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2022-2023学年人教版九年级上数学压轴题:与圆有关的最值问题(含答案解析)

1、与圆有关的最值问题隐圆模型汇总 固定线段AB所对同侧动角P=C,则A、B、C、P四点共圆 若P为动点,但AB=AC=AP,则B、C、P三点共圆,A圆心,AB半径 固定线段AB所对动角C恒为90,则A、B、C三点共圆,AB为直径例1如图,点P是边长为6的等边内部一动点,连接BP,CP,AP,满足,D为AP的中点,过点P作,垂足为E,连接DE,则DE长的最小值为()A2BC3D例2如图,中,P是内部的一个动点,满足,则线段CP长的最小值为()AB2CD【变式训练1】如图,在正方形ABCD中,BC=2,点P,Q均为AB边上的动点,BECP,垂足为E,则QD+QE的最小值为()A2B3CD【变式训练2

2、】如图,正方形ABCD的边长为8,P是边CD上的一动点,EFBP交BP于G,且EF平分正方形ABCD的面积,则线段GC的最小值是_【变式训练3】如图,ABC中,ABC45,BCA75,BC62,点P是BC上一动点,PDAC于D,PEAB于E,在点P的运动过程中,线段DE的最小值为()A33BC46D2【变式训练4】如图,ABC为等腰直角三角形,BAC90,ABAC2,点D为ABC所在平面内一点,BDC90,以AC、CD为边作平行四边形ACDE,则CE的最小值为()ABCD课后训练1如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E、F分别为AD、DC边上的点,且EF=4,点G为EF的中点,点P为B

3、C上一动点,则PA+PG的最小值为()A6B8C4D102如图,在矩形ABCD中,AB2,点E为AB中点,点F为AD边上从A到D运动的一个动点,联结EF,将沿EF折叠,点A落在点G处,在运动的过程中,点G运动的路径长为()ABCD13如图,在中,是以点为圆心,3为半径的圆上一点,连接,是的中点,则线段长度的最小值为()A3B4C5D64如图,点A,B的坐标分别为A(3,0)、B(0,3),点C为坐标平面内的一点,且BC=2,点M为线段的中点,连接,则的最大值为()ABCD25如图,D的半径为2,圆心D的坐标为(3,5),点C是D上的任意一点,且CA、CB与x轴分别交于A、B两点,若点A、点B关

4、于原点O对称,则AB的最大值为()A14BCD6如图,的半径是6,点A是圆上一个定点,点在上运动,且,垂足为点,连接,则的最小值是()ABCD与圆有关的最值问题隐圆模型汇总 固定线段AB所对同侧动角P=C,则A、B、C、P四点共圆 若P为动点,但AB=AC=AP,则B、C、P三点共圆,A圆心,AB半径 固定线段AB所对动角C恒为90,则A、B、C三点共圆,AB为直径例1如图,点P是边长为6的等边内部一动点,连接BP,CP,AP,满足,D为AP的中点,过点P作,垂足为E,连接DE,则DE长的最小值为()A2BC3D【答案】D【详解】解:如图所示,PEAC,是直角三角形,D为AP的中点,DE=AP

5、,当AP最小时,DE最小是等边三角形,1+PBC=60,1=2,2+PBC=60,BPC=180-(2+PBC)=120,点P在的外接圆的上,找出的外心点O并作出其外接圆,点P的运动轨迹就是,当时,AP有最小值,延长AP与BC交于点F,此时PFC=90,PBC=PCB=30,FC=BC=3,PF=FCtanPFC=3=,AF=3,AP的最小值=AF-PF=3-=2,DE的最小值=AP=2=故选:D例2如图,中,P是内部的一个动点,满足,则线段CP长的最小值为()AB2CD【答案】D【详解】,取AB的中点O,以点O为圆心,为直径作圆,连接OP, ,点P在以AB为直径的上,连接OC交于点P,当点O

6、、点P、点C三点共线时,PC最小在中,最小值为故选:D【变式训练1】如图,在正方形ABCD中,BC=2,点P,Q均为AB边上的动点,BECP,垂足为E,则QD+QE的最小值为()A2B3CD【答案】D【详解】解:如图,BECP,点E在以BC为直径的圆上,作点E关于AB的对称点F,QE=QF,QD+QE= QD+QF,连接DF,当Q为DF与AB交点时,QD+QE最小作半圆与以BC为直径的半圆关于AB对称,连接DH,交半圆与,此时DFQD+QE,且为最小值,此时CD=2,BH=1,HC=3,在中,故选:D【变式训练2】如图,正方形ABCD的边长为8,P是边CD上的一动点,EFBP交BP于G,且EF

7、平分正方形ABCD的面积,则线段GC的最小值是_【答案】【详解】解:正方形ABCD中,BC=CD=8,连接BD,交EF于点O,如图所示:则,在中,由勾股定理,得:,EF平分正方形ABCD的面积,EF一定经过正方形得中心,即点O是正方形的中心,,EFBP交BP于G,以OB为直径作,如上图,则点G在上,,连接CM,如上图,则点G在CM与的交点处时,CG的值最小,此时,,过点M 作MNBC于点N,如上图,则,在中,,在中,由勾股定理,得:,即的最小值是故答案为:【变式训练3】如图,ABC中,ABC45,BCA75,BC62,点P是BC上一动点,PDAC于D,PEAB于E,在点P的运动过程中,线段DE

