1、 北京市三年（北京市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编：解答题中档题、提升题）中考数学真题分类汇编：解答题中档题、提升题知识点分类知识点分类 一二次函数的性质（共一二次函数的性质（共 3 小题）小题） 1 （2022北京）在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m） ， （3，n）在抛物线 yax2+bx+c（a0）上，设抛物线的对称轴为 xt （1）当 c2，mn 时，求抛物线与 y 轴交点的坐标及 t 的值； （2）点（x0，m） （x01）在抛物线上若 mnc，求 t 的取值范围及 x0的取值范围 2 （2021北京）在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m）和点（3，n）在抛
2、物线 yax2+bx（a0）上 （1）若 m3，n15，求该抛物线的对称轴； （2）已知点（1，y1） ， （2，y2） ， （4，y3）在该抛物线上若 mn0，比较 y1，y2，y3的大小，并说明理由 3 （2020北京）在平面直角坐标系 xOy 中，M（x1，y1） ，N（x2，y2）为抛物线 yax2+bx+c（a0）上任意两点，其中 x1x2 （1）若抛物线的对称轴为 x1，当 x1，x2为何值时，y1y2c； （2）设抛物线的对称轴为 xt，若对于 x1+x23，都有 y1y2，求 t 的取值范围 二二次函数的应用（共二二次函数的应用（共 1 小题）小题） 4 （2022北京）单板滑
3、雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系 ya（xh）2+k（a0） 某运动员进行了两次训练 （1）第一次训练时，该运动员的水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 ya（xh）2+k（a0） ； （2
4、） 第二次训练时， 该运动员的竖直高度 y 与水平距离 x 近似满足函数关系 y0.04 （x9）2+23.24 记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为 d1，第二次训练的着陆点的水平距离为 d2，则 d1 d2（填“” “”或“” ） 三全等三角形的判定与性质（共三全等三角形的判定与性质（共 1 小题）小题） 5 （2020北京）在ABC 中，C90，ACBC，D 是 AB 的中点E 为直线 AC 上一动点，连接 DE过点 D 作 DFDE，交直线 BC 于点 F，连接 EF （1）如图 1，当 E 是线段 AC 的中点时，设 AEa，BFb，求 EF 的长（用含 a，b 的式子表示） ；
5、 （2） 当点 E 在线段 CA 的延长线上时， 依题意补全图 2， 用等式表示线段 AE， EF， BF 之间的数量关系，并证明 四平行四边形的判定与性质（共四平行四边形的判定与性质（共 1 小题）小题） 6 （2021北京）如图，在四边形 ABCD 中，ACBCAD90，点 E 在 BC 上，AEDC，EFAB，垂足为 F （1）求证：四边形 AECD 是平行四边形； （2）若 AE 平分BAC，BE5，cosB=45，求 BF 和 AD 的长 五菱形的判定（共五菱形的判定（共 1 小题）小题） 7 （2022北京）如图，在ABCD 中，AC，BD 交于点 O，点 E，F 在 AC 上，A
6、ECF （1）求证：四边形 EBFD 是平行四边形； （2）若BACDAC，求证：四边形 EBFD 是菱形 六圆的综合题（共六圆的综合题（共 3 小题）小题） 8 （2020北京）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1，A，B 为O 外两点，AB1 给出如下定义：平移线段 AB，得到O 的弦 AB（A，B分别为点 A，B 的对应点） ，线段 AA长度的最小值称为线段 AB 到O 的“平移距离” （1）如图，平移线段 AB 得到O 的长度为 1 的弦 P1P2和 P3P4，则这两条弦的位置关系是 ；在点 P1，P2，P3，P4中，连接点 A 与点 的线段的长度等于线段 AB 到O 的“平
7、移距离” ； （2）若点 A，B 都在直线 y= 3x+23上，记线段 AB 到O 的“平移距离”为 d1，求 d1的最小值； （3）若点 A 的坐标为（2，32） ，记线段 AB 到O 的“平移距离”为 d2，直接写出 d2的取值范围 9 （2022北京）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M（a，b） ，N 对于点 P 给出如下定义：将点 P 向右（a0）或向左（a0）平移|a|个单位长度，再向上（b0）或向下 （b0） 平移|b|个单位长度， 得到点 P， 点 P关于点 N 的对称点为 Q， 称点 Q 为点 P 的 “对应点” （1）如图，点 M（1，1） ，点 N 在线段 OM 的延
