1、期末复习期末复习 七下七下三角形三角形全等证明全等证明 1. 知：如图，知：如图，ABCD 是正方形，是正方形，FAD=FAE. 求证：求证：BE+DF=AE. 【解析】 延长 CB 至 M，使得 BM=DF，连接 AM. AB=AD，ADCD，ABBM，BM=DF ABMADF AFD=AMB，DAF=BAM ABCD AFD=BAF=EAF+BAE=BAE+BAM=EAM AMB=EAMAE=EM=BE+BM=BE+DF. 2. 如图，在ABC 中，BD=DC，1=2， 求证：AD 是BAC 的平分线. 证明：证明：因为 BD=DC（已知） ， 所以3=4（等边对等角）. （2 分） 因为
2、1=2 （已知） ， 所以1+3=2+4（等式性质）. 即 ABC = ACB. （1 分） 所以 AB=AC（等角对等边）. （2 分） 在ABD 和ACD 中 (ABACADADBDCD已证）（公共边）（已证） FEDCBAMFEDCBA12ABCD12ABCD345 6 所以ABDACD （S.S.S）.（1 分） 所以5 = 6（全等三角形的对应角相等）.（1 分） 即 AD 是BAC 的平分线. （1 分） 3. 如图，在ABC 中，已知 D 是 BC 边的中点，过点 D 的直线 GF 交 AC 于 F，交 AC 的平行线 BG 于点 G，DEGF，交 AC 的延长线于点 E，联结
3、EG （1）说明 BG 与 CF 相等的理由 （2）说明BGD 与DGE 相等的理由 【分析】 （1）求出 BD=DC，GBD=DCF，证出BDGCDF 即可； （2）根据线段垂直平分线性质得出 EF=EG，求出DFE=DGE，DFE=BGD，即可得出答案 【解答】解 （1）D 为 BC 中点， BD=DC（中点的定义） ， BGFC（已知） ， GBD=DCF（两直线平行，内错角相等） ， 在BDG 和CDF 中， ， BDGCDF（ASA） ， BG=CF（全等三角形对应边相等） ； （2）DE 为线段 GF 的中垂线（中垂线定义） ， EF=EG（中垂线性质） ， DFE=DGE（等边对
4、等角） ， ） DFE=BGD（全等三角形对应角相等） ， BGD=DGE（等量代换） 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力 4在ABC 中，ACB=2B，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D （1）如图 1，过点 C 作 CFAD 于 F，延长 CF 交 AB 于点 E联结 DE 说明 AE=AC 的理由； 说明 BE=DE 的理由； （2） 如图 2， 过点 B 作直线 BMAD 交 AD 延长线于 M， 交 AC 延长线于点 N 说明 CD=CN的理由 【分析】 （1）根据角平分线的定义可得EAD=CAD，根据
5、垂直的定义可得AFE=AFC=90， 然后利用“角边角”证明AEF 和ACF 全等， 根据全等三角形对应边相等证明即可；利用“边角边”证明AED 和ACD 全等，根据全等三角形对应角相等可得AED=ACB， 再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得AED=B+BDE，然后求出B=BDE，再根据等角对等边证明即可； （2）连接 DN，易得ABM 和ANM 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AB=AN，再利用“边角边”证明ABD 和AND 全等， 根据全等三角形对应角相等可得ABD=AND，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ACB=CDN+AND，然后求出CDN=
6、CND，再根据等角对等边证明即可 【解答】解： （1）AD 平分BAC， EAD=CAD， CFAD， AFE=AFC=90， 在AEF 和ACF 中， ， AEFACF（ASA） ， AE=AC； 在AED 和ACD 中， ， AEDACD（SAS） ， AED=ACB ACB=2B， AED=2B， 又AED=B+EDB， B=EDB， BE=DE； （2）连接 DN，易证ABMANM， 所以 AB=AN， 在ABD 和AND 中， ， ABDAND（SAS） ， ABD=AND， ACB=2B，即ACB=2ABD， ACB=2AND， 又ACB=CDN+AND， CDN=AND， CD=
7、CN 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，坐标与图形性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质， 等角对等边的性质， 熟记各性质是解题的关键， （2）难点在于作辅助线构造出全等三角形 5如图，ABC 是等边三角形，P 是 AB 上一点，Q 是 BC 延长线上一点，AP=CQ联结PQ 交 AC 于 D 点过 P 作 PEBC，交 AC 于 E 点 （1）说明 DE=DC 的理由； （2）过点 P 作 PFAC 于 F，说明 DF= AC 的理由 【分析】 （1）根据平行线的性质，可得AEP=ACB，EPD=Q，根据全等三角形的判定与性质，可得答案； （2） 根
