1、第二十五章第二十五章 概率初步概率初步 一、单选题一、单选题 1妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是（ ） A14 B13 C12 D34 2有一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其它完全相同小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、 黑色球的频率稳定在 15%和 45%， 则口袋中白色球的个数很可能是 （ ） A6 B16 C18 D24 3把标号为 1，2，3 的三个小球放入一个不透明的口袋中，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球的标号的和大于 3 的概率是（ ）
2、 A13 B49 C59 D23 4我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以闹息“等宽曲线”除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图 1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形图 2 是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图（ ） 有如下四个结论：勒洛三角形是中心对称图形；使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；图 2 中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为2；图 3 中，在ABC中随机以一点，则该点取自勒洛三角形DEF部分的概率为326，上述结论中，所有正确结论
3、的序号是( ) A B C D 5从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( ) （1）无理数都是无限小数； （2）因式分解211axaa xx； （3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm； （4）弧长是20 cm，面积是2240 cm的扇形的圆心角是120 A14 B12 C34 D1 6从3，0，1，2 这四个数中任取一个数作为一元二次方程2310axx 的系数a的值，能使该方程有实数根的概率是（ ） A34 B12 C23 D14 7已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有 2 个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回
4、袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在 0.4 附近，则n的值为（ ） A3 B4 C5 D6 8在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有 4 个黑球且摸到黑球的概率为13，那么口袋中球的总数为（ ） A12 个 B9 个 C6 个 D3 个 9下列判断正确的是（ ） A任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上 B天气预报说“明天的降水概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨 C“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D“a 是实数，|a|0”是不可能事件 10小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前 5 位
5、，后三位由 5，2，0 这三个数字组成，但具体顺序忘记了，她第一次就拨对电话的概率是（ ） A12 B13 C14 D16 二、填空题二、填空题 11从1,1,1,2,52中任取一数作为a，使抛物线2yaxbxc的开口向上的概率为_ 12布袋中有红、黄、蓝三个球，它们除颜色不同以外，其他都相同，从袋中随机取出一个球后再放回袋中，这样取出球的顺序依次是“红黄蓝”的概率是_ 13某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表： 每次试验粒数 50 100 300 400 600 1000 发芽频数 47 96 284 380 571 948 估计这批青稞发芽的概率是_ （结果保留到 0.01） 14一
6、个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，小球上分别写有数字 4、5、6，随机摸取 1 个小球然后放回，再随机摸取一个小球 （1）用画树状图或列表的方法表示出可能出现的所有结果； （1）求两次抽出数字之和为奇数的概率 15 社团课上， 同学们进行了“摸球游戏”： 在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球， 将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色， 再把它放回盒子中， 不断重复上述过程 整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是_（填“黑球”或“白球”） 16如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角
7、形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上） ，则击中黑色区域的概率是_ 17有 4 根细木棒，长度分别为 2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选 3 根，恰好能搭成一个三角形的概率是_ 三、解答题三、解答题 18如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，11234,A B BD D,分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口1A处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内用画树状图的方法，求圆球落入号槽内的概率 19一个不透明的布