8、的最小值为()A33BC46D2【答案】B【详解】解:如下图所示,以AP为直径作,连接OD,过D作DMAP于MPDAC于D,PEAB于E,ADP90,AEP90ADP+AEP180A、D、P、E四点共圆,且直径为APABC45,BCA75,BAC60DE是中60圆周角所对的弦当直径最小时,DE取得最小值当APBC时,DE取得最小值ABC45,BAP=45APE=45,ABC=BAPBAP=APE,AP=BPAE=PEADE和APE都是所对的圆周角,ADEAPE45ADEABC45EADCAB,AEDACB设AE2x,则PE2xOAODx,BAC=60,BAP=45,DAPBACBAP15DOP

9、和DAP分别是所对的圆心角和圆周角,DOP2DAP30DMODAMOA+OMAD,DE线段DE的最小值为故选:B【变式训练4】如图,ABC为等腰直角三角形,BAC90,ABAC2,点D为ABC所在平面内一点,BDC90,以AC、CD为边作平行四边形ACDE,则CE的最小值为()ABCD【答案】A【详解】解:如图,延长AE交BD于点F,连接BE, 四边形ACDE是平行四边形,AECD,ACED,EACCDE,BAC90,ABAC2,BDC90,EDABAC2,BAF+CAE90,CDE+EDF90,AFBCDBDFE90,BCAB2,BAFEDF,在AFB和DFE中,AFBDFE(AAS),BF

10、EF,BEF45,AEB135,点E的运动轨迹为圆的运动轨迹,假设点E所在圆的圆心为M,连接MB,MA,MC,MC与圆M交于点E,则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得:CE即为CE的最小值,如图, AMB90,AMBM,AB2,MBA45,BMAB,MBC90,在RtMBC中,MC,CECMME即CE的最小值为故选:A课后训练1如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E、F分别为AD、DC边上的点,且EF=4,点G为EF的中点,点P为BC上一动点,则PA+PG的最小值为()A6B8C4D10【答案】B【详解】解:EF=4,点G为EF的中点,DG=2,G点的轨迹是以D为圆心,以2为半径的圆

11、弧(一部分),作A关于BC的对称点,连接,交BC于P,当G点刚好在直线上时,此时PA+PG的值最小,最小值为的长;AB=4,AD=6,在Rt利用勾股定理有,PA+PG的最小值为8, 故选:B2如图,在矩形ABCD中,AB2,点E为AB中点,点F为AD边上从A到D运动的一个动点,联结EF,将沿EF折叠,点A落在点G处,在运动的过程中,点G运动的路径长为()ABCD1【答案】A【详解】解:点E为AB中点,点F为AD边上从A到D运动的一个动点,联结EF,将沿EF折叠,G点在以E为圆心,AE长为半径的圆上运动当F与D点重合时,如图,则G点运动的路径为AB2,点E为AB中点,矩形ABCD,将沿EF折叠,

12、故选:A3如图,在中,是以点为圆心,3为半径的圆上一点,连接,是的中点,则线段长度的最小值为()A3B4C5D6【答案】C【详解】作AB的中点E,连接EM、CE、AD,则有AD=3,ACB=90,即在中,E是斜边AB上的中点,M是BD的中点,E是AB的中点,在中,即;当C、M、E三点共线时有或者;即,CM最小值为5,故选:C4如图,点A,B的坐标分别为A(3,0)、B(0,3),点C为坐标平面内的一点,且BC=2,点M为线段的中点,连接,则的最大值为()ABCD2【答案】A【详解】解:如图,点C为坐标平面内一点,BC=2,C在B上,且半径为2,取OD=OA=3,连接CD,AM=CM,OD=OA

13、,OM是ACD的中位线,OM=CD,当OM最大时,即CD最大,而D,B,C三点共线时,当C在DB的延长线上时,OM最大,OB=3,OD=3,BOD=90,BD=,CD=,OM=CD=,即OM的最大值为;故选A5如图,D的半径为2,圆心D的坐标为(3,5),点C是D上的任意一点,且CA、CB与x轴分别交于A、B两点,若点A、点B关于原点O对称,则AB的最大值为()A14BCD【答案】D【详解】解:如图:连接OC ,是直角三角形点A、点B关于原点O对称,AO=BOOC是RtABC的斜边上的中线, , 故若要使AB最大,则OC需取最大值,连接OD并延长,交D于点C1,C2当点C位于点C2时,OC最长过点D作轴于点E点D(3,5),DE=5,OE=3,在RtODE中,根据勾股定理得: , 故AB的最大值为 ,故选:D6如图,的半径是6,点A是圆上一个定点,点在上运动,且,垂足为点,连接,则的最小值是()ABCD【答案】D【详解】解:设交于,连接、,过作于,连接,是等边三角形,由勾股定理得:,在中,的最小值是,故选D