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2021年沪教版数学七年级下学期期末复习练习-几何证明

1、期末复习期末复习 七下七下三角形三角形全等证明全等证明 1. 知:如图,知:如图,ABCD 是正方形,是正方形,FAD=FAE. 求证:求证:BE+DF=AE. 【解析】 延长 CB 至 M,使得 BM=DF,连接 AM. AB=AD,ADCD,ABBM,BM=DF ABMADF AFD=AMB,DAF=BAM ABCD AFD=BAF=EAF+BAE=BAE+BAM=EAM AMB=EAMAE=EM=BE+BM=BE+DF. 2. 如图,在ABC 中,BD=DC,1=2, 求证:AD 是BAC 的平分线. 证明:证明:因为 BD=DC(已知) , 所以3=4(等边对等角). (2 分) 因为

2、1=2 (已知) , 所以1+3=2+4(等式性质). 即 ABC = ACB. (1 分) 所以 AB=AC(等角对等边). (2 分) 在ABD 和ACD 中 (ABACADADBDCD已证)(公共边)(已证) FEDCBAMFEDCBA12ABCD12ABCD345 6 所以ABDACD (S.S.S).(1 分) 所以5 = 6(全等三角形的对应角相等).(1 分) 即 AD 是BAC 的平分线. (1 分) 3. 如图,在ABC 中,已知 D 是 BC 边的中点,过点 D 的直线 GF 交 AC 于 F,交 AC 的平行线 BG 于点 G,DEGF,交 AC 的延长线于点 E,联结

3、EG (1)说明 BG 与 CF 相等的理由 (2)说明BGD 与DGE 相等的理由 【分析】 (1)求出 BD=DC,GBD=DCF,证出BDGCDF 即可; (2)根据线段垂直平分线性质得出 EF=EG,求出DFE=DGE,DFE=BGD,即可得出答案 【解答】解 (1)D 为 BC 中点, BD=DC(中点的定义) , BGFC(已知) , GBD=DCF(两直线平行,内错角相等) , 在BDG 和CDF 中, , BDGCDF(ASA) , BG=CF(全等三角形对应边相等) ; (2)DE 为线段 GF 的中垂线(中垂线定义) , EF=EG(中垂线性质) , DFE=DGE(等边对

4、等角) , ) DFE=BGD(全等三角形对应角相等) , BGD=DGE(等量代换) 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质的应用,主要考查学生的推理能力 4在ABC 中,ACB=2B,BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D (1)如图 1,过点 C 作 CFAD 于 F,延长 CF 交 AB 于点 E联结 DE 说明 AE=AC 的理由; 说明 BE=DE 的理由; (2) 如图 2, 过点 B 作直线 BMAD 交 AD 延长线于 M, 交 AC 延长线于点 N 说明 CD=CN的理由 【分析】 (1)根据角平分线的定义可得EAD=CAD,根据

5、垂直的定义可得AFE=AFC=90, 然后利用“角边角”证明AEF 和ACF 全等, 根据全等三角形对应边相等证明即可;利用“边角边”证明AED 和ACD 全等,根据全等三角形对应角相等可得AED=ACB, 再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得AED=B+BDE,然后求出B=BDE,再根据等角对等边证明即可; (2)连接 DN,易得ABM 和ANM 全等,根据全等三角形对应边相等可得 AB=AN,再利用“边角边”证明ABD 和AND 全等, 根据全等三角形对应角相等可得ABD=AND,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ACB=CDN+AND,然后求出CDN=

6、CND,再根据等角对等边证明即可 【解答】解: (1)AD 平分BAC, EAD=CAD, CFAD, AFE=AFC=90, 在AEF 和ACF 中, , AEFACF(ASA) , AE=AC; 在AED 和ACD 中, , AEDACD(SAS) , AED=ACB ACB=2B, AED=2B, 又AED=B+EDB, B=EDB, BE=DE; (2)连接 DN,易证ABMANM, 所以 AB=AN, 在ABD 和AND 中, , ABDAND(SAS) , ABD=AND, ACB=2B,即ACB=2ABD, ACB=2AND, 又ACB=CDN+AND, CDN=AND, CD=

7、CN 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线的定义,坐标与图形性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质, 等角对等边的性质, 熟记各性质是解题的关键, (2)难点在于作辅助线构造出全等三角形 5如图,ABC 是等边三角形,P 是 AB 上一点,Q 是 BC 延长线上一点,AP=CQ联结PQ 交 AC 于 D 点过 P 作 PEBC,交 AC 于 E 点 (1)说明 DE=DC 的理由; (2)过点 P 作 PFAC 于 F,说明 DF= AC 的理由 【分析】 (1)根据平行线的性质,可得AEP=ACB,EPD=Q,根据全等三角形的判定与性质,可得答案; (2) 根