8、袋里装有 3 个球，其中 2 个红球，1 个白球，它们除颜色外其余都相同 （1）求摸出 1 个球是白球的概率； （2）摸出 1 个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出 1 个球求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表） ； （3）现再将 n 个白球放入布袋，搅均后，使摸出 1 个球是白球的概率为57求 n 的值 20生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂加色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图，通过涂器色或不涂色可表示两个不同的信息 （1）用树状图或列表格的方法，求图可表示不同信息的
9、总个数： （图中标号1,2表示两个不同位置的小方格，下同） （2）图为22的网格图它可表示不同信息的总个数为 ； （3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n n的网格图来表示各人身份信息，若该校师生共492人，则n的最小值为 ； 21致敬，最美逆行者! 病毒虽无情，人间有大爱，2020 年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有 30 个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省抗击疫情，据国家卫健委的统计数据，截至 3 月 1 日，这 30 个省（区、市）累计派出医务人员总数多达 38478 人，其中派往湖北省
10、除武汉外的其他地区的医务人员总数为 7381 人 a全国 30 个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图 （数据分成 6 组： 100 x500， 500 x900， 900 x1300， 1300 x1700， 1700 x2100， 2100 x2500） ： b全国 30 个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数在 900 x1300 这一组的是： 919，997，1045，1068，1101，1159，1179，1194，1195，1262 根据以上信息回答问题： （1）这次支援湖北省抗疫中，全国 30 个省（区、市）派往武汉的医务人员总数 A不到 3 万人，B在 3 万
11、人到 3.5 万人之间，C超过 3.5 万人 （2）全国 30 个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是 ，其中医务人员人数超过1000 人的省（区、市）共有 个 （3）据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90 后”也有“00 后”，他们是青春的力量，时代的脊梁习近平总书记回信勉励北京大学援鄂医疗队全体“90 后”党员中指出：“在新冠肺炎疫情防控斗争中，你们青年人同在一线英勇奋战的广大疫情防控人员一道，不畏艰险、冲锋在前、舍生忘死，澎显了青春的蓬勃力量，交出了合格答卷” 小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90 后”医务人员的数据： C 市派出的 161
12、4 名医护人员中有 404 人是“90 后”； H 市派出的 338 名医护人员中有 103 人是“90 后”； B 市某医院派出的 148 名医护人员中有 83 人是“90 后” 小华还了解到除全国 30 个省（区、市）派出 38478 名医务人员外，军队派出了近四千名医务人员，合计约4.2 万人请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按 4.2 万人计）中，“90 后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到 0.1） 22如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形圆心角为 120 转动转盘，待转盘自动停止后，指针指
13、向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止） (1)转动转盘一次，求转出的数字是2 的概率； (2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率 23有个均匀的正十二面体的骰子，其中 1个面标有“1”，2 个面标有“2”，3 个面标有“3”，2 个面标有“4”，1 个面标有“5”，其余面标有“6”，将这个骰子掷出后： (1)掷出“6”朝上的可能性有多大？ (2)哪些数字朝上的可能性一样大？ (3)哪些数字朝上的可能性最大？ 参考答案参考答案 1A 【解
14、析】 【分析】 根据题意画出树形图，求出在这两个路口都直接通过的概率为14即可求解 【详解】 解：由题意画树形图得， 由树形图得共有 4 种等可能性，其中在这两个路口都直接通过的概率是 P=14 故选：A 【点睛】 本题考查了列表或画树形图求概率，理解题意，正确列表或画树形图得到所有等可能的结果是解题关键 2B 【解析】 【分析】 先由频率之和为 1 计算出白球的频率，再由数据总数 频率=频数计算白球的个数 【详解】 解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在 15%和 45%， 摸到白球的频率为 1-15%-45%=40%， 故口袋中白色球的个数可能是 40 40%=16 个 故选 B 【点睛】 本
15、题考查了利用频率求频数的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值 3D 【解析】 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和大于 3 的情况，再利用概率公式即可求得答案 【详解】 解：根据题意，画树状图如下： 共有 9 种等可能结果，其中两次摸出的小球标号的和大于 3 的有 6 种， 两次摸出的小球标号的和大于 3 的概率是23， 故选：D 【点睛】 此题考查了树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 4C 【解析】 【分析】 根据轴对称的性质，圆的性质，等边三角形的性质，概率的概念分别判断即可 【详解】 解：勒洛三