8、长线上若点 P（2，0） ，点 Q 为点 P 的“对应点” 在图中画出点 Q； 连接 PQ，交线段 ON 于点 T，求证：NT=12OM； （2） O 的半径为 1， M 是O 上一点， 点 N 在线段 OM 上， 且 ONt （12t1） ， 若 P 为O 外一点，点 Q 为点 P 的 “对应点” ， 连接 PQ 当点 M 在O 上运动时， 直接写出 PQ 长的最大值与最小值的差 （用含 t 的式子表示） 10 （2021北京）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1对于点 A 和线段 BC，给出如下定义：若将线段 BC 绕点 A 旋转可以得到O 的弦 BC（B，C分别是 B，C 的对
9、应点） ，则称线段 BC 是O的以点 A 为中心的“关联线段” （1）如图，点 A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数在线段 B1C1，B2C2，B3C3中，O的以点 A 为中心的“关联线段”是 ； （2）ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 A（0，t） ，其中 t0若 BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段” ，求 t 的值； （3）在ABC 中，AB1，AC2若 BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段” ，直接写出 OA 的最小值和最大值，以及相应的 BC 长 七作图七作图应用与设计作图（共应用与设计作图（共 1 小题）小题） 11 （2021北京） 淮南子
10、天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 B，使 B，A 两点间的距离为 10 步（步是古代的一种长度单位） ，在点 B 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 B 处的杆的影子的方向取一点 C，使 C，B 两点间的距离为 10 步，在点 C 处立一根杆取 CA 的中点 D，那么直线 DB 表示的方向为东西方向 （1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 A，B，C 的位置如图所示使用直尺和圆规，在图中作 CA 的中点 D（保留作图痕迹） ； （2）在如图中，确定了直线 DB 表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相
11、垂直，可以判断直线 CA 表示的方向为南北方向，完成如下证明 证明：在ABC 中，BA ，D 是 CA 的中点， CADB（ ） （填推理的依据） 直线 DB 表示的方向为东西方向， 直线 CA 表示的方向为南北方向 八频数（率）分布直方图（共八频数（率）分布直方图（共 1 小题）小题） 12 （2021北京）为了解甲、乙两座城市的邮政企业 4 月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了 25 家邮政企业，获得了它们 4 月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息 a甲城市邮政企业 4 月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成 5 组：6x8
12、，8x10，10 x12，12x14，14x16） ： b甲城市邮政企业 4 月份收入的数据在 10 x12 这一组的是： 10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8 c甲、乙两座城市邮政企业 4 月份收入的数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 甲城市 10.8 m 乙城市 11.0 11.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中 m 的值； （2）在甲城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 p1在乙城 市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 p2比较 p1，p2的大小，并说
13、明理由； （3）若乙城市共有 200 家邮政企业，估计乙城市的邮政企业 4 月份的总收入（直接写出结果） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一二次函数的性质（共一二次函数的性质（共 3 小题）小题） 1 （2022北京）在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m） ， （3，n）在抛物线 yax2+bx+c（a0）上，设抛物线的对称轴为 xt （1）当 c2，mn 时，求抛物线与 y 轴交点的坐标及 t 的值； （2）点（x0，m） （x01）在抛物线上若 mnc，求 t 的取值范围及 x0的取值范围 【解答】解： （1）将点（1，m） ，N（3，n）代入抛物线解析式， = + + = 9
