1、第三十章 二次函数1.从实际问题中建立二次函数,理解二次函数的意义.2.会用描点法画二次函数的图像,通过观察图像了解二次函数的性质.3.会用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图像的顶点坐标,能说出图像的开口方向,画出函数图像的对称轴.4.知道给出不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.5.了解二次函数与一元二次方程的关系,会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.6.能利用二次函数的图像和性质解决简单的实际问题,进一步体会模型思想和函数思想,发展应用意识.1.经历从实际问题情景中建立二次函数模型的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的关系,
2、培养学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.2.经历探究二次函数的图像和性质的过程,了解从特殊到一般的认识过程,学会合情推理,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.3.通过探究二次函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.4.经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2.通过作图、类比、归纳等数学活动,逐步完善对二次函数的图像与性质的认识,积累与他人合作、探究、交流的经验,获得数学知
3、识与技能.3.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.4.经历用二次函数模型解决实际问题的过程,进一步体会建模思想,获得用数学方法解决实际问题的经验,培养学生的应用意识.5.通过探究活动体验数学活动充满着探索与创新,培养学生的创新精神和实践能力,感受数学的严谨性.二次函数是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一,学生在学习了一次函数、反比例函数的基础上,学习的又一类重要函数,是函数内容的继续和延伸,是对函数及其应用的深化和提高,也是学习其他初等函数的基础.二次函数是描述现实世界变量之间关系的
4、重要数学模型,二次函数的图像也是人们最为熟悉的曲线之一.同时,二次函数的相关性质也是解决最优化问题的理论基础,它与一元二次方程、三角形等知识综合在一起,是初中许多知识的总结.二次函数作为重要的数学模型,在解决有关实际问题中发挥了重要作用,通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题的能力.本章内容从实际情景入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,二次函数无论是表达式还是函数图像、性质以及应用都要比前面学习的正比例函数、一次函数和反比例函数复杂,所以数学思想和方法在本章体现得尤为重要,待定系数法、配方法得到进一步理解,函数思想、模型思想和数形结合思想得
5、到进一步提升.对于某些解决实际问题的安排,目的是加强二次函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生的数学应用意识.【重点】了解二次函数的意义;理解二次函数的图像及其性质;能根据二次函数的图像与性质解决有关实际问题;体会二次函数与一元二次方程的关系.【难点】理解二次函数的图像及其性质;理解二次函数与一元二次方程的关系;能应用二次函数的性质解决实际问题.1.本章是初中阶段函数内容的最后一章,也是代数部分的最后一章,因此在教学中要重视知识之间的联系,如对正比例函数、一次函数、反比例函数的表达式、图像及性质进行比较,体会二次函数和一元二次方程的关系等,提高学生综合运用知识解决数学问题
6、的能力.2.在教学过程中重视数学思想和方法的渗透,类比一次函数、反比例函数的探究方法,探究二次函数的概念、图像和性质.用配方法将二次函数表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,进而确定二次函数图像的顶点坐标和对称轴.让学生经历二次函数的图像、性质的形成过程,体会数形结合思想在数学中的应用.由不共线三点的坐标确定二次函数表达式,是对待定系数法的进一步认识.用二次函数解决实际问题,体会建模思想是将实际问题转化为数学问题的重要思想.3.在教学中重视二次函数在数学中的应用,常常体现在对数学知识的应用上,二次函数模型是非常重要的模型,应用十分广泛.因此,让学生亲身经历把实际问题抽象为数学问题的过程,进一
7、步体会建模思想,培养应用意识.4.在教学过程中,要努力营造学生自主探究、合作交流的环境,在探究二次函数的概念、图像、性质、应用及二次函数与一元二次方程的关系的过程中,给学生充足地操作、观察、思考、交流、归纳总结等数学活动的空间和时间,让他们亲身经历知识的形成过程,让学生通过思考感悟思想方法,体验成功的快乐.30.1二次函数1课时30.2二次函数的图像和性质3课时30.3由不共线三点的坐标确定二次函数1课时30.4二次函数的应用3课时30.5二次函数与一元二次方程的关系1课时回顾与反思1课时30.1二次函数1.经历建立二次函数模型的过程,体会二次函数的意义.2.会确定二次函数的二次项系数、一次项
