1、广东省广州市天河区2020-2021学年高二下期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知虚数单位，若复数，则（ ）A. B. C. D. 2. 函数在上最小值为（ ）A. B. C. D. 3. 已知各项均为正数的等比数列中，其前项和为，若成等差数列，则（ ）A. B. C. D. 4. 若，则（ ）A. B. C. D. 5. 函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）A. 函数在上为减函数B. 函数在上为增函数C. 函数在上有极大值D. 是函数在区间上的极小值点6. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）A. B. C. D. 7. 中国
2、古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育；“乐”主要指美有；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“射”不排在第一节，“数”和“乐”两门课程相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种8. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列如果函数，数列为牛顿数列，设且， 数列的前项和为，则（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每
3、小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从年到年共年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额看成以年份序号（年作为第年）的函数运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图，则下列说法正确的是（ ）A. 销售额与年份序号呈正相关关系B. 三次函数回归模型的残差平方和大于直线回归模型的残差平方和C. 三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果D. 根据三次函数回归曲线可以预测年“年货节”期间的销售额约
4、为亿元10. 已知为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）A. 若复数的共轭复数为，则B. 若复数，满足，则C. 若复数，则D. 复数满足，在复平面内对应的点为，则11. 已知，则下列结论正确的有（ ）A. B. C. D. 12. 已知函数，若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点，对称C. 函数在区间，上的值域为，D. 将函数图象向右平移个单位长度可得到函数的图象三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则_14. 二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为_
5、15. 已知随机变量的分布列为，其中为常数，则实数_，_16. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是_四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知的内角，的对边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若，面积为，求的周长18. 某学校为了解学生课后进行体育运动的情况，对该校学生进行简单随机抽样，获得名学生一周进行体育运动的时间数据如表，其中运动时间在的学生称为运动达人分组区间（单位：小时）人数（1）从上述抽取的学生中任取人，设为运动达人的人数，求的分布列；（2）以频率估计概率，从该校学生中任取人，设为运动达人人数，求的分布列19. 已知函数（1）若，
6、求函数在处的切线方程；（2）已知，若在上恒成立，求实数的取值范围20. 已知数列满足：，点在函数的图象上，其中为常数，且（1）若，成等比数列，求的值；（2）当时，求数列的前项和21. 某校对学生关于开展数学研究性学习的态度进行调查，随机抽调了人，他们数学成绩的平均分（单位：分）的频数分布及对开展数学研究性学习赞成人数如表：成绩频数赞成人数（1）根据以上统计数据完成下面的列联表：能否有的把握认为学生关于开展数学研究性学习的态度与数学成绩平均分为分分界点有关？成绩不低于分的人数成绩低于分的人数合计赞成不赞成合计（2）若对数学成绩平均分在和的被调查人中各随机选取人进行追踪调查，求在选中的人中有人不赞
7、成的条件下，赞成开展数学研究性学习的人数的分布列及数学期望附参考公式与数据：，22. 设函数，（1）求函数的单调区间；（2）若方程有两个不相等的实数根、，求证：广东省广州市天河区2020-2021学年高二下期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知为虚数单位，若复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简，再根据模长公式，即可求解.【详解】i故选：D2. 函数在上的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用导数求出该函数的单调区间，从而求出其最小值【详解】，由，得或，由，得，又，所以在上单调递减，在上单调递增，所以f(
