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2022年苏科新版九年级数学上册《第1章 一元二次方程》单元测试卷(含答案解析)

1、第第 1 1 章一元二次方程章一元二次方程 单元检测试卷单元检测试卷 一、选择题一、选择题 1. 关于x的一元二次方程22a 1 x2x30 有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( ) A. 2a3 B. 2a3且1a2 C. 2a3 D. 2a3且1a2 2. 若x2 为一元二次方程2x2xm0的一个根,则m的值为( ) A. 0 B. 4 C. 3 D. 8 3. 小球以5m/s的速度在平坦地面上开始滚动,并且均匀减速,4s后小球停下来小球滚动到5m时约用了多少时间(精确到0.1s)?( ) A. 1.1 B. 1.2 C. 1.3 D. 1.4 4. 一元二次方程22x3x1的二次项系

2、数a、一次项系数b和常数c分别是( ) A. a2,b3,c1 B. a2,b1,c3 C. a2,b3,c1 D. a2,b3,c1 5. 若实数m满足22mm1mm14,则2mm的值为( ) A. 1或3 B. 1 C. 3 D. 0 6. 对于一元二次方程2axbxc0,下列说法:若bac,则方程必有一根为x1 ;若c是方程2axbxc0的一个根,则一定有acb 10 成立;若2b4ac,则方程2axbxc0一定有两个不相等实数根;其中正确结论有( )个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知一元二次方程 ax2+bx+c=0 中二次项系数, 一次项系数和常数项之和为 0,

3、那么方程必有一根为 ( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 1 8. 若22x6x 11(xm)n,则m,n值分别是( ) A. m3,n2 B. m3,n2 C. m3,n2 D. m3,n2 9. 一元二次方程2x2的解是( ) A x2或x2 B. x2 C x4或x4 D. x2或x2 10. 用配方法将方程2611xx变形为( ) A. 2(3)2x B. 2(3)20 x C. 2(3)20 x D. 2(3)2x 二、填空题二、填空题 11. 方程25x2x110的解为_ 12. 若关于 x 的一元二次方程 x2+2xm=0 有两个相等的实数根,则 m 的值为_ 13. 一元

4、二次方程22x37x的解是1x _,2x _ 14. 已知1x,2x是方程2x2x 1的两个根,则1212x xxx的值为_ 15. 已知关于 x 的方程 ax2+bx+1=0的两根为 x1=1,x2=2,则方程 a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根之和为_ 16. 在一次聚会中,每两个参加聚会的人都互相握一次手,一共握了55次手,问这次参加聚会的人数是多少?若设这次参加聚会的人数为x人,则可列出的方程是_ 17. 若关于x的方程22xaxa20有两个相等的实根,则a的值为_. 18. 已知关于 x 的方程2xab xab 10 , x1、 x2是此方程的两个实数根, 现给出三个结论:

5、x1x2;x1x2ab;222212xx0,根据一元二次方程的定义得 2a-10,解不等式组即可. 【详解】一元二次方程22a 1 x2x30 有两个不相等的实数根, 0,且 2a-10,即44 2130210aa 解不等式组得:a0,有两个相等的实数根 =0,没有实数根 4ac, b24ac0, 则方程 ax2+bx+c=0一定有两个不相等实数根, 所以正确的结论有. 故选:C. 【点睛】考查一元二次方程根的概念,使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解. 7. 已知一元二次方程 ax2+bx+c=0 中二次项系数, 一次项系数和常数项之和为 0, 那么方程必有一根为 ( ) A. 0 B

6、. 1 C. 1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程20axbxc中二次项系数,一次项系数和常数项之和为0,即0a b c ,根据方程解得定义,当1x 时,方程即可变形成0a b c ,即可确定方程的解. 【详解】根据题意:当1x 时,方程左边a b c , 而0a b c ,即当1x 时,方程0a b c 成立, 故1x 是方程的一个根. 故选:B. 【点睛】本题主要考查方程的根的定义,能够找到已知的式子与方程的关系是解决本题的关系.并且本题作为一个选择题,可以采用代入检验的方法,进行判断. 8. 若22x6x 11(xm)n,则m,n的值分别是( ) A. m3,n2 B

7、. m3,n2 C. m3,n2 D. m3,n2 【答案】B 【解析】 【分析】已知等式左边配方后即可求出出 m与 n的值 【详解】解:x2-6x+11=x2-6x+9+2=(x-3)2+2=(x-m)2+n, 得到 m=3,n=2 故选 B 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 9. 一元二次方程2x2的解是( ) A. x2或x2 B. x2 C. x4或x4 D. x2或x2 【答案】D 【解析】 【分析】直接开平方解方程得出答案即可 【详解】x2=2, x=2 故选 D. 【点睛】此题主要考查了直接开平方法解方程,正确开平方解题关键. 10.

