1、北京市海淀区2021-2022学年九年级上期中数学试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A. 1，B. 1，6，1C. 0，1D. 0，6，2. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 将抛物线向下平移1个单位长度，得到抛物线是（ ）A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，是半圆直径，点，在半圆上若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 6. 如图，在
2、正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（ ）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D7. 已知抛物线，其中，下列说法正确是（ ）A. 该抛物线经过原点B. 该抛物线的对称轴在轴左侧C. 该抛物线的顶点可能在第一象限D. 该抛物线与轴必有公共点8. 如图，在中，动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长度的速度移动设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（ ）A. 正比例函数关系，一次函数关系B. 正比例函数关系，二次函数关系C. 一次函数关系，正比例函数关系D. 一次函数关系，二次
3、函数关系第二部分 非选择题二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 若点与点关于原点对称，则点的坐标为_10. 若点，都在二次函数的图象上，则与的大小关系是：_（填“”，“”或“”）11. 如图，矩形中，以点为中心，将矩形旋转得到矩形，使得点落在边上，此时的长为_12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为_13. 如图，C，D为AB的三等分点，分别以C，D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点E，F，连接EF若AB=9，则EF的长为_14. 1275年，我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除算法中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十
4、二步问阔及长各几步意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步若设长为x步，则可列方程为_15. 数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，测出，的长度，即可计算得出轮子的半径现测出cm，cm，则轮子的半径为_ cm16. 已知，为抛物线（）上任意两点，其中若对于，都有，则的取值范围是_三、解答题（本题共68分，第1721题，每小题5分，第2223题，每小题6分，第24题5分，第2526题，每小题6分，第2728题，每小题7分）17. 解方程：18. 如图，是等边三角形，点在边上，以为边作等
5、边连接，求证：19. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，（1）求这个二次函数的解析式；（2）一次函数 （） 图象也经过点，结合图象，直接写出不等式的解集20. 如图，是上的两点，是的中点求证：21. 已知：，是直线上的两点求作：，使得点在直线上方，且作法：分别以，为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点；以点为圆心，长为半径画圆； 在劣弧上任取一点（不与，重合），连接，就是所求作的三角形（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：在优弧上任取一点（不与，重合），连接，是等边三角形，在上，（_）（填推理的依据）四边形内接于，（_）（填推理的依据）22.
6、已知关于的一元二次方程（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根均为负数，求的取值范围23. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况他以水平方向为轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处小明某次试投时的数据如图所示（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；（3）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于10m，成绩为优秀请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀24. 关于的一元二次方程经过适
7、当变形，可以写成（） 的形式现列表探究的变形： 变形mnp50431t6227回答下列问题：（1）表格中的值为_；（2）观察上述探究过程，表格中与满足的等量关系为_；（3）记的两个变形为和（），则的值为 25. 如图，为的直径，弦与交于点，（1）求的度数；（2）若，求的长26. 在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于点（1）直接写出点的坐标；（2）点是抛物线上一点，当点在抛物线上运动时，存在最大值若，求抛物线的表达式；若，结合函数图象，直接写出的取值范围27. 如图，已知（），是的平分线，分别在，上，且以点为中心，将线段旋转到处，使点的对应点恰好在射线上，在射线上取一点，使得（1）依题
