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2022-2023学年人教版九年级上数学压轴题:圆的综合问题(含答案解析)

1、圆的综合问题类型一、切线问题例如图,在中,点A是边BE上一点,以AB为直径的与CE相切于点D,点F为OC与的交点(1)求证:CB是的切线;(2)连接DB与OC交于点G,求阴影部分面积【变式训练1】如图,AB是O的直径,AC是弦,P为AB延长线上一点,BCPBAC,ACB的平分线交O于点D,交AB于点E,(1)求证:PC是O的切线;(2)若ACBC2时,求CD的长【变式训练2】如图,线段AB经过的圆心O,交圆O于点A,C,AD为的弦,连接BD,连接DO并延长交于点E,连接BE交于点M(1)求证:直线BD是的切线;(2)求线段BM的长【变式训练3】如图,在平行四边形中,是对角线,以点为圆心,以的长

2、为半径作,交边于点,交于点,连接(1)求证:与相切;(2)若,求的长【变式训练4】如图,四边形ABCO是菱形,点D在边AB上,以O为圆心、OD为半径的圆切AB于点D(1)试判断直线BC与的位置关系,并说明理由;(2)若,且点D是AB的中点,求图中阴影部分的面积类型二、圆的面积问题例已知,在半圆中,直径,点,在半圆上运动,(点,可以与,两点重合),弦(1)如图1,当时,直接写出图中标注顶点的所有全等三角形;(2)如图2,若时,求图中阴影部分(弦AD、直径AB、弧BD围成的(图形)的面积;(3)如图3,取CD的中点,点从点开始运动到点与点重合时结束,在整个运动过程中:点M到AB的距离的最小值是_;

3、直接写出点M的运动路径长_【变式训练1】如图,AB为的直径,点E在弦AC的延长线上,过点E作,ED与相切于点D(1)求证:AD平分(2)若,求CE和DE的长【变式训练2】小颖复习尺规作图时,进行如下操作(如图):以点B为圆心,适当长为半径画弧,交BA于点Q,交BC于点P,再分别以点P,Q为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点H,作射线BH;以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点M,交AC于点N,再分别以点M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点G,作射线AG交射线BH于点O;作射线CO交AB于点D,且,以点O为圆心,OD为半径作,交AC于点E,交BC于点F,构成如图所示的阴影部分(1)

4、求证:是等腰直角三角形;(2)若,求图中阴影部分的面积【变式训练3】如图,是的直径,点C在上,点D是的中点,连结,交于点E,连结(1) 求的度数(2)求证:(3)若,求的面积圆的综合问题类型一、切线问题例如图,在中,点A是边BE上一点,以AB为直径的与CE相切于点D,点F为OC与的交点(1)求证:CB是的切线;(2)连接DB与OC交于点G,求阴影部分面积【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】(1)连接OD,则OD=OA,DAO=ADO,在COD和COB中,CBO=CDO,CD是切线,ODCD,CBO=CDO=90,CB是的切线;(2)CD、CB都是圆O的切线,CD=CB,OC垂直平分DB,设

5、圆O的半径为r,则OD=r,OG=OF-FG=r-2,OD2=OG2+DG2,解得r=4,OG=2,ODG=30,COD=60,DOB=2COD=120,S四边形CDOB,S扇形DOB,S阴影= S四边形CDOB- S扇形DOB=【变式训练1】如图,AB是O的直径,AC是弦,P为AB延长线上一点,BCPBAC,ACB的平分线交O于点D,交AB于点E,(1)求证:PC是O的切线;(2)若ACBC2时,求CD的长【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1)连接OC,AB为直径,ACB=90,ACO+OCB=90,OA=OC,BAC=ACO,BCPBAC,BCP=ACOBCP +OCB=90,即OCP

6、=90,PC是O的切线;(2)连接BD,作,垂足为M,N,CD平分,四边形为矩形,矩形为正方形,【变式训练2】如图,线段AB经过的圆心O,交圆O于点A,C,AD为的弦,连接BD,连接DO并延长交于点E,连接BE交于点M(1)求证:直线BD是的切线;(2)求线段BM的长【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1)证明:BOD=2BAD,又, ,即,又为的半径,直线BD是的切线;(2)解:如图,连接DM,RtBOD中,又,的直径,在RtBDE中,在RtBDM中,【变式训练3】如图,在平行四边形中,是对角线,以点为圆心,以的长为半径作,交边于点,交于点,连接(1)求证:与相切;(2)若,求的长【答案】

