1、 广东省省卷五年（广东省省卷五年（2018-2022）中考真题分类汇编：解答题提升题知识点）中考真题分类汇编：解答题提升题知识点 一反比例函数综合题（共一反比例函数综合题（共 1 小题）小题） 1 （2020广东）如图，点 B 是反比例函数 y（x0）图象上一点，过点 B 分别向坐标轴作垂线，垂足为 A，C反比例函数 y（x0）的图象经过 OB 的中点 M，与 AB，BC 分别相交于点 D，E连接DE 并延长交 x 轴于点 F，点 G 与点 O 关于点 C 对称，连接 BF，BG （1）填空：k ； （2）求BDF 的面积； （3）求证：四边形 BDFG 为平行四边形 二二次函数综合题（共二二
2、次函数综合题（共 5 小题）小题） 2 （2022广东）如图，抛物线 yx2+bx+c（b，c 是常数）的顶点为 C，与 x 轴交于 A，B 两点，A（1，0） ，AB4，点 P 为线段 AB 上的动点，过 P 作 PQBC 交 AC 于点 Q （1）求该抛物线的解析式； （2）求CPQ 面积的最大值，并求此时 P 点坐标 3 （2021广州）已知抛物线 yx2（m+1）x+2m+3 （1）当 m0 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上； （2）该抛物线的顶点随着 m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标； （3）已知点 E（1，1） 、F（3，7） ，若该抛物线与线段
3、EF 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围 4 （2020广东）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，点 A，B 分别位于原点的左、右两侧，BO3AO3，过点 B 的直线与 y 轴正半轴和抛物线的交点分别为 C，D，BCCD （1）求 b，c 的值； （2）求直线 BD 的函数解析式； （3）点 P 在抛物线的对称轴上且在 x 轴下方，点 Q 在射线 BA 上当ABD 与BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标 5 （2019广东）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+x与 x 轴交于点 A、B（点 A在点 B 右侧） ，点 D 为抛物线的
4、顶点，点 C 在 y 轴的正半轴上，CD 交 x 轴于点 F，CAD 绕点 C 顺时针旋转得到CFE，点 A 恰好旋转到点 F，连接 BE （1）求点 A、B、D 的坐标； （2）求证：四边形 BFCE 是平行四边形； （3）如图 2，过顶点 D 作 DD1x 轴于点 D1，点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 PMx 轴，点 M 为垂足，使得PAM 与DD1A 相似（不含全等） 求出一个满足以上条件的点 P 的横坐标； 直接回答这样的点 P 共有几个？ 6 （2018广东）如图，已知顶点为 C（0，3）的抛物线 yax2+b（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，直线yx+m 过顶点 C 和
5、点 B （1）求 m 的值； （2）求函数 yax2+b（a0）的解析式； （3）抛物线上是否存在点 M，使得MCB15？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 三四边形综合题（共三四边形综合题（共 1 小题）小题） 7 （2021广州）如图，在菱形 ABCD 中，DAB60，AB2，点 E 为边 AB 上一个动点，延长 BA 到点F，使 AFAE，且 CF、DE 相交于点 G （1）当点 E 运动到 AB 中点时，证明：四边形 DFEC 是平行四边形； （2）当 CG2 时，求 AE 的长； （3）当点 E 从点 A 开始向右运动到点 B 时，求点 G 运动路径的长度 四圆的综合题
6、（共四圆的综合题（共 3 小题）小题） 8 （2021广州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：yx+4 分别与 x 轴，y 轴相交于 A、B 两点，点 P（x，y）为直线 l 在第二象限的点 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）设PAO 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （3）作PAO 的外接圆C，延长 PC 交C 于点 Q，当POQ 的面积最小时，求C 的半径 9 （2018广东）如图，四边形 ABCD 中，ABADCD，以 AB 为直径的O 经过点 C，连接 AC、OD 交于点 E （1）证明：ODBC； （2）若 tanABC2，证明：
