1、2022年四川省达州市中考数学试卷一、单项选择题1. 下列四个数中，最小的数是（ ）A. 0B. -2C. 1D. 2. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ）A B. C. D. 3. 2022年5月19日，达州金垭机场正式通航金亚机场位于达州高新区，占地总面积2940亩，概算投资约为26.62亿元数据26.62亿元用科学记数法表示为（ ）A. 元B. 元C. 元D. 元4. 如图，直线分别交，于点M，N，将一个含有45角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若，则等于（ ）A. 15B. 25C. 35D. 455. 中国清代算书御制数理精蕴中有这样
2、一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（两为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，阀马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题是（ ）A. 相等的两个角是对顶角B. 相等的圆周角所对的弧相等C. 若，则D. 在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是7. 如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上
3、的点F处，若，则的长为（ ）A. 9B. 12C. 15D. 189. 如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（ ）A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线以下结论：；对于任意实数m，都有成立；若，在该函数图象上，则；方程（，k为常数）的所有根的和为4其中正确结论有（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题11. 计算：_12. 如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，
4、交于点D，连接，则的度数为_13. 如图，菱形对角线与相交于点，则菱形的周长是_14. 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_15. 人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中“0.618法”就应用了黄金比设，记，则_16. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，分别交对角线于点P，Q点E，F在运动过程中，始终保持，连接，以下结论：；为等腰直角三角形；若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为其中所有正确结论的序号是_三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. 计算：18. 化简求值：，其中19. “防溺水”是校园安
5、全教育工作的重点之一某校为确保学生安全，开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A，B，C，D），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数9292中位数96m众数b98方差28.628八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中_，_，_；（2）根据以上数据，你认
6、为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？20. 某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（）上安装一遮阳篷，使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（）以供纳凉，假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4，遮阳篷与水平面的夹角为10，如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷的长度（结果精确到0.1m）（参考数据：，；，）21. 某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫
7、，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元（1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？22. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求的面积；（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由23. 如图，在中，点O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交，边于点
8、E，F（1）求证：平分；（2）若，求的半径24. 某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，延长交于点F，连接该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：（1）【初步探究】如图2，当时，则_；（2）【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，之间的数量关系：_；（3）【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由（4）【拓展延伸】如图5，在与中，若，（m为常数）保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，延长
9、交于点F，连接，如图6试探究，之间数量关系，并说明理由25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C（1）求该二次函数的表达式；（2）连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由2022年四川省达州市中考数学试卷一、单项选择题1. 下列四个数中，最小的数是（ ）A. 0B. -2C. 1D. 【答案】B【解析】【分
10、析】根据实数的大小比较即可求解【详解】解：，最小的数是，故选B【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较是解题的关键2. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐个分析即可求解【详解】解：A.是轴对称图形，故该选项符合题意；B.不是轴对称图形，故该选项不符合题意；C.不是轴对称图形，故该选项不符合题意；D.不是轴对称图形，故该选项不符合题意；故选A【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别
11、，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义.3. 2022年5月19日，达州金垭机场正式通航金亚机场位于达州高新区，占地总面积2940亩，概算投资约为26.62亿元数据26.62亿元用科学记数法表示为（ ）A. 元B. 元C. 元D. 元【答案】C【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数【详解】解：26.62亿故选C【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键4. 如图，直线分别交
12、，于点M，N，将一个含有45角直角三角尺按如图所示的方式摆放，若，则等于（ ）A. 15B. 25C. 35D. 45【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质得到DNM=BME=80，由等腰直角三角形的性质得到PND=45，即可得到结论【详解】解：ABCD，DNM=BME=80，PND=45，PNM=DNM-DNP=35，故选：C【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键5. 中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（两为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，阀马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
13、A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设马每匹x两，牛每头y两，由“马四匹、牛六头，共价四十八两”可得，根据“马二匹、牛五头，共价三十八两，”可得，即可求解【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可得故选B【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意列出方程组是解题的关键6. 下列命题是真命题的是（ ）A. 相等的两个角是对顶角B. 相等的圆周角所对的弧相等C. 若，则D. 在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是【答案】D【解析】【分析】分别根据对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式进行判断即