8、x)min=f(2)=83-8+3=-73故选：A3. 已知各项均为正数的等比数列中，其前项和为，若成等差数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据基本量法，将所给条件转化为首项与公比的关系式，再结合等比数列的通项公式求解即可【详解】解：设的公比为成等差数列，即，化简得，解得或由已知，故选：B4. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据二倍角公式求，再利用同角三角函数基本关系式，求.【详解】，又，故选：C5. 函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）A. 函数在上为减函数B. 函数在上为增函数C. 函数在上
9、有极大值D. 是函数在区间上的极小值点【答案】C【解析】【分析】根据导函数的正负与单调性的关系、极值点的关系判断即可【详解】解：由的图象可知，当时，则单调递增，当时，则单调递减，当时，则单调递增，又，所以当时，取得极大值故选：C6. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正态分布曲线关于对称，以及整体概率这两个特点，可以求出的值【详解】解：随机变量服从正态分布，又，故选：D7. 中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育；“乐”主要指美有；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校国学社团
10、开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“射”不排在第一节，“数”和“乐”两门课程相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】B【解析】【分析】利用排列数以及“捆绑法”、“特殊元素法”即可求解.【详解】解：“数”和“乐”两门课程相邻的方法数：，“射”排在第一节，“数”和“乐”两门课程相邻的方法数，所以“射”不排在第一节，“数”和“乐”两门课程相邻的方法数为，故选：B8. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列如果函数，数列为牛顿数
11、列，设且， 数列的前项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】得到，计算，然后计算，最后可得数列为等比数列，最后根据公式计算即可.详解】由题可知：，所以，则两边取对数可得，即所以数列是以1为首项2为公比的等比数列，所以故选：A【点睛】关键点点睛：依据计算得到是解决本题的关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从年到年共年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额看成以年份序号
12、（年作为第年）的函数运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图，则下列说法正确的是（ ）A. 销售额与年份序号呈正相关关系B. 三次函数回归模型的残差平方和大于直线回归模型的残差平方和C. 三次函数回归曲线拟合效果好于回归直线的拟合效果D. 根据三次函数回归曲线可以预测年“年货节”期间的销售额约为亿元【答案】AC【解析】【分析】根据散点图的单调性趋势可以判定A；根据散点图的整体变化分布态势可以判定BC；根据回归方程计算可以判定D.【详解】解：由散点图的变化趋势可知，销售额与年份序号呈正相关关系，故选项A正确；由散点图以及直线回归模型和三次函数回归模型的位置关系可知
13、，三次函数回归模型的残差平方和小于直线回归模型的残差平方和，故选项B错误；因为，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，故选项C正确；因为三次函数为，则当时，亿元，故选项D错误故选：AC10. 已知为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）A. 若复数的共轭复数为，则B. 若复数，满足，则C. 若复数，则D. 复数满足，在复平面内对应的点为，则【答案】ABD【解析】【分析】对AB，设复数，再判断即可；对C，举反例判断；对D，根据模长公式判断即可【详解】对A：设复数，则，故A选项正确，对B：复数，满足，、的实部相同，虚部互为相反数，设，故B选项正确，对C：当时，复数，但不一定相等，故C选
14、项错误，对D：在复平面内对应的点为，则，即，故D选项正确故选：ABD11. 已知，则下列结论正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】令，判断A；二项式变形为，再利用通项公式求，即可判断B；令，即可判断C；通过赋值令和，即可求得，即可判断D.【详解】解：，令，可得，故A正确；，故B错误；在所给的等式中，令，可得，故C错误；令，可得，再令，可得，两式相加除以，可得，故D正确，故选：AD12. 已知函数，若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的图象关于直线对称B. 函数图象关于点，对称C. 函数在区间，上的值域为，D. 将函数的图象向右平移个单位长度可
15、得到函数的图象【答案】AC【解析】【分析】根据题意，可得，当时，函数值，即可求解，可得解析式，依次判断各选项即可【详解】函数的部分图象可知，当时，函数值，即，那么函数对于：令，可得，当时，可得函数的图象关于直线对称，所以正确；对于：当时，可得，即图象关于点，对称，所以错误；对于，上，则，那么，可得值域为，；所以正确；对于：函数的图象向右平移个单位长度，即，得不到，所以错误；故选：三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则_【答案】【解析】【分析】由已知求出，代入线性回归方程求得【详解】因为，所以，故样本中心为，又线