8、用配方法将方程2611xx变形为( ) A. 2(3)2x B. 2(3)20 x C. 2(3)20 x D. 2(3)2x 【答案】B 【解析】 【分析】方程两边加上 9变形后即可得到结果 【详解】方程2611xx配方得:方程26920 xx, 即2(3)20.x 故选:B. 【点睛】考查配方法解一元二次方程,解题的关键是把方程的左边化成含有未知数的完全平方式,右边是一个非负数形式. 二、填空题二、填空题 11. 方程25x2x110的解为_ 【答案】12 145x 【解析】 【分析】找出方程中 a,b,c的值,代入求根公式即可求出解 【详解】这里 a=5,b=2,c=11 =4+220=

9、224,x=24 1410=12 145 故答案为 x=12 145 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法,熟练掌握求根公式是解答本题的关键 12. 若关于 x 的一元二次方程 x2+2xm=0 有两个相等的实数根,则 m 的值为_ 【答案】-1 【解析】 【分析】根据关于 x 的一元二次方程 x2+2xm=0 有两个相等的实数根可知=0,求出 m的取值即可 【详解】解:由已知得=0,即 4+4m=0,解得 m=-1 故答案为-1. 【点睛】本题考查的是根的判别式,即一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根与=b2-4ac 有如下关系:当0 时,方程有两个不相等的两个实数根;当=0 时

10、,方程有两个相等的两个实数根;当0 时,方程无实数根 13. 一元二次方程22x37x的解是1x _,2x _ 【答案】 . 12 . 3 【解析】 【分析】方程整理为一般形式,左边的多项式分解因式后,利用两数相乘积为 0,两因式中至少有一个为 0转化为两个一元一次方程来求解 【详解】整理得:2x27x+3=0 分解因式得:(2x1)(x3)=0 解得:x1=12,x2=3 故答案为12;3 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法,利用此方法解方程时,首先将方程整理为一般形式,然后利用两数相乘积为 0,两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解 14. 已知1x,2x是方程2x

11、2x 1的两个根,则1212x xxx的值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】先由根与系数的关系得出 x1+x2=2,x1x2=1,再代入 x1x2(x1+x2),计算即可 【详解】方程x2=2x+1即x22x1=0的两个根分别为x1,x2,x1+x2=2,x1x2=1,x1x2(x1+x2)=12=2 故答案为2 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系:x1,x2是方程 x2+px+q=0 的两根时,x1+x2=p,x1x2=q 15. 已知关于 x 的方程 ax2+bx+1=0的两根为 x1=1,x2=2,则方程 a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根之和为_ 【答案】1 【解析】 【分

12、析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案 【详解】解:设 x+1=t,方程 a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根分别是 x3,x4, at2+bt+1=0, 由题意可知:t1=1,t2=2, t1+t2=3, x3+x4+2=3 故答案为 1 【点睛】本题考查根与系数的关系,解题的关键是熟练运用根与系数的关系,本题属于基础题型 16. 在一次聚会中,每两个参加聚会的人都互相握一次手,一共握了55次手,问这次参加聚会的人数是多少?若设这次参加聚会的人数为x人,则可列出的方程是_ 【答案】11552x x 【解析】 【分析】每个人都要和他自己以外的人握手一次,但两个人之间只握手一次,

