1、广西省柳州市广西省柳州市 20232023 届新高三摸底考试数学试卷（届新高三摸底考试数学试卷（文文科）科） 一、选择题一、选择题： （本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分） 1.已知集合2|1Ax x，|1By y，则AB（ ） A. B. 1，1 C.1，） D. 1，1） 2.设mR，若复数12zi 的虚部与复数2zmmi的虚部相等，则12zz（ ） A.3 i B.1 i C.3 i D.3 i 3.已知向量a，b的夹角为3，且2a ，3b ，则aba（ ） A.1 B.3 34 C.2 D.1 4.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳
2、五个社团，该校共有 2000 名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有 8名，参加太极拳社团的有 12 名，则（ ） A.这五个社团的总人数为 100 B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的 20% C.这五个社团总人数占该校学生人数的 8% D.从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为 50% 5.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A.2 B.32 C.53 D.85 6.若35lg0.3,log 2,log 4abc，则（ ） A.cba B.bca C.cab D.abc 7.若4si
3、n5，则cos2（ ） A. 2425 B.725 C. 725 D.2425 8.设变量 x，y 满足约束条件202011xyxyxy ，则目标函数zxy的最小值为（ ） A.2 B.3 C2 D.0 9.已知直线(0)ykx k与圆22:214Cxy相交于 A，B 两点2 3AB ，则 k（ ） A.15 B.43 C.12 D.512 10.若直线4x是曲线sin(0)4yx的一条对称轴，且函数sin()4yx在区间0，12上不单调，则的最小值为（ ） A.9 B.7 C.11 D3 11.已知(1)f x是定义为 R 上的奇函数，f（1）0，且 f（x）在 1,0)上单调递增，在0,)
4、上单调递减，则不等式230 xf的解集为（ ） A.(1,2) B. (,1) C.(2,) D.(,1)(2,) 12.如图 1 所示，双曲线具有光学性质；从双曲线有焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线 E：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，从2F发出的光线经过图 2 中的 A，B 两点反射后，分别经过点 C 和 D，且3cos5BAC ，ABBD，则 E的离心率为（ ） A.52 B.173 C.102 D.5 第第 II 卷卷（非选择题，共非选择题，共 90 分分） 二、填空题二、填空题（每题每题 5 分，满分分，
5、满分 20 分，将答案填在答题卡上分，将答案填在答题卡上） 13.记等差数列 na的前 n 项和为nS，若3450,3aaa，则11S_ 14.若函数( )ln1f xxx，则( )f x在点(1,(1)f处的切线方程为_ 15.已知12,F F是椭圆22143xy的左、右焦点，P 在椭圆上运动，求1211PFPF的最小值为_ 16.在正方体1111ABCDABC D中，点 E 为线段11B D上的动点，现有下面四个命题： 点 E 到直线 AB 的距离为定值； 直线 DE 与直线 AC 所成角为定值； 三棱锥1EABD的外接球体积为定值； 三棱锥1EABD的体积为定值 其中所有真命题的序号是_
6、 三、解答题三、解答题（本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处答案写在答案卡相应题号的空白处） 17.（本小题满分 10 分）在锐角ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知2 sin3aCc （1）求角 A 的大小； （2）若2b，7a ，求ABC 的面积 18.（本小题满分 12 分）已知数列na满足11a ，*121nnaanN （1）证明1na 是等比数列，并求na的通项公式； （2）求数列na的前 n 项和nS 19.（本小题满分 12
7、分）2022 年北京冬奥会的申办成功与“3 亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了 200 人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有 20 人表示对冰球运动没有兴趣 （1）完成2 2列联表，并回答能否有 97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 110 女 合计 （2）已知在被调查的女生中有 5 名数学系的学生，其中 3 名对冰球有兴趣，现在从这 5 名学生中随机抽取2 人，求至少有 1 人对冰球有兴趣的概率 20P Kk 0.10
8、 0.05 0.025 0.010 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 22n adbcKabcdacbd 20.（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥PABC中，2ABBC，2 2PAPBPCAC，O为 AC 的中点 （1）证明：PO平面 ABC； （2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC2MB，求点 C 到平面 POM 的距离 21.（本小题满分 12 分）已知函数 ln2afxxxx （1）讨论当0a时，f（x）单调性 （2）证明： 222xaxxef xx 22.（本小题满分 12 分）已知平面上动点 Q（x，y）到 F（0，1）的距离比 Q（x，y）到直线:2l y
9、 的距离小 1，记动点 Q（x，y）的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程 （2） 设点 P 的坐标为 （0， 1） ， 过点 P 作曲线 C 的切线， 切点为 A， 若过点 P 的直线 m 与曲线 C 交于 M，N 两点，证明：AFMAFN 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，满分 60 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D A B C A C C B C D B 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分共 20 分） 13. 33 14.0 xy 15. 1 16. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 1