14、+ 3 + ， mn， a+b+c9a+3b+c，整理得，b4a， 抛物线的对称轴为直线 x= 2= 42=2； t2， c2， 抛物线与 y 轴交点的坐标为（0，2） （2）mnc， a+b+c9a+3b+cc， 解得4ab3a， 3ab4a， 32242，即32t2 当 t=32时，x02； 当 t2 时，x03 x0的取值范围 2x03 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解 2 （2021北京）在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线 yax2+bx（a0）上 （1）若 m3，n15，求该抛物线的对称轴； （2）已知点（1，y1） ， （2，
15、y2） ， （4，y3）在该抛物线上若 mn0，比较 y1，y2，y3的大小，并说明理由 【解答】解： （1）m3，n15， 点（1，3） ， （3，15）在抛物线上， 将（1，3） ， （3，15）代入 yax2+bx 得： 3 = + 15 = 9 + 3， 解得 = 1 = 2， yx2+2x（x+1）21， 抛物线对称轴为直线 x1 （2）yax2+bx（a0） ， 抛物线开口向上且经过原点， 当 b0 时，抛物线顶点为原点，x0 时 y 随 x 增大而增大，nm0 不满足题意， 当 b0 时，抛物线对称轴在 y 轴左侧，同理，nm0 不满足题意， b0，抛物线对称轴在 y 轴右侧，x
16、1 时 m0，x3 时 n0， 即抛物线和 x 轴的 2 个交点，一个为（0，0） ，另外一个在 1 和 3 之间， 抛物线对称轴在直线 x=32与直线 x=12之间， 即12232， 点（2，y2）与对称轴距离122（2）32， 点（1，y1）与对称轴距离322（1）52， 点（4，y3）与对称轴距离524（2）72 y2y1y3 解法二：点（1，m）和点（3，n）在抛物线 yax2+bx（a0）上， a+bm，9a+3bn， mn0， （a+b） （9a+3b）0， a+b 与 3a+b 异号， a0， 3a+ba+b， a+b0，3a+b0， （1，y1） ， （2，y2） ， （4，y
17、3）在该抛物线上， y1ab，y24a+2b，y316a+4b， y3y1（16a+4b）（ab）5（3a+b）0， y3y1， y1y2（ab）（4a+2b）3（a+b）0， y1y2， y2y1y3 【点评】 本题考查二次函数的性质， 解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解 3 （2020北京）在平面直角坐标系 xOy 中，M（x1，y1） ，N（x2，y2）为抛物线 yax2+bx+c（a0）上任意两点，其中 x1x2 （1）若抛物线的对称轴为 x1，当 x1，x2为何值时，y1y2c； （2）设抛物线的对称轴为 xt，若对于 x1+x23，都有 y1y2，求 t 的
18、取值范围 【解答】解： （1）由题意 y1y2c， x10， 对称轴为直线 x1， M，N 关于 x1 对称， x22， x10，x22 时，y1y2c （2）当 x1t 时，恒成立 当 x1x2t 时，恒不成立 当 x1tx2t 时，抛物线的对称轴为直线 xt，若对于 x1+x23，都有 y1y2， 当 x1+x23，且 y1y2时，对称轴为直线 x=32， 满足条件的值为：t32 解法二：y1y2， ax12+bx1+cax22+bx2+c， a（x12x22）b（x1x2） ， x1+x2=2t， 当 x1+x23 时，都有 x1+x22t， 2t3， t32 满足条件的值为：t32 【
19、点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 二二次函数的应用（共二二次函数的应用（共 1 小题）小题） 4 （2022北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系 ya（xh）2+k（a0） 某运动员进行了两次训练 （1）第一次训练时，该运动员的水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高
20、度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 ya（xh）2+k（a0） ； （2） 第二次训练时， 该运动员的竖直高度 y 与水平距离 x 近似满足函数关系 y0.04 （x9）2+23.24 记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为 d1， 第二次训练的着陆点的水平距离为 d2， 则 d1 d2（填“” “”或“” ） 【解答】解： （1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为： （8，23.20） ， h8，k23.20， 即该运动员竖直高度的最大值为 23.20m， 根据表格中的
21、数据可知，当 x0 时，y20.00，代入 ya（x8）2+23.20 得： 20.00a（08）2+23.20， 解得：a0.05， 函数关系式为：y0.05（x8）2+23.20； （2）设着陆点的纵坐标为 t，则第一次训练时，t0.05（x8）2+23.20， 解得：x8+20(23.20 )或 x820(23.20 )， 根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离 d18+20(23.20 )， 第二次训练时，t0.04（x9）2+23.24， 解得：x9+25(23.24 )或 x925(23.24 )， 根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离 d29+25(23.24 )， 2