7、(1)见解析;(2)【解析】(1)解:连接AE,平行四边形,在和中,AE是的半径,与相切;(2)连接EF,作EGAC,由(1)可知,又,是等边三角形,EGAC,在中,【变式训练4】如图,四边形ABCO是菱形,点D在边AB上,以O为圆心、OD为半径的圆切AB于点D(1)试判断直线BC与的位置关系,并说明理由;(2)若,且点D是AB的中点,求图中阴影部分的面积【答案】(1)与相切,理由见解析(2)【解析】(1)解:直线BC与O相切理由是:如图,过点O作OEBC,垂足为点EO与边AB相切于点D,ODABODA=OEC=90,四边形ABCO是菱形,A=C,OA=OC,OADOCE(AAS),OD=OE

8、,OE是O的半径直线BC与O相切(2)解:如图:标出四边形与圆的交点,由已知可得,在RtOAD中,OA=AB=2,AD=,由勾股定理可得OD=,AD=,AOD=30,A=60,AOC=120,阴影部分的面积=类型二、圆的面积问题例已知,在半圆中,直径,点,在半圆上运动,(点,可以与,两点重合),弦(1)如图1,当时,直接写出图中标注顶点的所有全等三角形;(2)如图2,若时,求图中阴影部分(弦AD、直径AB、弧BD围成的(图形)的面积;(3)如图3,取CD的中点,点从点开始运动到点与点重合时结束,在整个运动过程中:点M到AB的距离的最小值是_;直接写出点M的运动路径长_【答案】(1);(2);(

9、3),【解析】(1)证明:,CAD=DBC,DAB=CBA,AC=BD,CAD+DAB=DBC+CBA,即CAB=DBA,在CAB和DBA中,CABDBA(SAS);DAB=CBA,DAB=DCB,CBA=CDA,CDA=DCB,在CAD和DBC中,CADDBC(AAS);(2)解:过作于,如图:半圆O中,直径,;答:阴影部分面积是;(3),解:连接OC、OD、OM,过M作MEAB于E,如图:直径AB=6,弦CD=3,OC=OD=CD=3,COD是等边三角形,M是CD的中点,CM =,OMCD,OM=,ME=, 当OE最大时,ME最小,而当C与A重合(或D与B重合)时,OE最大,如图:COD是

10、等边三角形,M是CD的中点,MOC=30,ME= ,即点M到AB的距离的最小值是,故答案为:;如图,由知:OM,M的轨迹是以O为圆心,为半径的弧,当C与A重合时,AOM=30,同理,当D与B重合时,BOM =30,MOM =120,点M的运动路径长为,故答案为:【变式训练1】如图,AB为的直径,点E在弦AC的延长线上,过点E作,ED与相切于点D(1)求证:AD平分(2)若,求CE和DE的长【答案】(1)见解析;(2),【解析】(1)证明:如图,连接ODED与相切于点D,即AD平分(2)如图,连接BC交OD于点GAB为的直径,又,G为BC的中点,点O点G分别为AB、BC的中点,四边形CEDG是矩

11、形,【变式训练2】小颖复习尺规作图时,进行如下操作(如图):以点B为圆心,适当长为半径画弧,交BA于点Q,交BC于点P,再分别以点P,Q为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点H,作射线BH;以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点M,交AC于点N,再分别以点M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点G,作射线AG交射线BH于点O;作射线CO交AB于点D,且,以点O为圆心,OD为半径作,交AC于点E,交BC于点F,构成如图所示的阴影部分(1)求证:是等腰直角三角形;(2)若,求图中阴影部分的面积【答案】(1)证明过程见解析;(2)【解析】(1)证明:由题意尺规作图知,、分别是和的角平分线,点

12、是的内心,平分,在和中,是等腰三角形,又,是等腰直角三角形(2)连接,如图所示,由(1)得点是的内心,且,是的半径,为的内切圆,均与相切,且,四边形是正方形,设得半径为,由(1)知是等腰直角三角形,解得,又,图中阴影部分的面积为【变式训练3】如图,是的直径,点C在上,点D是的中点,连结,交于点E,连结(1)求的度数(2)求证:(3)若,求的面积【答案】(1)22.5;(2)证明见解析;(3)【解析】(1)解:如下图所示,连接OD,OCABBOC=90点D是的中点,OA=OB,OC垂直平分ABAE=BEEBA=EAB=22.5(2)证明:AB是的直径,ADB=90EAB=22.5,DBA=180-ADB-EAB=67.5EBA=22.5,DBE=DBA-EBA=45DEB=180-ADB-DBE=45DBE=DEBBD=DE(3)解:DE=1,BD=DE=1