7、DA 与O 相切； （3）在（2）条件下，连接 BD 交O 于点 F，连接 EF，若 BC1，求 EF 的长 10 （2019广东）如图 1，在ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，过点 C 作BCDACB 交O于点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，延长 DC 至点 F，使 CFAC，连接 AF （1）求证：EDEC； （2）求证：AF 是O 的切线； （3）如图 2，若点 G 是ACD 的内心，BCBE25，求 BG 的长 五几何变换综合题（共五几何变换综合题（共 1 小题）小题） 11 （2018广东）已知 RtOAB，OAB90，ABO30，斜边 OB4，将 RtOAB 绕点
8、 O 顺时针旋转 60，如图 1，连接 BC （1）填空：OBC ； （2）如图 1，连接 AC，作 OPAC，垂足为 P，求 OP 的长度； （3）如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在OCB 边上运动，M 沿 OCB 路径匀速运动，N 沿 OBC 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒，点 N 的运动速度为1 单位/秒，设运动时间为 x 秒，OMN 的面积为 y，求当 x 为何值时 y 取得最大值？最大值为多少？ 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一反比例函数综合题（共一反比例函数综合题（共 1 小题）小题） 1 （2020广东）如图，点
9、B 是反比例函数 y（x0）图象上一点，过点 B 分别向坐标轴作垂线，垂足为 A，C反比例函数 y（x0）的图象经过 OB 的中点 M，与 AB，BC 分别相交于点 D，E连接DE 并延长交 x 轴于点 F，点 G 与点 O 关于点 C 对称，连接 BF，BG （1）填空：k 2 ； （2）求BDF 的面积； （3）求证：四边形 BDFG 为平行四边形 【解答】解： （1）设点 B（s，t） ，st8，则点 M（s，t） ， 则 kstst2， 故答案为 2； （2）连接 OD， 则BDF 的面积OBD 的面积SBOASOAD823； （3）设点 D（m，） ，则点 B（4m，） ， 点 G
10、与点 O 关于点 C 对称，故点 G（8m，0） ， 则点 E（4m，） ， 设直线 DE 的表达式为：ypx+n，将点 D、E 的坐标代入上式得并解得， 直线 DE 的表达式为：y，令 y0，则 x5m，故点 F（5m，0） ， 故 FG8m5m3m，而 BD4mm3mFG， 又FGBD， 故四边形 BDFG 为平行四边形 二二次函数综合题（共二二次函数综合题（共 5 小题）小题） 2 （2022广东）如图，抛物线 yx2+bx+c（b，c 是常数）的顶点为 C，与 x 轴交于 A，B 两点，A（1，0） ，AB4，点 P 为线段 AB 上的动点，过 P 作 PQBC 交 AC 于点 Q （
11、1）求该抛物线的解析式； （2）求CPQ 面积的最大值，并求此时 P 点坐标 【解答】 （1）抛物线 yx2+bx+c（b，c 是常数）的顶点为 C，与 x 轴交于 A，B 两点，A（1，0） ，AB4， B（3，0） ， ， 解得， 抛物线的解析式为 yx2+2x3； （2）过 Q 作 QEx 轴于 E，过 C 作 CFx 轴于 F， 设 P（m，0） ，则 PA1m， yx2+2x3（x+1）24， C（1，4） ， OB3 AB4， PQBC， PQABCA， ，即， QE1m， SCPQSPCASPQA PACFPAQE （1m）4（1m） （1m） （m+1）2+2， 3m1， 当
12、m1 时 SCPQ有最大值 2， CPQ 面积的最大值为 2，此时 P 点坐标为（1，0） 3 （2021广州）已知抛物线 yx2（m+1）x+2m+3 （1）当 m0 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上； （2）该抛物线的顶点随着 m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标； （3）已知点 E（1，1） 、F（3，7） ，若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围 【解答】解： （1）当 m0 时，抛物线为 yx2x+3， 将 x2 代入得 y42+35， 点（2，4）不在抛物线上； （2）抛物线 yx2（m+1）x+2m+3 的顶点为（，）