16、角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； 夹在平行线之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故正确； 设等边三角形 DEF 的边长为 2， 勒洛三角形的周长=60232180，圆的周长=2，故正确； 设等边三角形 DEF 的边长为a， 阴影部分的面积为：222260131333236022222aaaaaa ； ABC 的面积为：212332aaa， 概率为：22333263aa，故错误； 正确的选项有； 故选：C 【点睛】 本题考查了平行线的距离，等边三角形的性质，轴对称的性质，概率的定义，正确的理解题意是解题的关键
17、5C 【解析】 【分析】 分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解. 【详解】 解： （1）无理数都是无限小数，是真命题， （2）因式分解211axaa xx，是真命题， （3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm，是真命题， （4）设扇形半径为 r，圆心角为 n， 弧长是20 cm，则180n r=20，则3600nr ， 面积是2240 cm，则2360n r=240，则2nr 360 240， 则2360 240243600nrrnr，则 n=3600 24=150 ， 故扇形的圆心角是150，是假命题， 则随机抽取一个是真命题的概率是34， 故选 C. 【点睛】 本题考
18、查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假. 6B 【解析】 【分析】 根据一元二次方程根的判别式的意义得到=32+4a0且0a， 解得a94且0a， 然后根据概率公式求解 【详解】 解：当=32+4a0 且0a时，一元二次方程2310axx 有实数根， 所以 a94且0a， 从3，0，1，2 这 4 个数中任取一个数，满足条件的结果数有1,2， 所以所得的一元二次方程中有实数根的概率是21=42 故选：B 【点睛】 正确理解列举法求概率的条件以及一元二次方程根的判定方法是解决问题的关键用到的知识点为
19、：概率=所求情况数与总情况数之比 7A 【解析】 【分析】 根据题意可得20.42n，然后进行求解即可 【详解】 解：由题意得： 20.42n， 解得：3n， 经检验3n是原方程的解； 故选 A 【点睛】 本题主要考查分式方程的解法及概率，熟练掌握分式方程的解法及概率是解题的关键 8A 【解析】 【详解】 解：口袋中装有 4 个黑球且摸到黑球的概率为13， 口袋中球的总数为：413=12（个） 故选 A 9C 【解析】 【分析】 直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案 【详解】 A、任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上，错误； B、天气预报说“明天的降水概率
20、为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨，错误； C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确； D、“a 是实数，|a|0”是必然事件，故此选项错误 故选 C 【点睛】 此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键 10D 【解析】 【分析】 首先根据题意可得：可能的结果有：502，520，052，025，250，205；然后利用概率公式求解即可求得答案 【详解】 解：她只记得号码的前 5 位，后三位由 5，0，2，这三个数字组成， 可能的结果有：502，520，052，025，250，205； 他第一次就拨通电话的概率是：16 故选：D 【点睛】
21、 此题考查了列举法求概率的知识注意概率所求情况数与总情况数之比 1135 【解析】 【分析】 使抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向上的条件是 a0，据此从所列 5 个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得 【详解】 解： 在所列的 5 个数中任取一个数有 5 种等可能结果， 其中使抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向上的有 3 种结果， 使抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向上的概率为35， 故答案为：35. 【点睛】 本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键 12127 【解析】 【分析】 列举出所有情况，看球的顺序依次是“红黄蓝”的情况数占所有情况数的
22、多少即可 【详解】 解：画出树形图： 共有 27 种情况，球的顺序依次是“红黄蓝”的情况数有 1 种，所以概率为127 故答案为：127 【点睛】 考查用列树状图的方法解决概率问题；得到球的顺序依次是“红黄蓝”的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比 130.95 【解析】 【分析】 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可 【详解】 观察表格得到这批青稞发芽的频率稳定在94810000.95 附近， 则这批青稞发芽的概率的估计值是 0.95， 故答案为：0.95 【点睛】 此题考查了利用频率估计概率，从表格中的数据确定出这种油菜籽
23、发芽的频率是解本题的关键 1449 【解析】 【分析】 (1)此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；使用树状图分析时，一定要做到不重不漏 (2)根据概率的求法，找准两点：第一点，全部情况的总数；第二点，符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率 【详解】 (1)根据题意，画树状图如下： 数字之和为 8，9，10，9，10，11，10，11，12 由树状图可知，共有 9 种可能的结果 (2) 共有 9 种可能的结果，其中两次抽出数字之和为奇数(记为事件 A)的情况有 4 种, P(A)=49 故答案为：49 【点睛】 此题考查用列表法或树状图法求概率，概率的求法：如果一
