1、第二十二章二次函数第二十二章二次函数 单元测试卷单元测试卷 1. 下列函数中，不是二次函数的是( ) A. y12x2 B. y2(x1)24 C. y12 (x1)(x4) D. y(x2)2x2 2. 把二次函数2134yxx 用配方法化成2ya xhk的形式（ ） A. 21224yx B. 21244yx C. 21244yx D. 211322yx 3. 对抛物线 y=x22x3 而言，下列结论正确是（ ） A. 与 x轴有两个交点 B. 开口向上 C. 与 y轴交点坐标是(0，3) D. 顶点坐标是(1，-2) 4. 二次函数2y2xmx8图象如图所示，则 m 的值是 A. 8 B
2、. 8 C. 8 D. 6 5. 已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，当-5x0时，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值-5、最大值 0 B. 有最小值-3、最大值 6 C. 有最小值 0、最大值 6 D. 有最小值 2、最大值 6 6. 将抛物线 y=3x2向左平移 2个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线为（ ） A. y=3（x+2）21 B. y=3（x2）2+1 C. y=3（x2）21 D. y=3（x+2）2+1 7. 二次函数 yax2bxc(a0)的图象如图，下列结论正确的是( ) A. a0 B. b24ac0 C. 当1x0 D. 2ba=1
3、8. 如图， 抛物线2yxbxc与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，45OBC，则下列各式成立是（ ）. A. 10b c B. 10bc C. 10b c D. 10b c 9. 已知二次函数 yax2bxc(其中 a0，b0，c0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：图象的开口向上；图象的顶点一定在第四象限；图象与 x 轴的交点有一个在 y轴的右侧以上正确的说法的个数是( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 10. 在同一坐标系内，一次函数yaxb与二次函数28yaxxb的图象可能是 A. B. C. D. 11. 若函数 y(m3)2213mmx是二次函数，则 m
4、_. 12. 二次函数 y2x2+bx+3的图象的对称轴是直线 x1，则常数 b 的值为_ 13. 抛物线 y2x2向左平移 1 个单位，再向上平移 7个单位得到的抛物线的解析式是_ 14. 如图， 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（1， 0） ， B （3， 0） 两点， 与 y 轴交于点 C （0，3） ，则二次函数的图象的顶点坐标是_ 15. 二次函数 y=x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数 y=bx+c 的图象不经过第_象限 16. 如图，在正方形ABCD中，E为 BC上的点，F为 CD 边上的点，且 AE=AF，AB=4，设 EC=x， AEF 的面
5、积为 y，则 y与 x 之间的函数关系式是_. 17. 求经过 A(1,4)，B(2,1)两点，对称轴为 x1的抛物线的解析式 18. 已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数 y5x与二次函数 yx22xc的图象交于点A(1，m) (1)求 m，c的值； (2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标 19. 用 12米长的木料，做成如图的矩形窗框，则当长和宽各多少米时，矩形窗框的面积最大？最大面积是多少？ 20. 如图，抛物线 yax25ax4a 与 x 轴相交于点 A，B，且过点 C(5，4) (1)求 a值和该抛物线顶点 P 的坐标； (2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二
6、象限，并写出平移后抛物线的表达式 21. 已知开口向上的抛物线 yax22x|a|4 经过点(0，3) （1）确定此抛物线的解析式； （2）当 x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值 22. 已知二次函数 yax2bxc 的图象 C 经过(5,0)，50,2，(1,6)三点，直线 l的解析式为 y2x3. (1)求抛物线 C解析式； (2)判断抛物线 C 与直线 l有无交点； (3)若与直线 l平行的直线 y2xm与抛物线 C 只有一个公共点 P，求点 P 的坐标 23. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要向前方滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”， 为了测定某种型号的汽车
7、的刹车性能(车速不超过 140 km/h)， 对这种汽车进行测试， 测得数据如下表： 刹车时车速/km h1 0 10 20 30 40 50 60 刹车距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5 7.8 (1)以车速为 x 轴，以刹车距离为 y轴，建立平面直角坐标系，根据上表对应值作出函数的大致图象； (2)观察图象估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式； (3)该型号汽车在国道发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为 46.5 m，推测刹车时的车速是多少？请问事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？ 第二十二章二次函数第二十二章二次函数 单元测试卷单元测试卷 1. 下列