8、意补全图；求证：；（2）连接，若，求的度数，并直接写出的值28. 在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点，轴正半轴上存在点，使，且（如图1），则称点与点为关联点（1）在点，中，与为45关联点是_；（2）如图2， 若线段上存在点，使点与点为45关联点，结合图象，求的取值范围；（3）已知点，若线段上至少存在一对30关联点，直接写出的取值范围北京市海淀区2021-2022学年九年级上期中数学试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项的定义找出所求的系数及常数项即可【详解】解：
9、一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是1，-6，-1故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项2. 【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念逐项分析即可中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B.是中心对称图形，故该选项符合题意；C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；D.不是
10、中心对称图形，故该选项不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键3. 【答案】A【解析】【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可【详解】解：抛物线向下平移1个单位长度后得到新抛物线的解析式为：故选A【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式4. 【答案】D【解析】【分析】把常数项移到等号的右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，再依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可【详解】解：，即故选D
11、【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键5. 【答案】D【解析】【分析】由题意易得ACB=90，则有A=40，然后根据圆内接四边形的性质可求解【详解】解：是半圆的直径，ACB=90，A=40，四边形ABDC是圆内接四边形，；故选D【点睛】本题主要考查圆周角及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键6. 【答案】B【解析】【分析】连接、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点为旋转中心【详解】解：如图，绕某点旋转一定的角度，得到，连接、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，三条线段的垂直平分线正好都过点，
12、即旋转中心是故选：B【点睛】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上7. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的图象与系数的关系，需要对题中所给的，进行分类讨论，也可以画出它的草图，然后根据图象解答即可【详解】解：A、，该抛物线与轴的交点在轴上方，不经过原点，此选项说法错误，不符合题意；B、，与异号，该抛物线的对称轴在轴右侧，此选项说法错误，不符合题意；C、由已知可得抛物线顶点为，已知，所以顶点可能在第一象限，第四象限或者轴上，此选项说法正确，符合题意；D、令，则，而无法判断其正负情况，不能判断抛
13、物线与轴必有公共点，此选项说法错误，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了二次函数各项系数对其图象的影响，对已知条件进行分类讨论是解决问题的关键8. 【答案】D【解析】【分析】先根据题意求出，则，即，再由直角三角形的面积公式即可得到，再根据一次函数与二次函数的定义即可判断【详解】解：由题意得：，即C=90，即，y与t，S与t满足的函数关系分别是一次函数和二次函数关系，故选D【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键在于能够准确根据题意求出y与t，S与t满足的函数关系式二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 【答案】【解析】【分析】根据平面直角坐标系中关
14、于原点对称点的坐标特征直接求解，点关于原点对称的点的坐标为 【详解】解：点与点关于原点对称点坐标为【点睛】本题主要考察了在平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标，熟练掌握关于原点对称点的特点是解答此题的关键10.【答案】【解析】【分析】根据二次函数图像的性质，得函数对称轴为：；再根据函数对称性以及函数的递增性分析，即可得到答案【详解】二次函数的对称轴为： 当和时，对应的二次函数值相等，均等于又当时，随着的增大而增大对应的二次函数值大于对应的二次函数值 故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的知识，解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解11. 【答案】1【解析】【分析】先由旋转的性质可