22、0（23.20t）25（23.24t） ， 20(23.20 )25(23.24 )， d1d2， 故答案为： 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为 t，用 t 表示出 d1和 d2是解题的关键 三全等三角形的判定与性质（共三全等三角形的判定与性质（共 1 小题）小题） 5 （2020北京）在ABC 中，C90，ACBC，D 是 AB 的中点E 为直线 AC 上一动点，连接 DE过点 D 作 DFDE，交直线 BC 于点 F，连接 EF （1）如图 1，当 E 是线段 AC 的中点时，设 AEa，BFb，求 EF 的长（用含 a，b 的式子表示） ；
23、 （2） 当点 E 在线段 CA 的延长线上时， 依题意补全图 2， 用等式表示线段 AE， EF， BF 之间的数量关系，并证明 【解答】解： （1）D 是 AB 的中点，E 是线段 AC 的中点， DEBC，DE=12BC， ACB90， DEC90， DFDE， EDF90， 四边形 CEDF 是矩形， DECF=12BC， CFBFb， CEAEa， EF= 2+ 2= 2+ 2； （2）AE2+BF2EF2 证明：过点 B 作 BMAC，与 ED 的延长线交于点 M，连接 MF， 则AEDBMD，CBMACB90， D 点是 AB 的中点， ADBD， 在ADE 和BDM 中， =
24、= = ， ADEBDM（AAS） ， AEBM，DEDM， DFDE， EFMF， BM2+BF2MF2， AE2+BF2EF2 【点评】 本题主要考查了直角三角形的性质， 全等三角形的性质与判定， 勾股定理， 垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形 四平行四边形的判定与性质（共四平行四边形的判定与性质（共 1 小题）小题） 6 （2021北京）如图，在四边形 ABCD 中，ACBCAD90，点 E 在 BC 上，AEDC，EFAB，垂足为 F （1）求证：四边形 AECD 是平行四边形； （2）若 AE 平分BAC，BE5，cosB=45，求 BF 和 AD 的长 【解答】 （1）证明：
25、ACBCAD90， ADCE， AEDC， 四边形 AECD 是平行四边形； （2）解：EFAB， BFE90， cosB=45=，BE5， BF=45BE=4554， EF= 2 2= 52 42=3， AE 平分BAC，EFAB，ACE90， ECEF3， 由（1）得：四边形 AECD 是平行四边形， ADEC3 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形 AECD 为平行四边形是解题的关键 五菱形的判定（共五菱形的判定（共 1 小题）小题） 7 （2022北京）如图，在ABCD 中，AC，BD 交于点
26、 O，点 E，F 在 AC 上，AECF （1）求证：四边形 EBFD 是平行四边形； （2）若BACDAC，求证：四边形 EBFD 是菱形 【解答】证明： （1）在ABCD 中，OAOC，OBOD， AECF OEOF， 四边形 EBFD 是平行四边形； （2）四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC， BACDCA， BACDAC， DCADAC， DADC， OAOC， DBEF， 平行四边形 EBFD 是菱形 【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 六圆的综合题（共六圆的综合题（共 3 小题）小题） 8 （
27、2020北京）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1，A，B 为O 外两点，AB1 给出如下定义：平移线段 AB，得到O 的弦 AB（A，B分别为点 A，B 的对应点） ，线段 AA长度的最小值称为线段 AB 到O 的“平移距离” （1） 如图， 平移线段AB得到O的长度为1的弦P1P2和P3P4， 则这两条弦的位置关系是 P1P2P3P4 ；在点 P1，P2，P3，P4中，连接点 A 与点 P3 的线段的长度等于线段 AB 到O 的“平移距离” ； （2）若点 A，B 都在直线 y= 3x+23上，记线段 AB 到O 的“平移距离”为 d1，求 d1的最小值； （3）若点 A 的坐标
28、为（2，32） ，记线段 AB 到O 的“平移距离”为 d2，直接写出 d2的取值范围 【解答】解： （1）如图，平移线段 AB 得到O 的长度为 1 的弦 P1P2和 P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2P3P4； 在点 P1， P2， P3， P4中， 连接点 A 与点 P3的线段的长度等于线段 AB 到O 的 “平移距离” 故答案为：P1P2P3P4，P3 （2）如图 1 中，作等边OEF，点 E 在 x 轴上，OEEFOF1， 设直线 y= 3x+23交 x 轴于 M，交 y 轴于 N则 M（2，0） ，N（0，23） ， 过点 E 作 EHMN 于 H， OM2，ON23， ta