8、函数中，不是二次函数的是( ) A y12x2 B. y2(x1)24 C. y12 (x1)(x4) D. y(x2)2x2 【答案】D 【解析】 【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可 【详解】解：Ay12x2是二次函数； By2（x1）2+42x24x+6，是二次函数； Cy12（x1）（x+4）12x232x2，是二次函数； Dy（x+2）2x24x+4，是一次函数 故选 D 【点睛】本题考查了二次函数的定义掌握二次函数的定义：形如 yax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的函数叫做二次函数是解题的关键 2. 把二次函数2134yxx 用配方法化成2ya xhk的形
9、式（ ） A 21224yx B. 21244yx C. 21244yx D. 211322yx 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法的步骤换成顶点式即可 【详解】22221111343441 3244444yxxxxxxx 故选 C 【点睛】本题考查顶点式的转换,关键在于熟练掌握配方法 3. 对抛物线 y=x22x3 而言，下列结论正确的是（ ） A 与 x 轴有两个交点 B. 开口向上 C. 与 y 轴交点坐标是(0，3) D. 顶点坐标是(1，-2) 【答案】D 【解析】 【分析】根据判别式的符号，可判断图象与 x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x=0，可求图象
10、与 y 轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标 【详解】解：A、=22-4 （-1） （-3）=-80，抛物线与 x 轴无交点，本选项错误； B、二次项系数-10，抛物线开口向下，本选项错误； C、当 x=0时，y=-3，抛物线与 y 轴交点坐标为（0，-3） ，本选项错误； D、y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2，抛物线顶点坐标为（1，-2） ，本选项正确 故选 D 4. 二次函数2y2xmx8的图象如图所示，则 m 的值是 A. 8 B. 8 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据抛物线与 x 轴只有一个交点，对应的一元二次方程根的判别式 =0（或由抛物
11、线顶点的纵坐标等于 0） ，列式求出 m 的值，再根据对称轴在 y 轴的左边求出 m 的取值范围，从而得解： 由图可知，抛物线与 x 轴只有一个交点， 对应的一元二次方程22xmx80的 =m24 2 8=0，解得 m= 8， 对称轴为直线mx02 2 ，m0 m 的值为 8故选 B 5. 已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，当-5x0时，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值-5、最大值 0 B. 有最小值-3、最大值 6 C. 有最小值 0、最大值 6 D. 有最小值 2、最大值 6 【答案】B 【解析】 【详解】由二次函数的图象可知， -5x0， 当 x=2时函数有
12、最大值，y最大=6； 当 x=-5 时函数值最小，y最小=-3 故选：B 6. 将抛物线 y=3x2向左平移 2个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线为（ ） A. y=3（x+2）21 B. y=3（x2）2+1 C. y=3（x2）21 D. y=3（x+2）2+1 【答案】A 【解析】 【详解】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则，抛物线 y=3x2向左平移 2个单位，再向下平移 1个单位，所得抛物线为 y=3（x+2）21.故选 A. 考点：二次函数图象的平移法则. 7. 二次函数 yax2bxc(a0)的图象如图，下列结论正确的是( ) A. a0 B. b
13、24ac0 C. 当1x0 D. 2ba=1 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据二次函数的图象和性质进行判断即可. 解：抛物线开口向上， 0a A 选项错误， 抛物线与 x轴有两个交点， 240bac B 选项错误， 由图象可知，当1x3 时，y0，b0，c0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：图象的开口向上；图象的顶点一定在第四象限；图象与 x 轴的交点有一个在 y轴的右侧以上正确的说法的个数是( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：a0，故正确； 顶点横坐标-2ba0，故顶点不在第四象限，错误， a0， 抛物线开口
14、向上， c0， 抛物线与 y轴负半轴相交， 故与 x 轴交点，必然一个在正半轴，一个在负半轴，故正确 故选 C 10. 在同一坐标系内，一次函数yaxb与二次函数28yaxxb的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】x=0，求出两个函数图象在 y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出 a0，然后确定出一次函数图象经过第一、三象限，从而得解 【详解】x=0时，两个函数的函数值 y=b， 所以，两个函数图象与 y轴相交于同一点，故 B、D选项错误； 由 A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a0， 所以，一次函数 y=ax+b经过第一三象限， 所以，A