16、性回归方程是，所以，解得故答案为：14. 二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为_【答案】15【解析】【分析】利用二项式的展开式中的指数为0可得，再令的指数为2求解即可【详解】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中常数项为，则令，求得，可得含项的系数为，故答案为：15. 已知随机变量的分布列为，其中为常数，则实数_，_【答案】 . . 【解析】【分析】根据离散性随即变量的分布列的性质求的值；根据期望的定义计算，并利用性质求【详解】解：，其中为常数，故答案为：；16. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由函数有两个极值点，可知有两个不同的实数根，
17、即有两个不同的实数根，构造函数，则转化为函数与的图像有两个不同的交点，然后利用求出函数的单调区间和极值，画出函数图像，根据图像可求出的取值范围【详解】解：函数，则，因为函数有两个极值点，则有两个不同的实数根，即有两个不同的实数根，令，所以函数与的图像有两个不同的交点，因为，则当时，则单调递增，当时，则单调递减，所以当时，取得最大值，作出函数的图像如图所示，由图像可知，解得，所以实数的取值范围是故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知的内角，的对边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长【答案】（1）；（2）.【解析】【
18、分析】（1）利用正弦定理的边角互化即可求解.（2）利用三角形的面积公式求出，再由余弦定理即可求解.【详解】解：（1）因为，所以，因为，所以，因为，所以（2）因为，的面积为，所以，由余弦定理，可得，解得，所以的周长18. 某学校为了解学生课后进行体育运动的情况，对该校学生进行简单随机抽样，获得名学生一周进行体育运动的时间数据如表，其中运动时间在的学生称为运动达人分组区间（单位：小时）人数（1）从上述抽取的学生中任取人，设为运动达人的人数，求的分布列；（2）以频率估计概率，从该校学生中任取人，设为运动达人的人数，求的分布列【答案】（1）分布列见解析；（2）分布列见解析.【解析】【分析】（1）题目考
19、查超几何分布，任取2人中，运动达人的人数可能为0，1，2，分别求概率即可（2）题目考查二项分布，每个人是否是运动达人的概率是不变的，从而可求分布列【详解】解：（1）的可能取值为，的分布列为：（2）由表中数据可得，抽到运动达人的频率为，将频率视为概率，则随机变，的分布列为：19. 已知函数（1）若，求函数在处的切线方程；（2）已知，若在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）参变分离可得在上恒成立，再令求导分析的最小值即可【详解】解：（1）若时，由导数的几何意义可得，所以在处的切线方程为，即，所以切线方程为（2）不等式在上恒成立，
20、所以，在上恒成立，所以，在上恒成立，令，所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以，所以，所以的取值范围为20. 已知数列满足：，点在函数的图象上，其中为常数，且（1）若，成等比数列，求的值；（2）当时，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1) 由成等比数列，所以，则,即可求解;(2) 当时，,对n分奇偶分别进行分组求和即可.【详解】解：（1）由，可得，因为，所以，又成等比数列，所以，则，又，故（2）当时，当为偶数时，当为奇数时，综上所述，21. 某校对学生关于开展数学研究性学习的态度进行调查，随机抽调了人，他们数学成绩的平均分（单位：分）的频数分布及对开展数学研究性学习赞成
21、人数如表：成绩频数赞成人数（1）根据以上统计数据完成下面的列联表：能否有的把握认为学生关于开展数学研究性学习的态度与数学成绩平均分为分分界点有关？成绩不低于分的人数成绩低于分的人数合计赞成不赞成合计（2）若对数学成绩平均分在和的被调查人中各随机选取人进行追踪调查，求在选中的人中有人不赞成的条件下，赞成开展数学研究性学习的人数的分布列及数学期望附参考公式与数据：，【答案】（1）表格见解析，有；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据频数分布表中的数据填写列联表，再利用求出，然后利用临界值表进行判断，（2）由题意知，的所有可能取值为，然后求出各自对应的概率，从而可列出分布列，求出数学期望【
22、详解】解：（1）根据统计数据填写列联表，如下：成绩不低于分的人数成绩低于分的人数合计赞成不赞成合计4050由表中数据，计算，所以有的把握认为学生关于开展数学研究性学习的态度与数学成绩平均分为分分界点有关；（2）由题意知，的所有可能取值为，则，所以的分布列为：数学期望为22. 设函数，（1）求函数的单调区间；（2）若方程有两个不相等的实数根、，求证：【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，讨论的取值，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.（2）将实数根、代入两式相减可得，根据，得出只需证明即可，进而证明，可设，构造函数，利用证明即可.【详解】（1）解：当时，函数上单调递增，函数的单调增区间为；当时，由，得；由，得所以函数的单调增区间为，单调减区间为（2）证明：因为、是方程的两个不等实根，由（1）知不妨设，则，两式相减得，即所以因为，当时，当时，故要证，只需证即可，即证明，即证明，即证明设令，则因为，所以，所以在上是增函数所以，所以成立