8、据等腰三角形的性质， 可得 EF 与 AE 的关系， 根据线段中点的性质， 可得 DE= CE，EF 与 AE 的关系，根据线段的和差，可得答案 【解答】 （1）解：PEBC， AEP=ACB，EPD=Q ABC 为等边三角形， A=ACB=60 A=AEP AP=PE 又AP=CQ， PE=CQ 在EDP 和CDQ 中， EDPCDQ（AAS） ， DE=DC； （2）AP=PE，PFAC， EF= AE DE=DC，且 DE+DC=CE， DE= CE DF=EF+DE = AE+ CE = （AE+CE） = AC 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，
9、线段中点的性质 6. 如图，已知点 B、C、D 在同一条直线上，ABC 和CDE 都是等边三角形BE 交 AC 于F，AD 交 CE 于 H （1）求证：BCEACD； （2）求证：FHBD 【解答】证明： （1）ABC 和CDE 都是等边三角形， BC=AC，CE=CD，BCA=ECD=60， BCA+ACE=ECD+ACE，即BCE=ACD， 在BCE 和ACD 中， ， BCEACD （SAS） （2）由（1）知BCEACD， 则CBF=CAH，BC=AC 又ABC 和CDE 都是等边三角形，且点 B、C、D 在同一条直线上， ACH=180ACBHCD=60=BCF， 在BCF 和AC
10、H 中， ， BCFACH （ASA） ，CF=CH， 又FCH=60，CHF 为等边三角形 FHC=HCD=60，FHBD 7. 如图，已知ABC 是等边三角形，D 是 BC 延长线上一点，CE 平分ACD，CE=BD，CDE=90 。试说明 ADCE 的理由。 解：由已知在ABD 和ACE 中， 所以ABDACE 所以 AD=AE， 且DAE= BAC=60 ， AB=AC ABD=ACE=60 BD=CE B C D E 第 7 题 A 所以ADE 是等边三角形，所以ADE=60 ， 因为CDE=90 ，所以ADC=30 ， 又因为CAD=ACBADC=30 ， 所以CAD=ADC，AC
11、=DC， 在等腰ACD 中，CE 是顶角平分线，所以 ADCE。 8. 如图， 在等边三角形 ABC 中 BC 边的延长线上取一点 D， 以 AD 为一边作等边ADE，作 AF/BD，交 CE 于 F。判断ACF 的形状并予以说明。 解：等边三角形。 ABC 和ADE 是等边三角形， AB=AC,AD=AE,且BAC=DAE=60, BAC+CAD=DAE+CAD, 即BAD=CAE. 在ABD 和ACE 中 ABDACE(S.A.S)， ACE=ABD=60. AFBD, CAF=ACB=60, AFC=60, ACF 是等边三角形。 9. 如图，ABC 中，AB=AC，BAC=100 ，点
12、 D 在 BC 上，AD=BD，AD 的垂直平分线ME 交 AC 于点 E，说明ADE 是等边三角形的理由， 解：因为 AB=AC，所以B=C， 因为BAC+B+C=180 ， 且BAC=100 ，所以 2B=180 100 ， 解得B=40 ， 因为 AD=BD，所以B=BAD，所以BAD=40 ， 所以DAC=BACBAD=60 ， 因为 ME 是 AD 的垂直平分线，所以在AME 和DME 中， 所以AMEDME， 所以 AE=DE， 所以ADE 是等边三角形。 10. 如图，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90， 点 D 是边 BC 上一点， EAD 是等腰直角三角形， EAD=90
13、， ED 与 AC 相交于点 F， 联结 CE. （1）说明 ECBC 的理由； （2）若CFE 是等腰三角形， 请求出BAD 的度数. 解： （1）因为ABC 是等腰直角三角形， A B C D E F AEADCAEBADACABM A B C D E 第 22 题 AM=DM AME=DME=90 ME=ME 第 10 题 A C D E F 所以 AB=AC，BAC=90，B=ACB=45, 同理，AD=AE，DAE=90，ADE=AED=45， 因为BAC=BAD+DAC=90,DAE=EAC+CAD=90, 所以BAD=CAE（等式性质） ， 在ADB 与AEC 中 ，, ,AEA
14、DCAEBADACAB 所以ADBAEC（ASA）所以B=ACE=45（全等三角形对应角相等） BCE=BCA+ACE=90，即 ECBC. （2）因为ADC=ADE+EDC45EDC, ADC=B+BAD45BAD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以BADEDC（等式性质）, 设BADEDC =，则EFC=ACB+EDC =45+, FEC180-EFC -ACE =90-， 由于EFCACE，所以 EFEC 当 EF=FC 时，EFCACE（等边对等角） ，即 90-45， 45；当 EC=FC 时，EFCCEF（等边对等角） ，2(90-)+45=180，22.5 综上