29、nNMO= 3， NMO60， EHEMsin60=32， 观察图象可知，线段 AB 到O 的“平移距离”为 d1的最小值为32 （3）如图 2 中，以 A 为圆心 1 为半径作A，作直线 OA 交O 于 M，交A 于 N， 以 OA， AB 为邻边构造平行四边形 ABDO， 以 OD 为边构造等边ODB， 等边OBA， 则 ABAB，AA的长即为线段 AB 到O 的“平移距离” ， 当点 A与 M 重合时，AA的值最小，最小值OAOM=521=32， 当点 B 与 N 重合时，AA的长最大，如图 3 中，过点 A作 AHOA 于 H 由题意 AH=32，AH=12+52=3， AA的最大值=
30、(32)2+ 32=392， 32d2392 【点评】本题属于圆综合题，考查了平移变换，一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，线段 AB 到O 的“平移距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题 9 （2022北京）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M（a，b） ，N 对于点 P 给出如下定义：将点 P 向右（a0）或向左（a0）平移|a|个单位长度，再向上（b0）或向下 （b0） 平移|b|个单位长度， 得到点 P， 点 P关于点 N 的对称点为 Q， 称点 Q 为点 P 的 “对应点” （1）如图，点
31、 M（1，1） ，点 N 在线段 OM 的延长线上若点 P（2，0） ，点 Q 为点 P 的“对应点” 在图中画出点 Q； 连接 PQ，交线段 ON 于点 T，求证：NT=12OM； （2） O 的半径为 1， M 是O 上一点， 点 N 在线段 OM 上， 且 ONt （12t1） ， 若 P 为O 外一点，点 Q 为点 P 的 “对应点” ， 连接 PQ 当点 M 在O 上运动时， 直接写出 PQ 长的最大值与最小值的差 （用含 t 的式子表示） 【解答】解： （1）由题意知，P（2+1，0+1） ， P（1，1） ， 如图，点 Q 即为所求； P（1，1） ，N（2，2） ， Q（5，3
32、） ， 设直线 PQ 的解析式为 ykx+b， 2 + = 05 + = 3， =37 =67， y=37 +67， 同理，直线 OM 的解析式为 yx， 37 +67=x， 解得 x=32， T（32，32） ， NT=(2 32)2+ (2 32)2=122， OM= 2， NT=12OM； （2）如图，连接 PO，并延长至 S，使 OPOS，延长 SQ 到 T，使 STOM， 由题意知，PP1OM，PP1OM，P1NNQ， TQ2MN， MNOMON1t， TQ22t， SQSTTQ1（22t）2t1， 在PQS 中，PSQSPS+QS， PS 的最小值为 PSQS，PS 的最大值为 P
33、S+QS， PQ 长的最大值与最小值的差为（PS+QS）（PSQS）2QS4t2 【点评】本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形中位线定理，三角形三边关系，平移的性质等知识，解题的关键是理解定义，画出图形，利用三角形中位线定理求出 QT 的长是解题的关键 10 （2021北京）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1对于点 A 和线段 BC，给出如下定义：若将线段 BC 绕点 A 旋转可以得到O 的弦 BC（B，C分别是 B，C 的对应点） ，则称线段 BC 是O的以点 A 为中心的“关联线段” （1）如图，点 A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整
34、数在线段 B1C1，B2C2，B3C3中，O的以点 A 为中心的“关联线段”是 B2C2 ； （2）ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 A（0，t） ，其中 t0若 BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段” ，求 t 的值； （3）在ABC 中，AB1，AC2若 BC 是O 的以点 A 为中心的“关联线段” ，直接写出 OA 的最小值和最大值，以及相应的 BC 长 【解答】解： （1）由旋转的性质可知：ABAB，ACAC，BABCAC， 由图可知点 A 到圆上一点的距离 d 的范围为2 1d 2 +1， AC13d， 点 C1不可能在圆上， B1C1不是O 的以 A 为中心的“关联线段
35、” ， AC21，AB2= 5， C2（0，1） ，B2（1，0） ， B2C2是O 的以 A 为中心的“关联线段” ， AC32，AB3= 5， 当 B3在圆上时，B3（1，0）或（0，1） ， 由图可知此时 C3不在圆上， B3C3不是O 的以 A 为中心的“关联线段” 故答案为：B2C2 （2）ABC 是边长为 1 的等边三角形， 根据旋转的性质可知ABC也是边长为 1 的等边三角形， A（0，t） ， BCy 轴，且 BC1， AO 为 BC边上的高的 2 倍，且此高的长为32， t= 3或3 （3）OA 的最小值为 1 时，此时 BC 的长为3，OA 的最大值为 2，此时 BC 的长