8、系数和常数项.3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式.1.经历从实际问题中建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会数学与生活密切相关.2.通过进一步体验用数学方法描述变量之间的数量关系,提高学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1.通过对一些实际问题中两个变量之间关系的探究,进一步增强用数学方法解决实际问题的能力.2.让学生经历二次函数概念的形成过程,提高学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力.3.通过探索实际问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.【重点】理解
9、二次函数的意义;能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式.【难点】 经历建立二次函数模型的过程,体验用二次函数表示变量之间的关系.【教师准备】多媒体课件. 【学生准备】预习教材P2627.导入一:出示投篮图片:【导入语】如果一种函数的图像就如投出的篮球在空中划过的一条抛物线,我们一定会觉得很有趣.这种函数就是这章要学习的二次函数.设计意图通过欣赏图片,让学生初步感受二次函数的存在以及二次函数的图像是一条抛物线,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣.导入二:思考:1.什么是一次函数、反比例函数?2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么关系?y是
10、x的函数吗?这个函数是我们前面学习过的函数吗?3.我们探究一次函数、反比例函数时的思路是什么?设计意图通过复习一次函数、反比例函数的概念及探究思路,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识.过渡语我们学习一次函数、反比例函数时,在实际问题中抽象出函数的概念,然后研究它们的图像和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数二次函数.一起探究(课件展示)1.如图所示,用规格相同的正方形瓷砖铺成矩形地面,其中,横向瓷砖比纵向瓷砖每排多5块,矩形地面最外面一圈为灰色瓷砖,其余部分全为白色瓷砖.设纵向每排有n块瓷砖.思路一教师引导学生思考并回答:(1)设灰色瓷砖的总数为y块
11、.用含n的代数式表示y,则y=.y与n具有怎样的函数关系?(2)设白色瓷砖的总数为z块.用含n的代数式表示z,则z=.z是n的函数吗?说说理由.【师生活动】学生在教师的引导下,独立思考,小组内交流答案,学生代表回答问题后,教师点评并分析建立函数模型的关键是找等量关系.(板书)(1)y=4n+6,一次函数.(2)z=n2+n-6,z是n的函数. 思路二思考:(1)在实际问题中抽象出函数关系的关键是什么?(2)设灰色瓷砖的总数为y块,白色瓷砖的总数为z块,你能分别找到y与n,z与n之间的等量关系吗?(3)你能根据以上等量关系分别用含n的代数式表示y,z吗?(4)y与n、z与n之间是函数关系吗?如果
12、是,是什么函数关系?如果不是,请说明理由.【师生活动】学生独立思考后,小组讨论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示讨论结果,教师及时补充并归纳建立函数模型的关键是找等量关系.(板书)(3)y=4n+6,一次函数.(4)z=n2+n-6,z是n的函数. (课件展示)2.某企业今年第一季度的产值为80万元,预计产值的季平均增长率为x.思路一教师引导分析:(1)设第二季度的产值为y万元,则y=.设第三季度的产值为z万元,则z=.(2)y,z都是x的函数吗?它们的表达式有什么不同?【师生活动】学生在教师的引导下思考并回答问题,教师点评并板书.(板书)(1)y=80x+80,一次函数.(2)
13、z=80x2+160x+80,z是x的函数.思路二思考:(1)设第二季度的产值为y万元,第三季度的产值为z万元,你能用含x的代数式分别表示y,z吗?(2)y,z都分别是x的函数吗?【师生活动】学生思考后,小组内交流答案,学生板书,教师点评.(板书)(1)y=80x+80,一次函数.(2)z=80x2+160x+80,z是x的函数.设计意图通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出函数关系式,为引出二次函数的概念做好铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.形成概念观察下面两个函数:z=n2+n-6,z=80x2+160x+80,思考:(1)这两个函数与我们学过的函数有什么不同?