15、选项错误，C选项正确 故选 C 【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数ykxb在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等 11. 若函数 y(m3)2213mmx是二次函数，则 m_. 【答案】-5 【解析】 【分析】根据二次函数的定义列出关于 m的方程，求出 m的值即可 【详解】函数 y=（m3）2213mmx是二次函数， m2+2m-13=2 且 m-30 解得：m=-5. 考点：二次函数的定义 12. 二次函数 y2x2+bx+3的图象的对称轴是直线 x1，则常数 b 的值为_ 【答案】-4 【解析】 【分析】根据对称轴
16、方程，列出关于 b的方程即可解答 【详解】二次函数 y=2x2+bx+3 的对称轴是直线 x=1， x=22b=1， b=4 故答案为4 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解答本题的关键 13. 抛物线 y2x2向左平移 1 个单位，再向上平移 7个单位得到的抛物线的解析式是_ 【答案】y2x24x5 【解析】 【详解】解：抛物线 y2x2的顶点坐标为（0，0） ， 把点（0，0）向左平移 1 个单位，再向上平移 7 个单位得到的对应点的坐标为（-1，7） ， 所以平移后的抛物线的解析式为 y= 2（x+1）2+7 =2x24x+5 故答案为：y=2x24x+5 14. 如图，
17、 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（1， 0） ， B （3， 0） 两点， 与 y 轴交于点 C （0，3） ，则二次函数的图象的顶点坐标是_ 【答案】 （2，-1） 【解析】 【详解】试题分析：已知二次函数 yax2bxc 的图像与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，可设解析式为：y=a（x-x1） （x-x2） （a0） ，即 y=a（x-1） （x-3） ，把点 C（0，3） ，代入得 a=1则 y=（x-1） （x-3）=x2-4x+3=（x-2）2-1 所以图象的顶点坐标是（2，-1） 考点：用待定系数法求函数解析式 15. 二次函数 y=x
18、2+bx+c的图象如图所示，则一次函数 y=bx+c 的图象不经过第_象限 【答案】四 【解析】 【详解】解：根据图象，由抛物线的对称轴在 y轴右侧，得到 a与 b异号，根据抛物线开口向下得到 a 小于0，故 b大于 0，再利用抛物线与 y轴交点在 y轴正半轴，得到 c大于 0，即 a0，b0，c0 因此，由于函数 y=bx+c的k=b0，m=c0，故它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限 故答案为：四 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系：对于，函数y=kx+m，当k0，m0时，函数y=kx+m的图象经过第一、二、三象限；当k0，m0时，函数y=kx+m的
19、图象经过第一、 三、 四象限； 当k0，m0时， 函数y=kx+m的图象经过第一、 二、 四象限； 当k0，m0时，函数y=kx+m的图象经过第二、三、四象限 16. 如图，在正方形ABCD中，E为 BC上的点，F为 CD 边上的点，且 AE=AF，AB=4，设 EC=x， AEF 的面积为 y，则 y与 x 之间的函数关系式是_. 【答案】y=-12x2+4x 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得 AB=AD，再利用“HL”证明 Rt ABE 和 Rt ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得 BE=DF，然后求出 CE=CF，再根据 AEF的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积列
20、式整理即可得解 【详解】解：在正方形 ABCD 中，AB=AD， 在 RtABE 和 RtADF中， AEAFABAD， RtABERtADF（HL） ， BE=DF， CE=CF， CE=x， BE=DF=4-x， y=42-212 4 （4-x）-12x2， =-12x2+4x， 故答案为：y=-12x2+4x 17. 求经过 A(1,4)，B(2,1)两点，对称轴为 x1的抛物线的解析式 【答案】y=x2+2x+1 【解析】 【分析】先设出抛物线的顶点式，然后将 A，B 两点代入，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可. 【详解】解：对称轴为 x1， 设其解析式为 ya(x1)2k(a0)
21、， 抛物线过 A(1,4)，B(2,1)， 2241 112 1akak ， 解得10ak， y(x1)2x22x1 18. 已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数 y5x与二次函数 yx22xc的图象交于点A(1，m) (1)求 m，c的值； (2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标 【答案】 （1）5m，2c； （2）对称轴为直线 x1，顶点坐标为(1，1) 【解析】 【分析】 （1）将点 A的坐标1,m代入反比例函数的解析式求出 m 的值，再将求出的点 A的坐标代入二次函数的解析式就可以求出 c 的值； （2）将求出的二次函数的解析式的一般式化为顶点式就直接求出抛物线的对称轴和顶点坐标
22、【详解】解： （1）点 A在反比例函数5yx的图象上， 551m ， 点 A坐标为1, 5 点 A在二次函数图象上， 12c5，即 c2； （2）二次函数的解析式为222yxx ， 222211yxxx ， 对称轴为直线 x1， 顶点坐标为1, 1 【点睛】本题考查待定系数法求解析式、二次函数的图象与性质，掌握反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键 19. 用 12米长的木料，做成如图的矩形窗框，则当长和宽各多少米时，矩形窗框的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当长宽各 2 米时，矩形窗框的面积最大，最大面积是 4平方米 【解析】 【分析】设窗框长为 x米，则宽为(4x)米，然后根据矩
