1、第3讲：有理数四则运算模块一 有理数的加减法定 义示例剖析有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值一个数同0相加，仍得这个数有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：确定和的符号；求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差有理数加法的运算技巧：分数与小数均有时，应先化为统一形式带分数可分为整数与分数两部分参与运算多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加若有同分母的分数或易通分的分数
2、，应先结合在一起符号相同的数可以先结合在一起有理数加法的运算律： 两个数相加，交换加数的位置，和不变 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变(加法交换律)(加法结合律)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数有理数减法的运算步骤：把减号变为加号（改变运算符号）把减数变为它的相反数（改变性质符号）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算有理数加减混合运算的步骤：把算式中的减法转化为加法；省略加号与括号；利用运算律及技巧简便计算，求出结果(减法法则)它的含义是正3，负015，负9，正5，负11的和注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合
3、运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式夯实基础【例1】 计算： 【解析】 ； 【例2】 计算： （人大附中期中） （北京师范大学附属实验）【解析】 ； ； 【例3】 计算： 【解析】 ； ； 1； ； 9能力提升【例4】 计算： 4()()6 111921993199941999951999996199999971999999981999999999 【解析】 添上987654321，依次与各数配对相加，得：原式 = 20200210210210-(987654321)= 2
4、222222220-45= 2222222175 原式 原式模块二 有理数乘除法定 义示例剖析有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数同0相乘，都得0有理数乘法运算律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 (乘法交换律)(乘法结合律)(乘法分配律)有理数乘法法则的推广：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数（奇负偶正）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0在进行乘法运
5、算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0 ()有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值 夯实基础【例5】 计算： 【解析】 ； 【例6】 计算： 【解析】 11； ； ； 0模块三 有理数四则混合运算定 义示例剖析有理数混合运算的运算顺序：1 先乘方（下节课学习），再乘除，最后加减；
6、 同级运算，从左到右进行； 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算三级运算，然后二级，最后一级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）”易错点1：注意运算顺序，先乘除后加减，同级的从左到右依次运算，有括号的先算括号里的易错点2：如果只有乘除的，先确定符号，把所有的数都变为正数进行运算能力提升【例7】 计算： （北师大附属实验中学期
7、中） （清华附中期中）【解析】 ； ； 【例8】 计算： 20051001 【解析】 原式 = (20041)(10021) = (20031001)() =1003 原式 探索创新【例9】 从下面每组数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是 第一组：，；第二组：，；第三组：，【解析】 所有乘积的总和是：【例10】 用“”或“”填空如果，那么 0；如果，那么 0 如果，且，试确定、的符号.【解析】 ； 说明、异号，那么；又因为，所以；因为，所以，进而得，且，所以，.【例11】 若，则是（ ）A正数 B非正数 C负数 D非负数 已知有理数两两不等，则中负数的个数是（ ）A1个 B2
8、个 C3个 D0个或2个 若，是互不相等的整数，且，则的值为（ ）A0 B4 C D无法确定 如果4个不同的正整数，满足，那么的值是多少？ 【解析】 B由，得，可知、的符号相反或者，故有； B三数乘积为1，则要么为3正，要么为1正2负；分析可知为1正2负 A个数分别是，所以； ，所以这4个数分别为，所以【例12】计算(0.125)【解析】设a =，b = 0.125，c =，则原式= (b)= 1【点评】此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：，0.125，因此，采用变量替换就大大减少了计算量实战演练知识模块一 有理数加减法 课后演练【演练1】 填空： 【解析】 ； 【演练2】 【解析】 ； 0； 1； ； ； 知识模块二 有理数乘除法 课后演练【演练3】 【解析】 ； 2； 【演练4】 计算： 【解析】 ； ； 知识模块三 有理数加减乘除混合运算 课后演练【演练5】 计算： 【解析】【演练6】 如果，试确定的符号； 已知整数满足，且，那么 【解析】 说明、异号；说明、异号，所以、同号，所以的符号为正； 易知，则