10、7.解： （1）由已知及正弦定理知：2sinsin3sinACC 2 分 因为 C 为锐角，则sin0C ，所以3sin2A 4 分 因为 A 为锐角，则3A 5 分 （2）由余弦定理，2222cosbcbcAa 6 分 则244 cos73cc，即2230cc 7 分 即310cc，因为0c ，则3c 8 分 所以ABC 的面积113 3sin3 2sin2232SbcA 10 分 18.解： （1）法一：由121nnaa，得1121nnaa 2 分 Q 11211 120211nnnnaaaaa 所以1na 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 4 分 即12nna ，因此na的通项公式为
11、21nna 6 分 法二：Q 1120a ，且121121 12111nnnnnnaaaaaa 2 分 又所以1na 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 4 分 即12nna ，因此na的通项公式为21nna ， 6 分 （2）由（1）知21nna ， 所以 1212212121nnnSaaa 7 分 12222nn 8 分 2 1212nn 10 分 122nn 11 分 综上122nnSn 12 分 19.解： （1）根据已知数据得到如下列联表 有兴趣 没有兴趣 台计 男 90 20 110 女 60 30 90 合计 150 50 200 2 分 根据列联表中的数据，得到2220090
12、 3020 602006.060110 90 150 5033K 3 分 6.0605.024， 5 分 有 97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关” 6 分 （2）记至少 1 人对冰球有兴趣为事件 D7 分 记 5 人中对冰球有兴趣的 3 人为 A、B、C，对冰球没有兴趣的 2 人为 m、n， 则从这 5 人中随机抽取 2 人， 共有( ,)( , )( ,)()()()()()()()A m A n B m Bn Cm Cn AB AC BC mn、10 种情况 9 分 其 中 2 人 都 对 冰 球 有 兴 趣 的 情 况 有()( ,)()AB A C BC、3种 ， 1 人
13、 对 冰 球 有 兴 趣 的 情 况 有( ,)( , )( ,)()()()A m A n B m Bn Cm Cn、6种， 所以至少 1 人对冰球有兴趣的情况有 9 种11 分 因此，所求事件的概率9()10P D 12 分 20.（1）证明：连接 OB 法一：2,2 2ABBCAC，222ABBCAC，即ABC 是直角三角形， 又 O 为 AC 的中点，OAOBOC 1 分 又PAPBPC， POAPOBPOC 2 分 90POAPOBPOC 3 分 ,POAC POOB OBACO，OB、AC平面 ABC 4 分 PO平面 ABC 5 分 法二：连接OB，PAPC，O 为 AC 的中点
14、POAC 1 分 Q 2,2 2ABBCPAPBPCAC ,2,6ABBC BOPO 222POOBPB 3 分 POOB ,POAC POOB OBACO，OB、AC平面 ABC 4 分 PO平面 ABC 5 分 （2）解：由（1）得 PO平面 ABC，226POPAAO6 分 在COM中，45OCM， 22102cos453OMOCCMOC CM7 分 11101562233POMSPO OM8 分 122233COMABCSS9 分 设点 C 到平面 POM 的距离为 d，由1133P OMCC POMPOMOCMVVSdSPO， 解得2 105d ， 点 C 到平面 POM 的距离为2
15、 10512 分 21.（1）解：由题意可知 222120,2axxaxf xxxx 1 分 对于二次函数22,1 8yxxaa 当18a 时， 0,0fx恒成立，f（x）在0 x上单调递减； 2 分 当108a时， 二次函数220yxx 有 2个大于零的零点， 分别是1211 811 8,44aaxx， 当11 811 8,44aax 0fx，f（x）在11 811 8,44aax单调递增； 当11 811 80,44aax 0fx， f （x） 在11 80,4ax和11 8,4a单调递减 5 分 综上：当18a 时，f（x）在（0，）单调递减 当108a时 f （x） 在11 811 8
16、,44aax单调递增；11 811 80,44aax单调递减 6 分 （2）证明：要证 222xaxxef xx，即证ln2xex 7 分 （方法一）设 ln2(0)xh xexx，则 1xhxex，( )h x在（0，）上为增函数， 因为 10,102hh，所以( )h x在（12，1）上存在唯一的零点 m， 且 10mh mem，即1,lnmemmm 9 分 所以 h（x）在（0，m）上单调递减，在,m 上单调递增， 所以 min1ln22220mh xh memmm， 11 分 因为1,12m，所以等号不成立，所 ln20 xh xex， 所以ln2xex，从而原不等式得证 12 分 （
17、方法二）不妨设 1xh xex，则 1,00 xh xeh， 当0 x时， 00h，当0 x时， 00h， 因此 00,10 xh xhex恒成立， 8 分 则 lnln100hxxxh恒成立， 10 分 则1ln1ln20 xxexxxex恒成立，即ln2xex 又lnxx，所以等号不成立，即ln2xex，从而不等式得证 12 分 22.（1）Q（x，y） ，由题意，得22121xyy， 2 分 化简得24xy，所以 Q 的轨迹方程 C 为24xy 4 分 法二：定义法依题意 Q（x，y）到 F（0，1）的距离与 Q（x，y）到直线 y1 的距离相等，由抛物线定义知 Q 的 轨迹方程 C 为
18、以 F（0，1）为焦点以1y 为准线的抛物线 2 分 所以 Q 的轨迹方程 C 为24xy 4 分 （2）不妨设2,(0)4tA tt，因为24xy ，所以2xy ， 从而直线 PA 的斜率为24201ttt，解得2t ，即 A（2，1） ， 6 分 又 F（0，1） ，所以/AFx轴要使AFMAFN，只需0FMFNkk 7 分 设直线 m 的方程为1ykx，代入24xy并整理，得2440 xkx 首先，21610k ，解得1k 或1k 其次，设 M（1x，1y） ，N（2x，2y） ，则121 24 ,4xxk x x 9 分 21121212121111FMFNxyxyyykkxxx x21121222xkxx kxx x121222xxkx x24204kk 11 分 故存在直线 m，使得AFMAFN， 此时直线 m 的斜率的取值范围为, 11, 12 分