1、 1.4.2 充要条件（同步练习）充要条件（同步练习） 一、选择题 1.已知 p：|a|b|，q：a2b2，则 p 是 q 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2.已知集合 A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3x2x20 的充要条件是( ) Ax1 Bx2 Cx1 或 x2 Dx1 且 x2 4.已知实数 a，b 满足 ab0，则“1a1b成立”是“ab 成立”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5.设全集为 U
2、，在下列条件中，ABA；(UA)B；UAUB； AUBU. 是 BA 的充要条件的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6.已知 a，bR，则“a0，b0 且 ab0”是“abba”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7.(多选)下列结论中正确的是( ) A“x24”是“x2”的必要不充分条件 B在ABC 中，“AB2AC2BC2”是“ABC 为直角三角形”的充要条件 C若 a，bR，则“a2b20”是“a，b 不全为 0”的充要条件 D“x 为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件 8.(多选)对任意实数 a，b，c，下列命题中真
3、命题是( ) A“ab”是“acbc”的充要条件 B“a5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件 C“ab”是“a2b2”的充分条件 D“a5”是“a3”的必要条件 9.(多选)已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件，q 是 r 的充分条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s的必要条件，下列命题正确的是( ) Ar 是 q 的充要条件 Bp 是 q 的充分条件而不是必要条件 Cr 是 q 的必要条件而不是充分条件 Dr 是 s 的充分条件而不是必要条件 10.(多选)有限集合 S 中元素的个数记作 card(S)设 A，B 都为有限集合，则下列命题中是真命题的有( ) AAB的充要条件是
4、 card(AB)card(A)card(B) BAB 的必要条件是 card(A)card(B) CA B 的必要条件是 card(A)card(B) DAB 的充要条件是 card(A)card(B) 二、填空题 11.集合 Ax|a2xa2，Bx|x2 或 x4，则 AB的充要条件是_ 12.设 nN*，一元二次方程 x24xn0 有整数根的充要条件是 n_ 13.设 p，q，r，s 是四个命题已知 p，q 都是 r 的充分条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么(1)s 是 q 的_条件；(2)r 是 q 的_条件；(3)p 是 q 的_条件(填“充分”“必要”或“充
5、要”) 三、解答题 14.判断下列命题中 p 是 q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件) (1)p：x1，q：x21； (2)p：ABC 有两个角相等，q：ABC 是正三角形； (3)若 a，bR，p：a2b20，q：ab0；(4)p：ab，q：ab1. 15.若集合 Ax|x2，Bx|xb，bR，试写出： (1)ABR 的一个充要条件；(2)ABR 的一个必要不充分条件； (3)ABR 的一个充分不必要条件 16.已知 a， b， cR， a0.判断“abc0”是“一元二次方程 ax2bxc0 有一根为1”的什么条件？并说明理由 17p：2m0,0n
6、1；q：关于 x 的方程 x2mxn0 有两个小于 1 的正根试分析 p是 q 的什么条件 参考答案： 一、选择题 1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.C 7.ACD 8.BD 9.AB 10.AB 二、填空题 11.答案：0a2 12.答案：3 或 4 13.答案：(1)充要 (2)充要 (3)充分 三、解答题 14.解：(1)因为 x1 能推出 x21，即 pq；但当 x21 时，如 x2，推不出 x1，即 qp， 所以 p 是 q 的充分不必要条件 (2)因为“ABC 有两个角相等”推不出“ABC 是正三角形”，所以 pq； 但“ABC 是正三角形”能推出“ABC 有两个角相等”
7、，即 qp，所以 p 是 q 的必要不充分条件 (3)若 a2b20，则 ab0，即 pq；若 ab0，则 a2b20，即 qp，故 pq， 所以 p 是 q 的充要条件 (4)当 a2，b1 时，21 推不出211，知 pq； 又当 a1，b2 时，121 推不出 12，知 qp，所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件 15.解：集合 Ax|x2，Bx|xb，bR， (1)若 ABR，则 b2，故 ABR 的一个充要条件是 b2. (2)由(1)知 ABR 的充要条件是 b2，所以 ABR 的一个必要不充分条件可以是 b3. (3)由(1)知 ABR 的充要条件是 b2，所以 ABR 的一
8、个充分不必要条件可以是 b1. 16.解：“abc0”是“一元二次方程 ax2bxc0 有一根为1”的充要条件理由如下： 当 a，b，cR，a0 时，若 abc0，则1 满足一元二次方程 ax2bxc0， 即一元二次方程 ax2bxc0 有一根为1，充分性成立； 若一元二次方程 ax2bxc0 有一根为1，则 abc0，必要性成立 综上所述，“abc0”是“一元二次方程 ax2bxc0 有一根为1”的充要条件 17.解：若关于 x 的方程 x2mxn0 有两个小于 1 的正根，设为 x1，x2，则 0 x11,0 x21，有 0 x1x22 且 0 x1x21. 根据根与系数的关系 x1x2m，x1x2n，得 0m2，0n1，即2m0,0n1，故有 qp. 反之，取 m13，n12，x213x120，194120，方程 x2mxn0 无实根，所以 pq. 综上所述，p 是 q 的必要不充分条件