13、， 化简得（，） ， 顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大， 而（m3）2+5， m3 时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处， 此时该抛物线解析式为 yx24x+9，顶点坐标为： （2，5） ； （3）设直线 EF 解析式为 ykx+b，将 E（1，1） 、F（3，7）代入得： ，解得， 直线 EF 的解析式为 y2x+1， 由得：或， 直线 y2x+1 与抛物线 yx2（m+1）x+2m+3 的交点为： （2，5）和（m+1，2m+3） ， 而（2，5）在线段 EF 上， 若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段 EF 上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合
14、， m+11 或 m+13 或 m+12（此时 2m+35） ， 此时抛物线顶点横坐标 x顶点或 x顶点或 x顶点1 4 （2020广东）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，点 A，B 分别位于原点的左、右两侧，BO3AO3，过点 B 的直线与 y 轴正半轴和抛物线的交点分别为 C，D，BCCD （1）求 b，c 的值； （2）求直线 BD 的函数解析式； （3）点 P 在抛物线的对称轴上且在 x 轴下方，点 Q 在射线 BA 上当ABD 与BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标 【解答】解： （1）BO3AO3， 点 B（3，0） ，点 A（1，0）
15、 ， 抛物线解析式为：y（x+1） （x3）x2x， b，c； （2）如图 1，过点 D 作 DEAB 于 E， CODE， ， BCCD，BO3， ， OE， 点 D 横坐标为， 点 D 坐标为（，+1） ， 设直线 BD 的函数解析式为：ykx+m， 由题意可得：， 解得：， 直线 BD 的函数解析式为 yx+； （3）点 B（3，0） ，点 A（1，0） ，点 D（，+1） ， AB4，AD2，BD2+2，对称轴为直线 x1， 直线 BD：yx+与 y 轴交于点 C， 点 C（0，） ， OC， tanCBO， CBO30， 如图 2，过点 A 作 AKBD 于 K， AKAB2， DK
16、2， DKAK， ADB45， 如图，设对称轴与 x 轴的交点为 N，即点 N（1，0） ， 若CBOPBO30， BNPN2，BP2PN， PN，BP， 当BADBPQ， ， BQ2+， 点 Q（1，0） ； 当BADBQP， ， BQ4， 点 Q（1+，0） ； 若PBOADB45， BNPN2，BPBN2， 当DABBPQ， ， ， BQ2+2 点 Q（12，0） ； 当BADPQB， ， BQ22， 点 Q（52，0） ； 综上所述： 满足条件的点 Q 的坐标为 （1， 0） 或 （1+， 0） 或 （12， 0） 或 （52，0） 5 （2019广东）如图 1，在平面直角坐标系中，抛
17、物线 yx2+x与 x 轴交于点 A、B（点 A在点 B 右侧） ，点 D 为抛物线的顶点，点 C 在 y 轴的正半轴上，CD 交 x 轴于点 F，CAD 绕点 C 顺时针旋转得到CFE，点 A 恰好旋转到点 F，连接 BE （1）求点 A、B、D 的坐标； （2）求证：四边形 BFCE 是平行四边形； （3）如图 2，过顶点 D 作 DD1x 轴于点 D1，点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 PMx 轴，点 M 为垂足，使得PAM 与DD1A 相似（不含全等） 求出一个满足以上条件的点 P 的横坐标； 直接回答这样的点 P 共有几个？ 【解答】解： （1）令x2+x0， 解得 x11，x
18、27 A（1，0） ，B（7，0） 由 yx2+x（x+3）22得，D（3，2） ； （2）证明：DD1x 轴于点 D1， COFDD1F90， D1FDCFO， DD1FCOF， ， D（3，2） ， D1D2，OD13， ACCF，COAF OFOA1 D1FD1OOF312， ， OC， CACFFA2， ACF 是等边三角形， AFCACF， CAD 绕点 C 顺时针旋转得到CFE， ECFAFC60， ECBF， ECDC6， BF6， ECBF， 四边形 BFCE 是平行四边形； （3）点 P 是抛物线上一动点， 设 P 点（x，x2+x） ， 当点 P 在 B 点的左侧时， PA
19、M 与DD1A 相似， 或， 或， 解得：x11（不合题意舍去） ，x211 或 x11（不合题意舍去）x2； 当点 P 在 A 点的右侧时， PAM 与DD1A 相似， 或， 或， 解得：x11（不合题意舍去） ，x23（不合题意舍去）或 x11（不合题意舍去） ，x2（不合题意舍去） ； 当点 P 在 AB 之间时， PAM 与DD1A 相似， 或， 或， 解得：x11（不合题意舍去） ，x23（不合题意舍去）或 x11（不合题意舍去） ，x2； 综上所述，点 P 的横坐标为11 或或； 由得，这样的点 P 共有 3 个 6 （2018广东）如图，已知顶点为 C（0，3）的抛物线 yax2