13、所以等量关系为:12聚会人数(聚会人数1)=总握手次数,把相关数值代入即可求解 【详解】参加聚会的人数为 x名,每个人都要握手(x1)次,根据题意得: 12x(x1)=55 故答案为12x(x1)=55 【点睛】本题考查了用一元二次方程解决握手次数问题,得到总次数的等量关系是解决本题的关键 17. 若关于x的方程22xaxa20有两个相等的实根,则a的值为_. 【答案】4 【解析】 【详解】方程有两个相等的实数根, =(a)24 2 (a2)=0, 解得 a=4, 故答案为 4. 18. 已知关于 x 的方程2xab xab 10 , x1、 x2是此方程的两个实数根, 现给出三个结论: x1

14、x2;x1x2ab;222212xxab则正确结论的序号是_ (填上你认为正确结论的所有序号) 【答案】 【解析】 【详解】方程2xab xab 10 中, =(a+b)24(ab2)=(ab)2+40, x1x2;故正确; x1x2=ab1ab;故正确; x1+x2=a+b,即(x1+x2)2=(a+b)2; x12+x22=(x1+x2)22x1x2=(a+b)22ab+2=a2+b2+2a2+b2,即 x12+x22a2+b2;故错误; 综上所述,正确的结论序号是:. 19. 某电动自行车厂三月份的产量为1000辆,由于市场需求量不断增大,五月份的产量提高到1210辆,则该厂四、五月份的

15、月平均增长率为_% 【答案】10% 【解析】 【详解】试题分析:设出四、五月份平均增长率,则四月份的市场需求量是 1000(1+x) ,五月份的产量是 1000(1+x)2,据此列方程 1000(1+x)2=1210, 解得 x1=0.1,x2=2.1(负值舍去) , 所以该厂四、五月份的月平均增长率为 10% 【考点】一元二次方程的应用 20. 从4、72、0、72、4这五个数中,任取一个数作为a值,恰好使得关于x的一元二次方程22ax6x10 有两个不相等的实数根,且使两个根都在1和1之间(包括1和1) ,则取到满足条件的a值的概率为_ 【答案】45 【解析】 【分析】分别把这 5个数代入

16、关于 x的一元二次方程 2ax26x1=0,求出 x的值,再根据概率公式即可得出结论 【详解】当 a=4时,原方程可化为8x26x1=0,解得:x1=12,x2=14,符合题意; 当 a=72时,原方程可化7x26x1=0,解得:x1=327,x2=327,符合题意; 当 a=0时,原方程可化为6x1=0,解得:x1=16,不符合题意; 当 a=72时,原方程可化为 7x26x1=0,解得:x1=1,x2=17,符合题意; 当 a=4时,原方程可化为 8x26x1=0,解得:x1=3178 ,x2=3178 ,符合题意,取到满足条件的 a值的概率=45 故答案为45 【点睛】本题考查了概率公式

17、以及一元二次方程根的情况,熟知概率=所求情况数与总情况数之比是解答此题的关键 三、解答题三、解答题 21. 解方程: 21 (x2)3 x2() (2)24y8y 1 (用配方法解) 23x3x10 ( ) 【答案】(1)12x ,25x ;(2)1512y ,2512y ;(3)1352x ,2352x 【解析】 【分析】(1)先移项得到2(2)320 xx,然后利用因式分解法解方程; (2)利用配方法得到25(1)4y,然后根据直接开平方法解方程; (3)利用求根公式法解方程. 【详解】 21 (2)320 xx, 22 30 xx , 所以12x ,25x ; 21224yy, 2121

18、14yy , 25(1)4y, 512y 所以1512y ,2512y ; 2334 1 15 , 352x , 所以1352x ,2352x 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程的右边化为 0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为 0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了.也考查了配方法和公式法解一元二次方程. 22. 已知关于x的一元二次方程2x 1 x2m0 1请说明对于任意实数m方程总有两个不相等的实数根; 2若方程两实数根为1x,2x,且满足21212(xx

19、 )3x x,求m的值 【答案】 (1)见解析; (2)2 2; 【解析】 【分析】(1)先把方程(x1)(x2)m2=0 变形为 x23x+2m2=0,得出=94(2m2)=1+4m20,即可得出答案; (2)利用根与系数的关系可以得到 x1+x2=3,x1x2=2m2,代入(x1+x2)2=3x1x2,即可得到结果 【详解】 (1)关于 x的一元二次方程(x1)(x2)m2=0,x23x+2m2=0,=94(2m2)=1+4m20,对于任意实数 m,方程总有两个不相等的实数根; (2)方程两实数根为 x1,x2,x1+x2=3,x1x2=2m2 (x1+x2)2=3x1x2,9=32+m2