15、知，再由矩形的性质可得AD=BC=4，则【详解】解：由旋转的性质可得，四边形ABCD是矩形，AD=BC=4，故答案为：1【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质12. 【答案】，【解析】【分析】根据对称性得出抛物线与轴的另一个交点，即可得出关于的方程的解【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，抛物线与轴的另一个交点为，关于的方程的解为，故答案为：，【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，解题关键是明确抛物线与轴的交点坐标和一元二次方程的解的关系13. 【答案】【解析】【分析】证明四边形CEDF是菱形，EDC和FDC是等边三角形，在Rt
16、EOD中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可【详解】解：连接CE、ED、DF、FC，设AB、EF相交于点O，如图：C，D为AB的三等分点，且AB=9，AC=CD=DB=3，由题意得：CE=ED=DF=FC=CD=3，四边形CEDF是菱形，且EDC和FDC都是等边三角形，EOD=90，EDO=60，在RtEOD中，DEO=30，ED=3，DO=，EO=，EF=2EO=，故答案为：【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，圆的基本概念，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键14. 【答案】x（x12）864【解析】【分析
17、】由长和宽之间关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【详解】解：长为x步，宽比长少12步，宽为（x12）步依题意，得：x（x12）864【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键15. 【答案】#2.5【解析】【分析】连接OB，在RtOBC中，根据勾股定理即可求得半径【详解】垂直平分，圆心在上，设的圆心为，连接，设，在中，解得故答案为：【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键16. 【答案】a1或a-1#a-1或a1【解析】【分析】先根据题意求出，然
18、后由，得到即，再由，可以推出恒成立，则要使恒成立则，由此进行求解即可【详解】解：，为抛物线（）上任意两点，对于，都有，恒成立，要使恒成立则，或，故答案为：或【点睛】本题主要考查了二次函数上点的坐标特点，平方差公式和绝对值，以及不等式，解题的关键在于能够准确判断出恒成立三、解答题（本题共68分，第1721题，每小题5分，第2223题，每小题6分，第24题5分，第2526题，每小题6分，第2728题，每小题7分）17. 【答案】，【解析】【分析】先将一元二次方程化成一般式，观察后可以通过因式分解法解答【详解】解：由已知得：，因式分解得，【点睛】本题考查了解一元二次方程，通过观察可以利用因式分解法解
19、方程，这种方法简便易用，选择适当的方式解一元二次方程式解题的关键18. 【答案】见解析【解析】【分析】由于和均为等边三角形，根据等边三角形的性质可知：，由全等的判定定理“SAS”即可证明BCD ACE，最后由全等的性质即可证明BD=AE【详解】证明： ABC，CDE均为等边三角形， AC=BC，CD=CE，ACB=ACE=60 BCD ACE BD=AE【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握这些知识为解题关键19. 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）把点，代入二次函数解析式进行求解即可；（2）先画出一次函数与二次函数的函数图像，然后不等式的解集即为一次函数图像在二次函数图像上方
20、时，自变量的取值范围【详解】解：（1） 二次函数的图象经过点， 解得 二次函数的解析式为 （2）如图所示，即为一次函数与二次函数在同一坐标系下的函数图像，由题意得：不等式的解集即为一次函数图像在二次函数图像上方的自变量的取值范围，不等式的解集为【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，利用图像法求不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法20. 【答案】见解析【解析】【分析】连接OC，由是的中点，得到，则AOC=BOC，然后证明AOC BOC即可得到A=B【详解】证明：连接OC 是的中点， ， AOC=BOC， OA=OB，OC=OC， AOC BOC（SAS）， A=B【点睛
21、】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，同圆中等弧所对的圆心角相等，解题的关键在于能够熟练掌握同圆中，等弧所对的圆心角相等21.【答案】（1）见解析；（2）同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补【解析】【分析】（1）按照题目所给作法作出相应图形即可；（2）根据等边三角形的判定与性质可得，再根据圆周角定理可得，最后再根据圆的内接四边形的性质即可证得【详解】解：（1）如下图即为所求（2）证明：如图，在优弧上任取一点（不与，重合），连接，是等边三角形，在上，（同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半）四边形内接于，（圆的内接四边形对角互补）故答案为：同弧所对圆周角等于该弧所对圆
22、心角的一半；圆的内接四边形对角互补【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型22. 【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据根的判别式可得出答案；（2）由求根公式可求出方程的两根，由题意得出的不等式组，则可得出答案【详解】解：（1）证明：依题意，得= 4 ， 该方程总有两个不相等的实数根 （2）解：， ， 方程的两个根均为负数， 解得【点睛】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，掌握根的判别式、解一元一次不等式是解题关键23. 【答案】（1）见解析；（2）；（