20、+b（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，直线yx+m 过顶点 C 和点 B （1）求 m 的值； （2）求函数 yax2+b（a0）的解析式； （3）抛物线上是否存在点 M，使得MCB15？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）将（0，3）代入 yx+m， 可得：m3； （2）将 y0 代入 yx3 得：x3， 所以点 B 的坐标为（3，0） ， 将（0，3） 、 （3，0）代入 yax2+b 中， 可得：， 解得：， 所以二次函数的解析式为：yx23； （3）存在，分以下两种情况： 若 M 在 B 上方，设 MC 交 x 轴于点 D，则ODC45+1560，
21、 ODOCtan30， 设 DC 为 ykx3，代入（，0） ，可得：k， 联立两个方程可得：， 解得：， 所以 M1（3，6） ； 若 M 在 B 下方，设 MC 交 x 轴于点 E，则OEC451530， OCE60， OEOCtan603， 设 EC 为 ykx3，代入（3，0）可得：k， 联立两个方程可得：， 解得：， 所以 M2（，2） ， 综上所述 M 的坐标为（3，6）或（，2） 三四边形综合题（共三四边形综合题（共 1 小题）小题） 7 （2021广州）如图，在菱形 ABCD 中，DAB60，AB2，点 E 为边 AB 上一个动点，延长 BA 到点F，使 AFAE，且 CF、D
22、E 相交于点 G （1）当点 E 运动到 AB 中点时，证明：四边形 DFEC 是平行四边形； （2）当 CG2 时，求 AE 的长； （3）当点 E 从点 A 开始向右运动到点 B 时，求点 G 运动路径的长度 【解答】解： （1）证明：连接 DF，CE，如图所示： ， E 为 AB 中点， AEAFAB， EFABCD， 四边形 ABCD 是菱形， EFABCD， 四边形 DFEC 是平行四边形 （2）作 CHBH，设 AEFAm，如图所示， ， 四边形 ABCD 是菱形， CDEF， CDGFEG， ， FG2m， 在 RtCBH 中，CBH60，BC2， sin60，CH， cos60
23、，BH1， 在 RtCFH 中，CF2+2m，CH，FH3+m， CFCH+FH， 即（2+2m）（）+（3+m）， 整理得：3m+2m80， 解得：m1，m22（舍去） ， （3）G 点轨迹为线段 AG， 证明：如图， （此图仅作为证明 AG 轨迹用） ， 延长线段 AG 交 CD 于 H，作 HMAB 于 M，作 DNAB 于 N， 四边形 ABCD 是菱形， BFCD， DHGEGA，HGCAGF， ， ， AEAF， DHCH1， 在 RtADN 中，AD2，DAB60 sin60，DNcos60，AN1， 在 RtAHM 中，HMDN，AMAN+NMAN+DH2， tanHAM， G
24、 点轨迹为线段 AG G 点轨迹是线段 AG 如图所示，作 GHAB， 四边形 ABCD 为菱形，DAB60，AB2， CDBF，BD2， CDGFBG， ，即 BG2DG， BG+DGBD2， BG， 在 RtGHB 中，BG，DBA60， sin60，GH， cos60，BH， 在 RtAHG 中，AH2，GH， AG（）+（）， AG G 点路径长度为 解法二：如图，连接 AG，延长 AG 交 CD 于点 W CDBF， ， ， AFAE， DWCW， 点 G 在 AW 上运动 下面的解法同上 四圆的综合题（共四圆的综合题（共 3 小题）小题） 8 （2021广州）如图，在平面直角坐标系
25、 xOy 中，直线 l：yx+4 分别与 x 轴，y 轴相交于 A、B 两点，点 P（x，y）为直线 l 在第二象限的点 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）设PAO 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （3）作PAO 的外接圆C，延长 PC 交C 于点 Q，当POQ 的面积最小时，求C 的半径 【解答】解： （1）直线 yx+4 分别与 x 轴，y 轴相交于 A、B 两点， 当 x0 时，y4； 当 y0 时，x8， A（8，0） ，B（0，4） ； （2）点 P（x，y）为直线 l 在第二象限的点， P（x，） ， SAPO2x+16（8x0） ； S
26、2x+16（8x0） ； （3）A（8，0） ，B（0，4） ， OA8，OB4， 在 RtAOB 中，由勾股定理得： AB， 在C 中，PQ 是直径， POQ90， BAOQ， tanQtanBAO， ， OQ2OP， SPOQ， 当 SPOQ最小时，则 OP 最小， 点 P 在线段 AB 上运动， 当 OPAB 时，OP 最小， SAOB， ， sinQsinBAO， ， ， PQ8， C 半径为 4 9 （2018广东）如图，四边形 ABCD 中，ABADCD，以 AB 为直径的O 经过点 C，连接 AC、OD 交于点 E （1）证明：ODBC； （2）若 tanABC2，证明：DA 与