8、据等腰三角形的性质, 可得 EF 与 AE 的关系, 根据线段中点的性质, 可得 DE= CE,EF 与 AE 的关系,根据线段的和差,可得答案 【解答】 (1)解:PEBC, AEP=ACB,EPD=Q ABC 为等边三角形, A=ACB=60 A=AEP AP=PE 又AP=CQ, PE=CQ 在EDP 和CDQ 中, EDPCDQ(AAS) , DE=DC; (2)AP=PE,PFAC, EF= AE DE=DC,且 DE+DC=CE, DE= CE DF=EF+DE = AE+ CE = (AE+CE) = AC 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了全等三角形的判定与性质,

9、线段中点的性质 6. 如图,已知点 B、C、D 在同一条直线上,ABC 和CDE 都是等边三角形BE 交 AC 于F,AD 交 CE 于 H (1)求证:BCEACD; (2)求证:FHBD 【解答】证明: (1)ABC 和CDE 都是等边三角形, BC=AC,CE=CD,BCA=ECD=60, BCA+ACE=ECD+ACE,即BCE=ACD, 在BCE 和ACD 中, , BCEACD (SAS) (2)由(1)知BCEACD, 则CBF=CAH,BC=AC 又ABC 和CDE 都是等边三角形,且点 B、C、D 在同一条直线上, ACH=180ACBHCD=60=BCF, 在BCF 和AC

10、H 中, , BCFACH (ASA) ,CF=CH, 又FCH=60,CHF 为等边三角形 FHC=HCD=60,FHBD 7. 如图,已知ABC 是等边三角形,D 是 BC 延长线上一点,CE 平分ACD,CE=BD,CDE=90 。试说明 ADCE 的理由。 解:由已知在ABD 和ACE 中, 所以ABDACE 所以 AD=AE, 且DAE= BAC=60 , AB=AC ABD=ACE=60 BD=CE B C D E 第 7 题 A 所以ADE 是等边三角形,所以ADE=60 , 因为CDE=90 ,所以ADC=30 , 又因为CAD=ACBADC=30 , 所以CAD=ADC,AC

11、=DC, 在等腰ACD 中,CE 是顶角平分线,所以 ADCE。 8. 如图, 在等边三角形 ABC 中 BC 边的延长线上取一点 D, 以 AD 为一边作等边ADE,作 AF/BD,交 CE 于 F。判断ACF 的形状并予以说明。 解:等边三角形。 ABC 和ADE 是等边三角形, AB=AC,AD=AE,且BAC=DAE=60, BAC+CAD=DAE+CAD, 即BAD=CAE. 在ABD 和ACE 中 ABDACE(S.A.S), ACE=ABD=60. AFBD, CAF=ACB=60, AFC=60, ACF 是等边三角形。 9. 如图,ABC 中,AB=AC,BAC=100 ,点

12、 D 在 BC 上,AD=BD,AD 的垂直平分线ME 交 AC 于点 E,说明ADE 是等边三角形的理由, 解:因为 AB=AC,所以B=C, 因为BAC+B+C=180 , 且BAC=100 ,所以 2B=180 100 , 解得B=40 , 因为 AD=BD,所以B=BAD,所以BAD=40 , 所以DAC=BACBAD=60 , 因为 ME 是 AD 的垂直平分线,所以在AME 和DME 中, 所以AMEDME, 所以 AE=DE, 所以ADE 是等边三角形。 10. 如图,ABC 是等腰直角三角形,BAC=90, 点 D 是边 BC 上一点, EAD 是等腰直角三角形, EAD=90

13、, ED 与 AC 相交于点 F, 联结 CE. (1)说明 ECBC 的理由; (2)若CFE 是等腰三角形, 请求出BAD 的度数. 解: (1)因为ABC 是等腰直角三角形, A B C D E F AEADCAEBADACABM A B C D E 第 22 题 AM=DM AME=DME=90 ME=ME 第 10 题 A C D E F 所以 AB=AC,BAC=90,B=ACB=45, 同理,AD=AE,DAE=90,ADE=AED=45, 因为BAC=BAD+DAC=90,DAE=EAC+CAD=90, 所以BAD=CAE(等式性质) , 在ADB 与AEC 中 ,, ,AEA

14、DCAEBADACAB 所以ADBAEC(ASA)所以B=ACE=45(全等三角形对应角相等) BCE=BCA+ACE=90,即 ECBC. (2)因为ADC=ADE+EDC45EDC, ADC=B+BAD45BAD(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) 所以BADEDC(等式性质), 设BADEDC =,则EFC=ACB+EDC =45+, FEC180-EFC -ACE =90-, 由于EFCACE,所以 EFEC 当 EF=FC 时,EFCACE(等边对等角) ,即 90-45, 45;当 EC=FC 时,EFCCEF(等边对等角) ,2(90-)+45=180,22.5 综上