36、为62 理由：由旋转的性质和“关联线段”的定义， 可知 ABABOBOC1，ACAC2，如图 1， 利用四边形的不稳定性可知， 当 A，O，C在同一直线上时，OA 最小，最小值为 1，如图 2， 此时 OAOBOC， ABC90， BC= 2 2= 22 12= 3 当 A，B，O 在同一直线上时，OA 最大，如图 3， 此时 OA2，过点 A 作 AEOC于 E，过点 C作 CFOA 于 F AOAC2，AEOC， OEEC=12， AE= 2 2=22 (12)2=152， SAOC=12AOCF=12OCAE， CF=154， OF= 2 2=12 (154)2=14， FBOBOF=3
37、4， BC= 2+ 2=(34)2+ (154)2=62 综上 OA 的最小值为 1，此时 BC 的长为3，OA 的最大值为 2，此时 BC 的长为62 【点评】此题属于圆综合题，考查了旋转有关的新定义题，利用旋转的性质，等腰三角形，等边三角形，勾股定理等知识点，本题的关键画出 OA 最小和最大时的图形，属于中考压轴题 七作图七作图应用与设计作图（共应用与设计作图（共 1 小题）小题） 11 （2021北京） 淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 B，使 B，A 两点间的距离为 10 步（步是古代的一种长度单位）
38、 ，在点 B 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 B 处的杆的影子的方向取一点 C，使 C，B 两 点间的距离为 10 步，在点 C 处立一根杆取 CA 的中点 D，那么直线 DB 表示的方向为东西方向 （1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 A，B，C 的位置如图所示使用直尺和圆规，在图中作 CA 的中点 D（保留作图痕迹） ； （2）在如图中，确定了直线 DB 表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 CA 表示的方向为南北方向，完成如下证明 证明：在ABC 中，BA BC ，D 是 CA 的中点， CADB（ 三线合一 ） （填推理的依据） 直线 DB 表
39、示的方向为东西方向， 直线 CA 表示的方向为南北方向 【解答】解： （1）如图，点 D 即为所求 （2）如图，连接 BD 在ABC 中，BABC，D 是 CA 的中点， CADB（三线合一） ， 直线 DB 表示的方向为东西方向， 直线 CA 表示的方向为南北方向 故答案为：BC，三线合一 【点评】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用等腰三角形的性质解决问题 八频数（率）分布直方图（共八频数（率）分布直方图（共 1 小题）小题） 12 （2021北京）为了解甲、乙两座城市的邮政企业 4 月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各 随机抽取了 2
40、5 家邮政企业，获得了它们 4 月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息 a甲城市邮政企业 4 月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成 5 组：6x8，8x10，10 x12，12x14，14x16） ： b甲城市邮政企业 4 月份收入的数据在 10 x12 这一组的是： 10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8 c甲、乙两座城市邮政企业 4 月份收入的数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 甲城市 10.8 m 乙城市 11.0 11.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中 m 的值； （2）在甲
41、城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 p1在乙城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 p2比较 p1，p2的大小，并说明理由； （3）若乙城市共有 200 家邮政企业，估计乙城市的邮政企业 4 月份的总收入（直接写出结果） 【解答】解： （1）将甲城市抽取的 25 家邮政企业 4 月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是 10.1， 因此中位数是 10.1，即 m10.1； （2）由题意得 p15+3+412（家） ， 由于乙城市抽取的 25 家邮政企业 4 月份的营业额的平均数是 11.0，中位数是 11.5， 因此所抽取的 25 家邮政企业 4 月份营业额在 11.5 及以上的占一半， 也就是 p2的值至少为 13， p1p2； （3）11.02002200（百万元） ， 答：乙城市 200 家邮政企业 4 月份的总收入约为 2200 百万元 【点评】本题考查频数分布直方图、平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义是正确解答的前提