27、O 相切； （3）在（2）条件下，连接 BD 交O 于点 F，连接 EF，若 BC1，求 EF 的长 【解答】解： （1）连接 OC， 在OAD 和OCD 中， ， OADOCD（SSS） ， ADOCDO， 又 ADCD， DEAC， AB 为O 的直径， ACB90，即 BCAC， ODBC； （2）tanABC2， 设 BCa、则 AC2a， ADAB， OEBC，且 AOBO， OEBCa，AECEACa， 在AED 中，DE2a， 在AOD 中，AO2+AD2（）2+（a）2a2，OD2（OE+DE）2（a+2a）2a2， AO2+AD2OD2， OAD90， 则 DA 与O 相切；
28、 （3）连接 AF， AB 是O 的直径， AFDBAD90， ADFBDA， AFDBAD， ，即 DFBDAD2， 又AEDOAD90，ADEODA， AEDOAD， ，即 ODDEAD2， 由可得 DFBDODDE，即， 又EDFBDO， EDFBDO， BC1， ABAD、OD、ED2、BD、OB， ，即， 解得：EF 方法二：连接 CF、AF， 由（2）得 AECEAC， BCAC， AEBC， ， CBFEAF， AD 为O 的切线， BAAD， 又ABAD， ABD 为等腰直角三角形， AFB90， AFBD， F 为 BD 的中点， AFBF， 在CBF 和EAF 中， ， C
29、BFEAF（SAS） ， EFCF，EFACFB， EFA+EFB90， CFB+EFB90， CFE 为等腰直角三角形， AECEBC1， EFCF 10 （2019广东）如图 1，在ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，过点 C 作BCDACB 交O于点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，延长 DC 至点 F，使 CFAC，连接 AF （1）求证：EDEC； （2）求证：AF 是O 的切线； （3）如图 2，若点 G 是ACD 的内心，BCBE25，求 BG 的长 【解答】解： （1）ABAC， ABCACB， 又ACBBCD，ABCADC， BCDADC， EDEC； （2）如
30、图 1，连接 OA， ABAC， ， OABC， CACF， CAFCFA， ACDCAF+CFA2CAF， ACBBCD， ACD2ACB， CAFACB， AFBC， OAAF， AF 为O 的切线； （3）ABECBA，BADBCDACB， ABECBA， ， AB2BCBE， BCBE25， AB5， 如图 2，连接 AG， 如图 2，连接 AG， BAGBAD+DAG，BGAGAC+ACB， 点 G 为内心， DAGGAC， 又BADBCDACB， BAD+DAGACB+GAC，即BAGBGA， BGAB5 五几何变换综合题（共五几何变换综合题（共 1 小题）小题） 11 （2018
31、广东）已知 RtOAB，OAB90，ABO30，斜边 OB4，将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 60，如图 1，连接 BC （1）填空：OBC 60 ； （2）如图 1，连接 AC，作 OPAC，垂足为 P，求 OP 的长度； （3）如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在OCB 边上运动，M 沿 OCB 路径匀速运动，N 沿 OBC 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒，点 N 的运动速度为1 单位/秒，设运动时间为 x 秒，OMN 的面积为 y，求当 x 为何值时 y 取得最大值？最大值为多少？ 【解答】解： （1）由旋转性质可知：OBOC
32、，BOC60， OBC 是等边三角形， OBC60 故答案为：60 （2）如图 1 中， OB4，ABO30， OAOB2，ABOA2， SAOCOAAB222， BOC 是等边三角形， OBC60，ABCABO+OBC90， AC2， OP （3）当 0 x时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，此时过点 N 作 NEOC 且交 OC 于点 E 则 NEONsin60 x， SOMNOMNE1.5xx， yx2 x时，y 有最大值，最大值 当x4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动 作 MHOB 于 H则 BM81.5x，MHBMsin60（81.5x） ， yONMHx2+2x 当 x时，y 取最大值，y， 当 4x4.8 时，M、N 都在 BC 上运动，作 OGBC 于 G MN122.5x，OGAB2， yMNOG12x， 当 x4 时，y 有最大值， x4， y 最大值2， 综上所述，y 有最大值，最大值为