20、,m=22 【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b24ac 和一元二次方程的根与系数的关系:当0,方程有两个不相等的实数根;当=0,方程有两个相等的实数根;当0,方程没有实数根 23. 某超市准备进一批季节性小家电,每个进价是40元,经市场预测:销售价定为50元,可售出400个,定价每增加1元,销售量将减少10个超市若要保证获得利润6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每个定价应该是多少元? 【答案】当定价为60元时利润达到6000元 【解析】 【分析】设每个定价增加 x 元,根据总利润=每个的利润 销售量,销售量为 400-10 x,列方程求解,根据题

21、意取舍,即可得出答案 【详解】解:设每个定价增加 x 元,根据题意得: (x+10) (400-10 x)=6000, 整理得:x2-30 x+200=0 解得 x1=10,x2=20, 顾客要实惠, x=10, x+50=60 答:当定价为 60元时利润达到 6000 元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据题意列出方程并求解 24. 某公司今年 1月份的生产成本是 400 万元, 由于改进技术, 生产成本逐月下降, 3 月份的生产成本是 361万元假设该公司 2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同 (1)求每个月生产成本的下降率; (2)请你预测 4月份该公司的生产成

22、本 【答案】(1)每个月生产成本的下降率为 5%;(2)预测 4月份该公司的生产成本为 342.95 万元 【解析】 【分析】 (1)设每个月生产成本的下降率为 x,根据 2月份、3 月份的生产成本,即可得出关于 x 的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论; (2)由 4 月份该公司的生产成本=3 月份该公司的生产成本 (1下降率) ,即可得出结论 【详解】 (1)设每个月生产成本下降率为 x, 根据题意得:400(1x)2=361, 解得:x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去) 答:每个月生产成本的下降率为 5%; (2)361 (15%)=342.95(万元) , 答:

23、预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95万元 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用, 解题的关键是: (1) 找准等量关系, 正确列出一元二次方程; (2)根据数量关系,列式计算 25. 要建一个如图所示的面积为2300m的长方形围栏,围栏总长50m,一边靠墙(墙长25m) 1求围栏的长和宽; 2能否围成面积为2400m的长方形围栏?如果能,求出该长方形的长和宽,如果不能请说明理由 【答案】 (1)围栏的长为20米,围栏的宽为15米; (2)不能围成面积为2400m的长方形围栏 【解析】 【详解】试题分析: (1)设围栏的长 xm,根据面积等于 300,列方程,解方程并检验即可; (2

24、)类比(1)中做法得出方程,判断方程是否有解即可. 试题解析: (1)设围栏的长 xm,则宽为502xm,由题意得:502x.x=300,解得 x=20,x=30,因为靠墙墙长 25m,所以 x=30,不合题意舍去,所以 x=20,当 x=20 时,502x=15, 答:围栏的长和宽分别为 20m 和 15m; (2)当502x.x=400 时,2508000 xx,因为2500 32007000,所以方程无解,所以不能围成面积为 400 的长方形围栏. 考点:一元二次方程的应用. 26. 百货大楼服装柜在销售中发现:某品牌童装每件成本60元,现以每件100元销售,平均每天可售出20件为了迎接

25、“五一”劳动节,商场决定采取适当的降价措施,以扩大销售量,增加盈利,尽量减少库存经市场调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多销售2件要想平均每天销售这种童装盈利1200元,请你帮商场算一算,每件童装应定价多少元? 【答案】每件童装应定价80 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程,从而可以求得每件童装应定价多少元,注意商场决定采取适当的降价措施,以扩大销售量,增加盈利,尽量减少库存,也就意味着在获得相同利润的前提下,要降价多的那种情况 【详解】设每件童装应降价 x元,由题意得: (10060 x) (20+2x)=1200, 解得:x1=10,x2=20, 因要减少库存,故取 x=20, 100-20=80 答:每件童装应定价 80 元 【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解答此类问题的关键是明确题意,列出相应的方程,注意要联系实际情况