14、(2)这两个函数的自变量x的最高指数分别是多少?(3)你能说出函数表达式右边的二次项,一次项,常数项及二次项系数,一次项系数吗?(4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?【师生活动】学生独立思考,小组交流,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳二次函数的概念.(课件展示)一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a0),那么称y为x的二次函数.其中,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项.思考:(1)二次项系数能不能为0?一次项系数和常数项呢?为什么?(2)如何判断一个函数是不是二次函数?(3)二次函数的一般形式与一元二次方程
15、的一般形式有什么关系?(4)函数y=x2+2x+14,y=-54x2+154x+5,y=3x2,y=-12x2+6是不是二次函数?【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,学生回答问题后,师生共同归纳二次函数的特征:(课件展示)(1)函数表达式的右边是整式形式;(2)自变量的最高指数是2;(3)二次项系数不为0.设计意图通过老师设计的问题串,学生观察、思考、交流,类比已学过的函数,抽象出二次函数的本质特征,归纳出二次函数的一般形式,学生经历概念的形成过程,达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力.大家谈谈(课件展示)1.请分别指出上面出现的二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和
16、常数项.2.谈谈一次函数、反比例函数、二次函数有什么不同.【师生活动】学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表回答,其他学生补充,教师点评.设计意图通过思考回答问题,加深对二次函数有关概念的理解和掌握,与前面学过的函数的概念相比较,让学生学会总结前后知识的联系.例题讲解过渡语我们通过实例归纳总结了二次函数的定义,试试能不能解决下列问题.(课件展示)例1(补充)若y=(m+1)xm2-6m-5是二次函数,则m的值为.【师生活动】学生独立完成后,小组内交流答案,教师讲解分析过程并强调易错点.解:二次函数的自变量x的最高指数是2,m2-6m-5=2,由二次项系数不为0,得m+10,解得m=7.【易错
17、点】常忽略二次项系数不为0.做一做新学期开学,全班同学见面时相互亲切握手问候.设全班有m名同学,每两人之间都握手一次,用y表示全班同学握手的总次数.(1)请用含m的代数式表示y,说明y是m的二次函数,指出该函数中对应的a,b,c的值.(2)若全班有45名同学,则这样握手的总次数是多少?教师引导分析:全班共有人,每个人要与人握手一次,则每两人之间都握手一次共握手次,则y与m的函数关系式为.【师生活动】学生在教师的引导下思考,然后独立完成解答,小组内交流答案,学生展示结果后教师点评.设计意图通过例题加深对二次函数的有关概念的理解和掌握,同时体会在实际问题中建立函数模型,通过等量关系列函数表达式、简
18、单例题的分析与解答,既帮助学生对概念有了完整的认识,又让学生体验到成功的快乐,激发学生学习数学的兴趣.知识拓展1.根据实际问题列二次函数的表达式应注意:(1)正确辨别自变量与因变量;(2)确保找到正确的等量关系;(3)将列出的关系式整理成y=ax2+bx+c(a0)的形式;(4)确保自变量有意义.2.在二次函数y=ax2+bx+c中,必须注意限制条件a0.3.任何一个二次函数都可以化成y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a0)的形式,因此把y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a0)叫做二次函数的一般式.4.当a0时,y=ax2+bx+c才是二次函数.当a=0时,y=bx+c,若b0
19、,则它是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数.5.在y=ax2+bx+c(a0)中,x的取值范围是全体实数.6.二次函数y=ax2+bx+c (a0)与一元二次方程有着密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么就将其转化成一元二次方程了.1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a0)的函数叫做二次函数.2.二次函数满足的条件:(1)函数表达式的右边是整式形式;(2)自变量的最高指数是2;(3)二次项系数不为0.3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)中x取任意实数,但在实际问题中要有实际意义.4.根据实际问题写出函数表达式:认真分析题意,找到题目中的等量关系,根据
20、等量关系列函数表达式.1.下列各式中,y是x的二次函数的是()A.y=2x+1B.y=-2x+1C.y=x2+2D.y=ax(a0)解析:选项A,B,D中自变量x的最高指数都是1,是一次函数,只有选项C符合二次函数的定义.故选C.2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则它的二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是()A.1,-3,5B.1,3,5C.5,3,1D.5,-3,1解析:二次函数中二次项系数为5,一次项系数为-3,常数项为1.故选D.3.若y=(m+2)xm2-2 是二次函数,则m的值为.解析:根据二次函数的定义,得m2-2=2,且m+20,解得m=2.故填2.4.若物体运动的路程
21、s(米)与时间t(秒)之间的关系式为s=5t2+2t,则当t=4秒时,该物体所经过的路程为.解析:把t=4代入函数表达式,得s=516+24=88.故填88米.5.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.(1)正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数关系;(2)圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系;(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系;(4)某产品年产量为30台,计划今后每年比上一年的产量增长x%,试写出两年后的产量y(台)与x的函数关系式.解:(1)S=6a2,二次函数.(2)y=x22=x