15、所述,当CFE 是等腰三角形时,BAD 的度数为 45或 22.5 11如图,AD / BC,E 为线段 AB 上一点,且 DE、CE 分别平分ADC 和BCD (1)试说明 EDEC 的理由; (2)当点 E 是 AB 的中点时,试判断线段 AD、BC、CD 之间的数量关系,并说明理由 A B C D E (第 11 题图) 27解: (1)因为 AD / BC,所以 ADC +DCB = 180 (1 分) (两直线平行,同旁内角互补) 因为 ED、EC 分别平分ADC 和BCD, 所以 ADC = 2EDC,BCD = 2ECD (角平分线的意义) (1 分) 所以 EDC +ECD =

16、 90 (等式的性质)(1 分) 又因为 DEC +EDC +ECD = 180 , (三角形的内角和等于 180 ) 所以 EDC = 90 (1 分) 即得 EDEC(1 分) (2)AD + BC = CD 分别延长 DE、CB,相交于点 G 因为 点 E 是 AB 的中点,所以 AE = BE (中点的意义)(1 分) 又因为 AD / BC,所以 ADE =BGE(1 分) (两直线平行,内错角相等) 在ADE 和BGE 中, ,ADEBGEAEDBEGAEBE 所以 ADEBEG(AAS) 所以 AD = BG(1 分) 即得 CG = BC + BG = AD + BC(1 分)

17、 因为 ED 平分ADC,所以 ADE =EDC (角平分线的意义) 所以 EDC =BGE 所以 CD = CG(1 分) 即得 AD + BC = CD 12 如 图 12 , 已 知 ABC中 , 点D、E是BC边 上 两 点 , 且ADAE,90BAECAD, (1)试说明ABE与ACD全等的理由; (2)如果ADBD,试判断ADE的形状,并说明理由 解:解: EDCAB(图 12) 解: (1)因为ADAE(已知) , 所以AEDADE (等边对等角) (1 分) 在ABE和ACD中 B A EC A DA EA DA E BA D C (已知),(已知), 所以ABEACD(A.S

18、.A) (1 分) (2)答:ADE是等边三角形(1 分) 因为ADBD, 所以BADB (等边对等角) (1 分) 设B的度数为x,那么BAD的度数为x 因为ADEBBAD (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) ,(1 分) 所以xAEDADE2 因为180BAEBBAE (三角形的内角和等于 180 ) , 所以290 180 xx, 解得30 x, 所以60AED(1 分) 因为ADAE(已知) , 所以ADE是等腰三角形, 得ADE是等边三角形(有一个内角等于 60 的等腰三角形是等边三角形) (1 分) (1)阅读并填空:如图,BD、CD 分别是ABC 的内角ABC、AC

19、B 的平分线来源:学科网 ZXXK 试说明D = 90 +12A 的理由 解:因为 BD 平分ABC(已知) , 所以1 = (角平分线定义) 同理:2 = 因为A +ABC+ACB=180 ,1+2+D=180 , ( ) , 所以 (等式性质) 即:D = 90 +12A (2)探究,请直接写出结果,无需说理过程: (i)如图,BD、CD 分别是ABC 的两个外角EBC、FCB 的平分线 试探究D 与A 之间的等量关系 答:D 与A 之间的等量关系是 (ii)如图,BD、CD 分别是ABC 的一个内角ABC 和一个外角ACE 的平分线试探究D 与A 之间的等量关系 答:D 与A 之间的等量

20、关系是 (3)如图,ABC 中,A = 90 ,BF、CF 分别平分ABC、ACB,CD 是ABC 的外角ACE 的平分线试说明 DC = CF 的理由 (1)解:因为 BD 平分ABC(已知) , 所以1 = 12ABC(角平分线定义) 同理:2 = 12ACB 因为A+ABC+ACB=180 ,1+2+D=180 (三角形的内角和等于 180 ) , 所以1180( 12)180()2DABCACB oo 11180(180)9022AAooo (等式性质) 即:D = 90 +12A (说明:每个填空 1 分 ) A (第 27 题图) D B C A E F (第 27 题图) D B

21、 C A 1 2 (第 27 题图) D B C A E (第 27 题图) D B C A E F (2)解: (i)D 与A 之间的等量关系是1902DAo(1 分) (ii)D 与A 之间的等量关系是12DA(1 分) (3)解:因为 BD 平分ABC(已知) , 所以 DBC = 12ABC(角平分线定义) 同理:ACF = 12ACB,DCA =DCE = 12ACE(1 分) 因为 ACE=ABC+A,DCE=DBC+D(三角形的一个外角 等于两个不相邻的内角和) , 所以 11()22DDCEDBCACEABCA (1 分) 因为 A = 90 (已知) , 所以 D = 45 (等式性质) (1 分)来源:Zxxk.Com 因为 ACB+ACE =180 (平角的定义) , 所以 1()9 02F C DF C AA C DB C AA C E o(1 分) 因为 D+DFC+FCD =180 (三角形的内角和等于 180 ) , 所以 DFC = 45 (等式性质) 所以 D =DFC(等量代换) (1 分) 所以 DC = FC (等角对等边)(1 分) A (第 27 题图) D B C A E F