24、个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果 那么事件 A 的概率 P (A) =mn 15白球 【解析】 【分析】 利用频率估计概率的知识，确定摸出黑球的概率，由此得到答案 【详解】 解：由图可知：摸出黑球的频率是 0.2， 根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为 0.2， 可以推断盒子里个数比较多的是白球， 故答案为：白球 【点睛】 此题考查利用频率估计概率，正确理解图象的意义是解题的关键 1613 【解析】 【分析】 根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值 【详解】 解：总面积为 9 个小等边形的面积，其中
25、阴影部分面积为 3 个小等边形的面积， 飞镖落在阴影部分的概率是3913， 故答案为：13 【点睛】 本题主要考查了概率求解问题，准确分析计算是解题的关键 1734 【解析】 【分析】 根据题意， 使用列举法可得从有 4 根细木棒中任取 3 根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案 【详解】 根据题意，从有 4 根细木棒中任取 3 根，有 2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共 4 种取法，而能搭成一个三角形的有 2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得 P=34. 故其概率为：34 【点睛】 本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注
26、意按一定顺序，做到不重不漏用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 1838 【解析】 【分析】 根据题意画出树状图，共有 8 种等可能的路径，其中落入号槽内的有 3 种路径，再由概率公式求解即可. 【详解】 画树状图得： 所以圆球下落过程中共有 8 种路径，其中落入号槽内的有 3 种，所以圆球落入号槽内的概率为38 . 【点睛】 树状图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法 19 （1）概率为13； （2）概率为49； （3）n=4 【解析】 【分析】 （1）直接利用列举法就可以得到答案； （2）利用画树
27、状图的方法可以得到两次摸出的球恰好颜色不同的概率； （3）利用概率计算公式列出等式，求解即可 【详解】 （1）一个不透明的布袋里装有 3 个球，其中 2 个红球，1 个白球， 摸出 1 个球是白球的概率为13； （2）画树状图得： 一共有 9 种可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有 4 种， 两次摸出的球恰好颜色不同的概率为49； （3）由题意得：1537nn， 解得：n=4 经检验，n=4 是所列方程的解，且符合题意， n=4 20 （1）见解析； （2）16； （3）3 【解析】 【分析】 （1）根据题意画出树状图即可求解； （2）根据题意画出树状图即可求解； （3）根据（1） （2）
28、得到规律即可求出 n 的值 【详解】 1解：画树状图如图所示： 图的网格可以表示不同信息的总数个数有4个 （2）画树状图如图所示： 图2 2 的网格图可以表示不同信息的总数个数有 16=24个， 故答案为：16 （3）依题意可得 3 3 网格图表示不同信息的总数个数有 29=512492， 故则n的最小值为 3， 故答案为：3 【点睛】 此题主要考查画树状图与找规律，解题的关键是根据题意画出树状图 21 （1）B； （2）1021 人，15； （3）90 后”大约有 1.2 万人 【解析】 【分析】 （1）根据题意列式计算即可得到正确的选项； （2）根据频数（率）分布直方图中的信息和中位数的定
29、义即可得到结论； （3）根据样本估计总体，可得到“90 后”大约有 1.2 万人 【详解】 解： （1）这次支援湖北省抗疫中，全国 30 个省（区、市）派往武汉的医务人员总数为 384787381=31097（人） ， 故选 B； （2）全国 30 个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是99710452210 1+=（人） ；其中医务人员人数超过 1000 人的省（区、市）共有 15（个） ； 故答案为：1021 人，15； （3）4041038342000118001614338148+椿+（人） ， 答：“90 后”大约有 1.2 万人 【点睛】 本题考查了频数（率）分布直方
30、图，样本估计总体，熟悉相关性质是解题的关键 22 （1）13； （2）59. 【解析】 【详解】 【分析】 （1）根据题意可求得 2 个“2”所占的扇形圆心角的度数，再利用概率公式进行计算即可得； （2）由题意可得转出“1”、“3”、“2”的概率相同，然后列表得到所有可能的情况，再找出符合条件的可能性，根据概率公式进行计算即可得. 【详解】 （1）由题意可知：“1”和“3”所占的扇形圆心角为 120 ， 所以 2 个“2”所占的扇形圆心角为 360 2 120 120 ， 转动转盘一次，求转出的数字是2 的概率为12036013； （2）由（1）可知，该转盘转出“1”、“3”、“2”的概率相同
31、，均为13，所有可能性如下表所示： 第一次 第二次 1 2 3 1 (1，1) (1，2) (1，3) 2 (2，1) (2，2) (2，3) 3 (3，1) (3，2) (3，3) 由上表可知：所有可能的结果共 9 种，其中数字之积为正数的的有 5 种，其概率为59. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 23(1)掷出“6”朝上的可能性有14；(2)3 与 6，4 与 2，1 与 5 朝上的可能性一样大；(3)3，6 朝上的面最多，因而可能性最大 【解析】 【分析】 （1）让“6”朝上的情况数除以总情况数即为所求的可能性； （2）看哪两个数字出现的情况数相同即可； （3）看哪个数字出现的情况最多即可 【详解】 （1）标有“6”，的面有 3 个，因而掷出“6”朝上的可能性有14； （2）3 与 6，4 与 2，1 与 5 朝上的可能性一样大； （3）3，6 朝上的面最多，因而可能性最大 【点睛】 用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等