15、所述，当CFE 是等腰三角形时，BAD 的度数为 45或 22.5 11如图，AD / BC，E 为线段 AB 上一点，且 DE、CE 分别平分ADC 和BCD （1）试说明 EDEC 的理由； （2）当点 E 是 AB 的中点时，试判断线段 AD、BC、CD 之间的数量关系，并说明理由 A B C D E （第 11 题图） 27解： （1）因为 AD / BC，所以 ADC +DCB = 180 （1 分） （两直线平行，同旁内角互补） 因为 ED、EC 分别平分ADC 和BCD， 所以 ADC = 2EDC，BCD = 2ECD （角平分线的意义） （1 分） 所以 EDC +ECD =
16、 90 （等式的性质）（1 分） 又因为 DEC +EDC +ECD = 180 ， （三角形的内角和等于 180 ） 所以 EDC = 90 （1 分） 即得 EDEC（1 分） （2）AD + BC = CD 分别延长 DE、CB，相交于点 G 因为 点 E 是 AB 的中点，所以 AE = BE （中点的意义）（1 分） 又因为 AD / BC，所以 ADE =BGE（1 分） （两直线平行，内错角相等） 在ADE 和BGE 中， ,ADEBGEAEDBEGAEBE 所以 ADEBEG（AAS） 所以 AD = BG（1 分） 即得 CG = BC + BG = AD + BC（1 分）
17、 因为 ED 平分ADC，所以 ADE =EDC （角平分线的意义） 所以 EDC =BGE 所以 CD = CG（1 分） 即得 AD + BC = CD 12 如 图 12 ， 已 知 ABC中 ， 点D、E是BC边 上 两 点 ， 且ADAE，90BAECAD， （1）试说明ABE与ACD全等的理由； （2）如果ADBD，试判断ADE的形状，并说明理由 解：解： EDCAB（图 12） 解： （1）因为ADAE（已知） ， 所以AEDADE （等边对等角） （1 分） 在ABE和ACD中 B A EC A DA EA DA E BA D C （已知），（已知）， 所以ABEACD（A.S
18、.A） （1 分） （2）答：ADE是等边三角形（1 分） 因为ADBD， 所以BADB （等边对等角） （1 分） 设B的度数为x，那么BAD的度数为x 因为ADEBBAD （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ，（1 分） 所以xAEDADE2 因为180BAEBBAE （三角形的内角和等于 180 ） ， 所以290 180 xx， 解得30 x， 所以60AED（1 分） 因为ADAE（已知） ， 所以ADE是等腰三角形， 得ADE是等边三角形（有一个内角等于 60 的等腰三角形是等边三角形） （1 分） （1）阅读并填空：如图，BD、CD 分别是ABC 的内角ABC、AC
19、B 的平分线来源:学科网 ZXXK 试说明D = 90 +12A 的理由 解：因为 BD 平分ABC（已知） ， 所以1 = （角平分线定义） 同理：2 = 因为A +ABC+ACB=180 ，1+2+D=180 ， （ ） ， 所以 （等式性质） 即：D = 90 +12A （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： （i）如图，BD、CD 分别是ABC 的两个外角EBC、FCB 的平分线 试探究D 与A 之间的等量关系 答：D 与A 之间的等量关系是 （ii）如图，BD、CD 分别是ABC 的一个内角ABC 和一个外角ACE 的平分线试探究D 与A 之间的等量关系 答：D 与A 之间的等量
20、关系是 （3）如图，ABC 中，A = 90 ，BF、CF 分别平分ABC、ACB，CD 是ABC 的外角ACE 的平分线试说明 DC = CF 的理由 （1）解：因为 BD 平分ABC（已知） ， 所以1 = 12ABC（角平分线定义） 同理：2 = 12ACB 因为A+ABC+ACB=180 ，1+2+D=180 （三角形的内角和等于 180 ） ， 所以1180( 12)180()2DABCACB oo 11180(180)9022AAooo （等式性质） 即：D = 90 +12A （说明：每个填空 1 分 ） A （第 27 题图） D B C A E F （第 27 题图） D B
21、 C A 1 2 （第 27 题图） D B C A E （第 27 题图） D B C A E F （2）解： （i）D 与A 之间的等量关系是1902DAo（1 分） （ii）D 与A 之间的等量关系是12DA（1 分） （3）解：因为 BD 平分ABC（已知） ， 所以 DBC = 12ABC（角平分线定义） 同理：ACF = 12ACB，DCA =DCE = 12ACE（1 分） 因为 ACE=ABC+A，DCE=DBC+D（三角形的一个外角 等于两个不相邻的内角和） ， 所以 11()22DDCEDBCACEABCA （1 分） 因为 A = 90 （已知） ， 所以 D = 45 （等式性质） （1 分）来源:Zxxk.Com 因为 ACB+ACE =180 （平角的定义） ， 所以 1()9 02F C DF C AA C DB C AA C E o（1 分） 因为 D+DFC+FCD =180 （三角形的内角和等于 180 ） ， 所以 DFC = 45 （等式性质） 所以 D =DFC（等量代换） （1 分） 所以 DC = FC （等角对等边）（1 分） A （第 27 题图） D B C A E F