23、形的面积公式得到二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求得最大值即可. 【详解】设窗框长为 x米，则宽为123x3(4x)米， 则矩形窗框的面积为 yx(4x)x24x(x2)24， a10， 当 x2时，y最大值4，此时宽为 4x2， 即当长宽各 2米时，矩形窗框的面积最大，最大面积是 4 平方米 20. 如图，抛物线 yax25ax4a 与 x 轴相交于点 A，B，且过点 C(5，4) (1)求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标； (2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式 【答案】(1) (52，94)；(2)答案不唯一，合理即可，yx2
24、x2. 【解析】 【详解】试题分析：将点 c 坐标代入函数表达式即可求出 a 的值，a=1，将函数表达式转换为顶点式 yx25x4(x52)294，所以顶点坐标是（52，94） ；将抛物线平移后顶点在第二象限，答案不唯一，可通过平移顶点，例如先向左平移 3 个单位长度，则变为 y (x532)294，再向上平移 4 个单位，得到y (x532)294+4= (x12)274= x2x2. 解：(1)把点 C(5，4)代入抛物线 yax25ax4a，得 25a25a4a4.解得 a1. 二次函数的表达式为 yx25x4. yx25x4(x52)294， 顶点 P 的坐标为(52，94) (2)答
25、案不唯一，合理即可，如：先向左平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到的二次函数表达式为 y(x523)2944(x12)274， 即 yx2x2. 21. 已知开口向上的抛物线 yax22x|a|4 经过点(0，3) （1）确定此抛物线的解析式； （2）当 x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值 【答案】（1）抛物线的解析式为 y=x 2 -2x-3；（2）当 x=1时，y 有最小值-4 【解析】 【分析】 （1）用待定系数法求得|a|的值，因为抛物线开口向上，所以 a0，进而得到抛物线的解析式； （2）将抛物线的解析式变换成顶点式即可得到答案. 【详解】 （1）由抛物线过（
26、0，-3）， 得：-3=|a|-4， 解得|a|=1，即 a= 1， 抛物线开口向上， a=1， 故抛物线的解析式为 y=x2 -2x-3； （2）y=x22x3=（x-1）2-4， 当 x=1 时，y有最小值-4 22. 已知二次函数 yax2bxc 的图象 C 经过(5,0)，50,2，(1,6)三点，直线 l的解析式为 y2x3. (1)求抛物线 C的解析式； (2)判断抛物线 C 与直线 l有无交点； (3)若与直线 l平行的直线 y2xm与抛物线 C 只有一个公共点 P，求点 P 的坐标 【答案】(1) y12x23x52；(2)抛物线与直线无交点；(3)点 P 的坐标为(1,0)
27、【解析】 【分析】（1）用待定系数法求求解抛物线的解析式即可； （2）联立抛物线 C 与直线 l的解析式得到关于 x 的一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式判断即可； （3）联立抛物线 C 与直线的解析式得到关于 x 的一元二次方程， 再根据一元二次方程根的判别式求得 m的值，从而得到 P 点坐标. 【详解】(1)把(5,0)，50,2，(1,6)分别代入抛物线， 解得 a12，b3，c52， y12x23x52； (2)令12x23x522x3， 整理后，得12x2x1120， 0， 抛物线与直线无交点； (3)令12x23x522xm， 整理后，得12x2x52m0， 由 12412
28、 (52m)0， 解得 m2， 求得点 P 的坐标为(1，0) 【点睛】本题主要考查抛物线和直线交点的相关知识，解决此类问题的关键是联立抛物线和直线的解析式得到方程，求出它们的公共解，由解的个数判断抛物线与直线的交点个数. 23. 行驶中汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要向前方滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”， 为了测定某种型号的汽车的刹车性能(车速不超过 140 km/h)， 对这种汽车进行测试， 测得数据如下表： 刹车时车速/km h1 0 10 20 30 40 50 60 刹车距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5 7.8 (1)以车速为 x 轴，以刹车距离
29、为 y轴，建立平面直角坐标系，根据上表对应值作出函数的大致图象； (2)观察图象估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式； (3)该型号汽车在国道发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为 46.5 m，推测刹车时的车速是多少？请问事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？ 【答案】(1)见解析；（2)函数关系式为 y0.002x20.01x(0 x140)；(3)事故发生时汽车超速行驶 【解析】 【详解】试题分析： （1）依题意描点连线即可 （2）设抛物线为，再根据表格中所给数据可得方程 ，解出 a，b，c 即可 （3）当 y=46.5 时，代入函数关系式解出 x 的值，根据题意进行取舍即可 考点：二次函数的应用 点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，点的坐标的求法及运用二次函数解决实际问题的应用，解答是求出函数的解析式是关键