23、3）达到优秀【解析】【分析】（1）根据题意可直接画出图象；（2）由图中信息可设抛物线解析式为，然后把点代入求解即可；（3）当y=0时，则有，求解即可得到点C的坐标，进而问题可求解【详解】解：（1）如图所示（2）解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，3），点A的坐标为（0，2），设该抛物线的表达式为，由抛物线过点A，有，解得，该抛物线的表达式为；（3）解：令，得，解得，（C在x正半轴，故舍去）， 点C的坐标为（，0）， ，由，可得， 小明此次试投的成绩达到优秀【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是由题中信息得出抛物线的解析式24. 【答案】（1）3；（2）；（3）【解析】【分析】（1
24、）先根据题意得到则，再由原方程为，则由此求解即可；（2）根据表格可以发现；（3）根据（2）得到的结论可知，则，由此即可得到答案【详解】解：（1），即，原方程为，故答案为：3；（2）根据表格可以发现，故答案为：；（3）由（2）可知，则-得即，故答案为：-1【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式以及根与系数的关系，解题的关键在于能够准确读懂题意进行求解25. 【答案】（1） ；（2）【解析】【分析】（1）由为直径，得出,根据圆角定理即可得到答案； （2）连接 ，过 作 于 构成直角三角形，进而求出，根据 角所对应的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理求得出 的长，然后由垂径定理求出的长
25、【详解】（1）解： A，D在 O上， ，, ， 在 ACE中，（2）解：连接OC，过O作OHCD于H OA=OC，A=45， ACO=A=45 AOC=90 RtAOC中，AC=12， ACD=75， RtOCH中， OHCD于H， 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用垂径定理，勾股定理等几何知识点来分析，判断，解答26. 【答案】（1）（0，2）；（2）；【解析】【分析】（1）根据题意令，即可求得点的坐标；（2）依题意，当时，该抛物线的顶点为（0，2），设抛物线的解析式为，待定系数法求二次函数解析式即可；由抛物线（）经过点，可得，进而根据顶点
26、公式求得，作出函数图象进而求得的取值范围详解】（1）抛物线（）与轴交于点令，解得（0，2）.（2） 依题意，当时，该抛物线的顶点为（0，2）.设抛物线的解析式为.由抛物线过A（1，），得，解得 抛物线的表达式为抛物线（）经过点，即点是抛物线上一点，当点在抛物线上运动时，存在最大值，当为该抛物线的顶点时，可取得最大值，由（1）可知则当时，N取得最小值，最小值为，即当时，即当时，,即列表a-9-8-7-6-5-4-3-2N32.78132.57152.3752.22.06322.125描点，连线，如图，当时，【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与坐标轴的交点，顶点坐标，掌握二次函
27、数的图象与性质是解题的关键27. 【答案】（1）见解析；见解析；（2）【解析】【分析】（1）按照题意补全图形即可；根据角平分线和平行线得出AB= BO，再根据旋转得出AB= AD，CB= OD即可；（2）证明ABCADO，得出CDA=ODA =，再利用三角形内角和求出即可；设DO为x，由勾股定理可得CO为x，由（1）中可求AD，进而可求比值【详解】（1） 补全图形，如图. 证明： OP平分MON，MON=， AOC=AON= ABON， BAO=AON BAO=AOC AB= BO 由旋转，AO=AC， AOC=ACO=ACO=AON,OAC=,OAC=BADBAC=DAO ABCADO AB
28、= AD，CB= OD BO=AD OC= CB +BO， OC= OD+ AD（2）如图所示， ABON，BAD+ADO=180.,ADO=. AC=AO，CD=OD，AD=AD， ADC ADODCA=DOA =,CDA=ODA =. 在CDO中，OCD+CDO+DOC=180， 设DO为x，CDA=ODA =45，由（1）可知，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解题关键是恰当运用全等三角形的判定与性质确定线段之间的数量关系28. 【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据题意作PAy轴于点A，QBx轴于点B，根据点P的坐标得出和是等
29、腰直角三角形，然后根据得出是等腰直角三角形，即可求解；（2）根据题意表示出为（0，），为（，0），然后表示出关联点所在的表达式，将y=4代入表达式表示出横坐标，根据在线段上可表示出横坐标的取值范围，即可求出m的取值范围；（3）根据题意求出当点P，Q，B三点重合时n的值，然后根据30角的三角函数值求解即可【详解】解：（1）如图所示，作PAy轴于点A，QBx轴于点B，P，和是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，当时，点Q的坐标为，与为45关联点的是；（2）解：如图所示，对点P（m，8）（）而言，依定义，要使，则有：为（0，），为（，0），于是函数（）上的点Q即为点P的45-关联点，若当点Q在线段MN上时，则有，由，得，解得（3）点Q和点P在线段AB上，当点P离B点越近时，点Q的横坐标越小，当点P，Q，B三点重合，点和点和O点重合，如图所示，作PEy轴，当线段上至少存在一对30关联点时，【点睛】此题考查了平面直角坐标系中的动点问题，等腰直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是根据题意表示出点的坐标