中正确结论的个数是（ B ）A.1 B.2 C.3 D.4【解析】由表格数据可推知，抛物线经过（0，0），
8、（9，0），可以假抛物线的解析式为hat（t9），把（1，8）代入解析式可得a值，从而可得解析式，再配方即可一一判断.由表格数据可设抛物线的解析式为hat（t9），把（1，8）代入解析式可得a1，ht 29t（t4.5） 220.25，足球距离地面的最大高度为20.25 m，故错误；抛物线的对称轴是直线t4.5，故正确；当t9时，h0，足球被踢出9 s时落地，故正确；当t1.5时，h11.25，故错误.【点评】本题考查二次函数的应用，求出抛物线的解析式是解题的关键.二次函数与几何的综合例 2 （2017百色中考）以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴，已知A（4，0），B
9、（0，2），M（0，4），P为折线BCD上一动点， 作PEy轴于点E，设点P的纵坐标为a.（1）求BC边所在直线的解析式；（2）设yMP 2OP 2，求y关于a的函数关系式；（3）当OPM为直角三角形时，求点P的坐标.【解析】（1）先确定出OA4，OB2，再利用菱形的性 质得出O C4，OD2，最 后用待定系数法即可确定出直线BC的解析式；1.（2018连云港中考）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式ht 224t1.则下列说法中正确的是（ D ）A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B.点火后24 s火箭落于地面C.点火后10 s的升空高度为
10、139 mD.火箭升空的最大高度为145 m2.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数是 55 时，这个旅行 社可以获得最大的营业额.3.（2015玉林中考）某超市对进货价为10元/kg的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（kg）与销售价x（元/kg）存在一次函数关系，如图所示.（1） 求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；来源:学#科#网（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？解：（1）设ykxb，由图象可知，解得20k
11、b 20，30k b 0， ) k 2，b 60， )y2x60；（2）每天销售利润p（x10）y（x10）（2x60）2x 280x600.a20，p有最大值，当x 20时，p 最大值 200.80 22故当销售单价为20元/kg时，每天销售利润最大，最大利润是200元.（2）分两种情况，先表示出点P的坐标，利用勾股定理即可得出函数关系式；（3）分两种情况，利用勾股定理的逆定理建立方程即可求出点P的坐标.【解答】解：（1）A（4，0），B（0，2），OA4，OB2.来源:学,科,网Z,X,X,K四边形ABCD是菱形，OCOA4，ODOB2，C（4，0），D（0，2）.设BC边所在直线的解析式
12、为ykx2 ，则4k20，k ，12BC边所在直线的解析式为y x2；12（2）由（1）知，C（4，0），D（0，2），直线CD的解析式为y x2.12由（1）知，直线BC的解析式为y x2.12当点P在BC边上时，点P的纵坐标为a，P（2a4，a）（2a0）.M（0，4），yMP 2OP 2（2a4） 2（a4） 2（2a4） 2a 210a 224a48；当点P在CD边上时，点P的纵坐标为a，P（42a，a）（0a2）.M（0，4），yMP 2OP 2（42a） 2（a4） 2（42a） 2a 210a 240a48.综上所述，y 10a2 24a 48（ 2 a 0） ，10a2 40a
13、 48（ 0 a 2） ； )（3）当点P与点C重合时，MOP90，此时点P的坐标为（4，0）；当OPM90时，点P在CD边上，此时OM 2MP 2OP 2，由（2）知，MP 2OP 210a 240a48（0a2）.M（0，4），OM 216，10a 240a4816，a2 （舍去）或a2 ，255 255P .(455， 2 255)综上所述，点P的坐标为（4，0）或 .(455， 2 255)4.（2015百色中考）抛物线yx 2bxc经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D，E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度.
14、（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A，B，C，D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时，B，D，E在同一条直线上？解：（1）抛物线yx 2bxc经过A（0，2），B（3，2）两点， 解得c 2，9 3b c 2， ) b 3，c 2， )抛物线的解析式为yx 23x2.令y0，则x 23x20，解得x 11，x 22，抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（2，0）；（2）存在.由已知条件得ABx轴，ABCD，当CDAB3时，以A，B，C，D四点围成的四边形是平行四边形.设D（m，0）.当C（1，0）时，CDm1，m13，m4，D（4，0）；当C（2，0）时，CDm2，m23，m5，D（5，0）.综上所述： 点D的坐标为（4，0）或（5，0）；（3）设t s时，B，D，E在同一条直线上，则OEt，OD2t，E（0，t），D（2t，0），来源:Zxxk.Com来源:Zxxk.Com设直线BD的解析式为ykxt，则3k t 2，2tk t 0， )k 或k （不合题意，舍去），12 23当k 时，t ，12 72点D，E运动 s时，B，D，E在同一条直线上.72请 完 成 精 练 本 第 23 25页 作 业