14、可得到答案【详解】有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角是对顶角，故A选项错误，不符合题意；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故B选项错误，不符合题意；若，则，故C选项错误，不符合题意；在一个不透明箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是，故D选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了命题的真假，涉及对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式，熟练掌握知识点是解题的关键7. 如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ）A. B. C. D. 【答案
15、】B【解析】【分析】利用三角形中位线定理得到DEAC且DE=AC，结合平行四边形的判定定理进行选择【详解】解：在ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，DE是ABC的中位线，DEAC且DE=AC，A、根据B=F不能判定CFAD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误B、根据DE=EF可以判定DF=AC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确C、根据AC=CF不能判定ACDF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误D、根据AD=CF，FDAC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误故选：B【点睛】本题主要考查了三角
16、形的中位线的性质和平行四边形的判定三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半8. 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，则的长为（ ）A. 9B. 12C. 15D. 18【答案】C【解析】【分析】根据折叠的性质可得，设，则，则，在中勾股定理建列方程，求得，进而求得，根据，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解【详解】解：四边形是矩形， ，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，,，设，则，在中，即，解得，在中，故选C【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，正切的定义，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键9. 如图所示的曲边三角形可按下述方法
17、作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据此三角形是由三段弧组成，所以根据弧长公式可得半径，即正三角形的边长，根据曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，边长为的等边三角形的面积为，即可求解【详解】解：设等边三角形ABC的边长为r，解得，即正三角形的边长为2，此曲边三角形的面积为故选A【点睛】本题考查了扇形面积的计算此题的关键是明确曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边
18、长10. 二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线以下结论：；对于任意实数m，都有成立；若，在该函数图象上，则；方程（，k为常数）的所有根的和为4其中正确结论有（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】根据图象可判断，即可判断正确；令，解得，根据图得，再由顶点坐标的纵坐标的范围即可求出a的范围，即可判断错误；由代入变形计算即可判断错误；由抛物线的增减性和对称性即可判断错误；分类讨论当时，当时，再根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可判断正确【详解】二次函数的部分图象与y轴交于，对称轴为直线，抛物线开头向上，故正确；令，解得，由图得，解得，抛物线的顶点坐标为
19、，由图得，解得，故错误；，可化为，即，若成立，则，故错误；当时，随的增大而减小，对称轴为直线，时与时所对应的值相等，故错误；，当时，当时，故正确；综上，正确的个数为2，故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟练掌握知识点，能够运用数形结合的思想是解题的关键二、填空题11. 计算：_【答案】【解析】【分析】直接运用合并同类项法则进行计算即可得到答案【详解】解： 故答案为：【点睛】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键12. 如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接
20、，则的度数为_【答案】#50度【解析】【分析】根据作图可知，根据直角三角形两个锐角互余，可得，根据即可求解【详解】解：在中，由作图可知是的垂直平分线，故答案为：【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，根据题意分析得出是的垂直平分线，是解题的关键13. 如图，菱形的对角线与相交于点，则菱形的周长是_【答案】52【解析】【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在RtAOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长【详解】解：四边形ABCD是菱形， ACBD，OA=AC=12，OB=BD=5， AB=， 菱形
21、ABCD的周长为：413=52故答案为：52【点睛】本题考查了菱形周长的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键14. 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，不等式组有解,不等式组的解集为： ，不等式组恰有3个整数解，则整数解为1，2，3，解得故答案为：【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定求不等式组的解集，应遵循以下原
22、则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出合理的答案15. 人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比设，记，则_【答案】5050【解析】【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，利用规律求解即可【详解】解：，故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键16. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，分别交对角线于点P，Q点E，F在运动过程中，始终保持，连接，以下结论：；为等
23、腰直角三角形；若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】连接BD，延长DA到M，使AM=CF，连接BM，根据正方形的性质及线段垂直平分线的性质定理即可判断正确；通过证明，可证明正确；作，交AC的延长线于K，在BK上截取BN=BP，连接CN，通过证明，可判断错误；通过证明，利用相似三角形的性质即可证明正确；当点B、H、D三点共线时，DH的值最小，分别求解即可判断正确【详解】如图1，连接BD，延长DA到M，使AM=CF，连接BM，四边形ABCD是正方形，垂直平分BD，故正确；，即，故正确；如图2，作，交AC的延长线于K，在BK上截取BN=BP，连接C
24、N，即，故错误；如图1，四边形ABCD是正方形，为等腰直角三角形，故正确；如图1，当点B、H、D三点共线时，DH的值最小，故正确；故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. 计算：【答案】0【解析】【分析】先计算乘方和去绝对值符号，并把特殊角三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解【详解】解：原式=1+2-1-21=1+2-1-2=0【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂的运算、熟记特殊角的三角函数值是
25、解题的关键18. 化简求值：，其中【答案】，【解析】【分析】先将分子因式分解，再进行通分，然后根据分式减法法则进行计算，最后再根据分式除法法则计算即可化简，再把a的值代入计算即可求值【详解】解：原式；当时，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则以及正确的计算是解题的关键19. “防溺水”是校园安全教育工作的重点之一某校为确保学生安全，开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A，B，C，D），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84
26、，97，85，96，96，96，84，90，96八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数9292中位数96m众数b98方差28.628八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中_，_，_；（2）根据以上数据，你认该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？【答案】（1）30，96，93 （2）七年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八