22、24,二次函数. (3)y=10000+100001.98%x=10000+198x,一次函数.(4)y=30(1+x%)2,二次函数.30.1二次函数一起探究形成概念大家谈谈例题讲解做一做一、教材作业【必做题】教材第27页习题A组的1,2,3题.【选做题】教材第28页习题B组的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列函数是二次函数的是()A.y=2x2+9B.y=mx2+2x-1C.y=2x2+1x+1D.y=1x22.若y=(m2+m)xm2-2m-1-1是关于x的二次函数,则()A.m=-1或m=3B.m-1且m0C.m=-1D.m=33.二次函数y=2x2+2x-4的二次项系数与常数
23、项的和为()A.1B.-2C.7D.-64.若函数y=4x2+1的函数值为5,则自变量x的值应为()A.1B.-1C.1D.3225.二次函数y=2x(x-1)的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.6.如果函数y=(a-1)x2-ax+6是关于x的二次函数,那么a的取值范围是.7.菱形的两条对角线长度的和为26 cm,则菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式为.8.若 y=(m+1)xm2+1-2x+3 是y关于x的二次函数,求m的值.9.在如图所示的一张长、宽分别为 50 cm 和 30 cm 的矩形铁皮的四个角上,各剪取一个大小相同的小正方形,用剩余的部分制作一个
24、无盖的长方体箱子,小正方形的边长为 x cm,长方体铁皮箱的底面积为 y cm2.(1) 求 y 与 x 之间的函数表达式;(2) 写出自变量 x 的取值范围; (3)当 x=5 cm时,求铁皮箱的底面积.【能力提升】10.下列函数关系中,可以看成二次函数y=ax2+bx+c(a0)模型的是()A.在一定距离内,汽车行驶的速度与行使的时间的关系B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系C.矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系D.圆的周长与半径之间的关系11.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现: 这种商品的销售量m(件)与每件商品的销售价x(元)满足一
25、次函数关系m=162-3x,试写出商场销售这种商品的日销售利润y(元)与每件商品的销售价x(元)之间的函数关系式,y是x的二次函数吗?【拓展探究】12.如图所示,用同样规格的正方形白色瓷砖铺设矩形形状的地面, 请观察下列图形并解答有关问题:(1)在第n个图形中,每一横行共有块瓷砖,每一竖列共有块瓷砖(均用含n的代数式表示);(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与(1)中 的n的函数关系式;(3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求n的值.【答案与解析】1.A(解析:B中的函数当m=0时不是二次函数;C,D中的函数表达式的右边不是整式的形式,所以不是二次函数.故选
26、A.)2.D(解析:由题意,得m2-2m-1=2且m2+m0,解得m=3.故选D.)3.B(解析:二次项系数为2,常数项为-4,2+(-4)=-2.故选B.)4.C(解析:由题意有4x2+1=5,解得x=1.故选C.)5.2-20(解析:化简可得y=2x2-2x,所以二次项系数为2,一次项系数为-2,常数项为0.)6.a1(解析:因为二次函数中二次项系数不为0,所以a-10,即a1.)7.S=-12x2+13x(解析:根据题意可得菱形的另一条对角线的长为26-x,由菱形的面积公式可得S=12x(26-x)=-12x2+13x.)8.解: y=(m+1)xm2+1-2x+3 是y关于x的二次函数
27、,m+10且m2+1=2,m=1.9.解:(1)根据题意,有y=(50-2x)(30-2x)=4x2-160x+1500.(2)根据实际意义2x30,即x0,所以自变量的取值范围是0x0)向上y轴原点(0,0)当x0时,y随x的增大而增大有最低点(0,0).当x=0时,y最小=0y=ax2(a0)向下y轴原点(0,0)当x0时,y随x的增大而减小有最高点(0,0).当x=0时,y最大=0思路二对比函数y=x2与y=-x2,y=2x2与y=-2x2的图像,就二次函数y=ax2回答以下问题:(1)你能描述图像的形状吗? (2)图像与x轴有公共点吗?如果有公共点,公共点的坐标是什么?(3)图像是不是
28、轴对称图形?如果是,那么它的对称轴是哪条直线?(4)图像的开口方向和它的最高(或最低)点与a的符号具有怎样的关系?(5)根据图像,说明y的值随x的值增大而变化的情况.【师生活动】先由学生独立思考,再小组内交流,教师提示学生可以通过表格和图像两个方面思考解决问题,交流中教师及时帮助有困难的学生,小组代表展示后,教师归纳有关概念及性质.(课件展示)同思路一.注意为方便起见,我们把y轴记为直线x=0,把过点(a,0)且垂直于x轴的直线记为直线x=a;把x轴记为直线y=0,把过点(0,b)且垂直于y轴的直线记为直线y=b.二次函数y=ax2也称为抛物线y=ax2.设计意图将探究函数的性质设计成开放性探
29、究(思路一)或问题串的形式(思路二),使学生体会从特殊到一般的研究方法,领悟数形结合思想在探究函数图像中的应用,培养学生归纳总结能力,提高分析问题的能力.知识拓展1.画函数图像时,一般情况是选点越多,图像越精确,但也要具体问题具体分析.2.抛物线是向两方无限延伸的.3.由于二次函数y=ax2的图像是一条抛物线,故也称抛物线y=ax2.4.抛物线y=ax2中隐含着一个重要的条件,即a0,如抛物线y=(m-1)x2中m1.5.抛物线y=ax2中的系数a决定抛物线的开口方向和大小,当|a|越大时,抛物线的开口越小;当|a|越小时,抛物线的开口越大.二次函数y=ax2的图像是一条抛物线,它的性质可以从开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值、增减性等方面进行分类总结(如下表).表达式开口方向对称轴顶点坐标y随x的变化情况最大(最小)值y=ax2(a0)向上y轴原点(0,0)当x0时,y随