27、年级的平均分均为92分，但七年级的中位数高于八年级 （3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x95）的学生人数是540人【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论；（2）根据七年级的中位数高于八年级，于是得到七年级学生掌握防溺水安全知识较好；（3）利用样本估计总体思想求解可得【小问1详解】解：，在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多， ；八年级10名学生的竞赛成绩在A组中有2个，在B组有1个，八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，,故答案为：30，96，93；【小问2详解】七年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但七
28、年级的中位数高于八年级【小问3详解】七年级在的人数有6人，八年级在的人数有3人，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x95）的学生人数为：（人），答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x95）的学生人数是540人【点睛】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题20. 某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（）上安装一遮阳篷，使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（）以供纳凉，假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4，遮阳篷与水平面的夹角为10，如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷的长
29、度（结果精确到0.1m）（参考数据：，；，）【答案】遮阳篷的长度约为3.4米【解析】【分析】过点作于点，则四边形是矩形，则，设，则，解直角三角形求得，进而求得，解，求得，进而求得的长，根据即可求解【详解】如图，过点作于点，则四边形是矩形，设，则，在中，在中，解得：，经检验，x是方程的解，且符合题意，答：遮阳篷的长度约为3.4米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角形的三边关系是解题的关键21. 某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元（1）该
30、商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？【答案】（1）该商场购进第一批每件的进价为40元，第二批T恤衫每件的进价为44元 （2）每件T恤衫的标价至少是80元【解析】【分析】（1）设该商场购进第一批每件的进价为元，第二批T恤衫每件的进价为元，根据“所购数量是第一批购进量的2倍”列分式方程求解检验即可；（2）设每件T恤衫的标价是元，根据“两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%”列不等式，求解即可【小问1详解】设该商场
31、购进第一批每件的进价为元，第二批T恤衫每件的进价为元，由题意得，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，所以，该商场购进第一批每件进价为40元，第二批T恤衫每件的进价为44元；【小问2详解】两批T恤衫的数量为（件），设每件T恤衫的标价是元，由题意得：，解得所以，每件T恤衫的标价至少是80元【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键22. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求的面积；（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出
32、点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2） （3）或或【解析】【分析】（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可；（2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；（3）分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案【小问1详解】解：把代入一次函数，得，解得，把代入反比例函数，得，反比例函数的表达式为；【小问2详解】解：令，解得或，当时，即，当时，；【小问3详解】解：存在，理由如下：当OA与OB为邻边时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，则点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即；当AB与AO为邻边时，点先向左平移3个单位再向下
33、平移3个单位到点，则点也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，即；当BA与BO为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，则点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即；综上，P点坐标为或或【点睛】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键23. 如图，在中，点O为边上一点，以为半径的与相切于点D，分别交，边于点E，F（1）求证：平分；（2）若，求的半径【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到，继而证明，再
34、根据等腰三角形的性质，进而得出，即可得出结论；（2）连接DE，根据直径所对的圆周角是直角可得，继而证明，根据相似三角形的性质及锐角三角函数即可求解【小问1详解】连接OD，以为半径的与相切于点D，平分；【小问2详解】连接DE，AE是直径，解得，的半径为【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质及锐角三角函数，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键24. 某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，延长交于点F，连接该数学兴趣
35、小组进行如下探究，请你帮忙解答：（1）初步探究】如图2，当时，则_；（2）【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，之间的数量关系：_；（3）【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由（4）【拓展延伸】如图5，在与中，若，（m为常数）保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，延长交于点F，连接，如图6试探究，之间的数量关系，并说明理由【答案】（1） （2） （3）仍然成立，理由见解析 （4）【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据题意可得，根据等原三角形的性质可得平分，即可得，根据旋转的性质可知
36、；（2）证明，可得，根据等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；（3）同（2）可得，过点，作，交于点，证明，可得，即可得出；（4）过点作，交于点，证明，可得，在中，勾股定理可得，即可得出【小问1详解】等腰直角三角形和等腰直角三角形，故答案为：【小问2详解】在与中，又重合，故答案为：【小问3详解】同（2）可得，过点，作，交于点，则，在与中，是等腰直角三角形，在与中，即，【小问4详解】过点作，交于点，中，即【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键25. 如图1，在平面直角坐标系中
37、，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C（1）求该二次函数的表达式；（2）连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由【答案】（1） （2）或 （3）【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意，分情况讨论，过点作关于的对称点，即可求P的坐标，轴上取一点，使得，则，设，根据勾股定理求得，建列方程，解方程求解即可；（3）设，过点作轴于点，则，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求得，即可求解【小问1详解】解：由二次函数，令，则，过点，设二次函数的表达式为，将点代入得，解得，【小问2详解】二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴为，如图，过点作关于的对称点，轴上取一点，使得，则，设，则，解得，即，设直线CD的解析式为，解得，直线CD的解析式为，联立，解得或，综上所述，或，【小问3详解】的值是定值，设，过点作轴于点，则，即，即的值是定值【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质是解题的关键