1、福建省宁德市福建省宁德市 20202020 年八年级下期末数学试题年八年级下期末数学试题 一、选择题一、选择题 1. 下列各数中，是不等式 x3的解的是（ ） A. 3 B. 0 C. 3 D. 5 2. 下面图形中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 若 ab，则下列结论不正确的是（ ） A. a+3b+3 B. a3b3 C. 33ab D. 3a3b 4. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. 23bab B. 11xx C. 211aa D. 21xx 5. 多项式 x2+mx21因式分解的结果为（x+3） （x7） ，则 m 的值是（ ） A. 4 B. 4 C.
2、 10 D. 10 6. 如图，点 C，E 分别在 BD，AC上，ACBD，且 ABDE，ACCD，则下列结论错误的是（ ） A. AECE B. AD C. EBC45 D. ABDE 7. 用反证法证明命题：“已知ABC，ABAC，求证：B90 ”第一步应先假设（ ） A. B90 B. B90 C. B90 D. ABAC 8. 解分式方程23211 2xxx时，去分母正确的是（ ） A. x32 B. x3（2x1）2 C x3（2x1）2 D. x6x32 9. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员操作方法通常是：从电线杆 DE 上一点 A 往地面拉两条长度相等的固定绳 AB与 A
3、C，当固定点 B，C到杆脚 E的距离相等，且 B，E，C在同一直线上时，电线杆 DE就垂直于 BC工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 等腰三角形“三线合一” D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 10. 如图， 四边形 ABCD 是正方形， 点 E， F 分别在边 CD， BC上， 点 G在 CB延长线上， DECFBG 下列说法： 将DCF沿某一直线平移可以得到ABG； 将ABG 沿某一直线对称可以得到ADE； 将ADE绕某一点旋转可以得到DCF其中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 6
4、小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 1212 分分 11. 化简：3223x yx y_ 12. 如图，已知ABC，C90 ，BD 是ABC 的角平分线，若 AD3，CD2，则点 D 到 AB 边的距离为_ 13. 一个正多边形的每个外角为 60 ，那么这个正多边形的内角和是_ 14. 不等式组3211xx 的解集为_ 15. 如图， 已知 RtABC， ACB90 ， B60 ， AB8， 将ABC 沿 BC方向平移 7个单位长度得到DEF，则图中四边形 ACED的面积为_ 16. 如图， D是等边ABC的边 AB 上一点， E 是 BC延长线上一点， CEAD， 连接 DE 交
5、 AC于点 F 若ADF的周长为 14，CEF 的周长为 10，则ABC的周长为_ 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 9 小题，共小题，共 5858 分分 17. 因式分解： （1）ax24a； （2）x（x6）+9 18. 求不等式 72（x3）5x1解集，并把解集在数轴上表示出来 19. 如图，已知ABCD，点 E 在 BA 延长线上，BECE，CE 交 AD于点 F求证：CDF 是等腰三角形 20. 化简：2213(1)24xxxx 21. 在平面直角坐标系中， 点 O 是坐标原点， AOB是等腰直角三角形， AOB90 ， 顶点 A的坐标是 （4，4） 点 M 是线段 AB 上
6、的动点，连接 OM，将AOM向左平移 5 个单位得到CDN；将AOM 绕点 O 按顺时针方向旋转 90 得到BOE （其中点 C与点 A对应，点 E 与点 M对应） （1）如图，当点 M的坐标为（4，1）时，画出相应的CDN和BOE； （2）直接写出点 M运动过程中，对应点 E 到点 C距离的最小值 22. 如图，在ABC中，点 D，E 分别是 BC，AC的中点，延长 BA 至点 F，使得 AF=12AB，连接 DE，AD，EF，DF （1）求证：四边形 ADEF是平行四边形； （2）若 AB=6，AC=8，BC=10，求 EF 的长 23. 受疫情影响， 今年高考延后 为缓解七月高温对考生的
7、影响， 某校准备给本校的所有高考考室安装空调，现计划从 A、B两种空调中采购经了解 A种空调比 B 种空调每台贵 800元，如果全部安装 A种空调需 19万元，全部安装 B 种空调需 15 万元 （1）求 A、B 两种空调每台各需多少元？全校共需要安装多少台空调？ （2）现该校筹措到 17万元资金用于采购这批空调，求最多能购买多少台 A种空调？ 24. 如图，直线 l1：yx4 与 y 轴交于点 A，与直线 l2：y12x1 交于点 B，直线 l2与 y 轴交于点 C，点 P（m，n）在射线 AB上，过点 P作直线 PEx轴，垂足为 E，直线 PE交直线 l2于点 Q （1）直接写出点 B 的
8、坐标及线段 AC的长； （2）当点 P在线段 AB的延长线上，且以点 A，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 P 的坐标； （3）当 PEQE时，求 m的取值范围 25. 如图，已知点 P 是AOB 内一点，过点 P的直线 MN 分别交射线 OA，OB 于点 M，N，将直线 MN绕点P 旋转，MON的形状与面积都随之变化 （1）请在图 1 中用尺规作出MON，使得MON 是以 OM 为斜边的直角三角形； （2）如图 2，在 OP的延长线上截取 PCOP，过点 C 作 CMOB交射线 OA 于点 M，连接 MP 并延长交OB 于点 N求证：OP平分MON的面积； （3） 小亮发现：
9、在直线 MN旋转过程中， （2） 中所作的MON的面积最小 请利用图 2帮助小亮说明理由 福建省宁德市福建省宁德市 20202020 年八年级下期末数学试题年八年级下期末数学试题 一、选择题一、选择题 1. 下列各数中，是不等式 x3的解的是（ ） A. 3 B. 0 C. 3 D. 5 【1 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式解的定义判断即可 【详解】解：53， 5是不等式 x3 的解 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的解的内容，其中，弄清不等式解的定义是解本题的关键 2. 下面图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【2 题答案】 【答案】B 【解析】
10、【分析】根据中心对称图形的定义和性质作出判断 【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项错误 故选：B 【点睛】本题考查中心对称图形的判断，熟练掌握中心对称图形的特征是解题关键 3. 若 ab，则下列结论不正确的是（ ） A. a+3b+3 B. a3b3 C. 33ab D. 3a3b 【3 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质解答即可 【详解】Aab， a+3b+3，故本选项正确，但不符合题意； Bab， a3b3，故本选项正确，但不符合题意； Cab，
11、 33ab，故本选项正确，但不符合题意； Dab， 3a3b，故本选错误，但项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，关键是掌握不等式的变形：两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变 4. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. 23bab B. 11xx C. 211aa D. 21xx 【4 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】判断分式是否是最简式，看分式能否进行因式分解，是否能约分 【详解】解：A、2233baba，故不是最简分式，不合题意； B、1(1)111xxxx
12、 ，故不是最简分式，不合题意； C、21(1)(1)111aaaaaa，故不是最简分式，不合题意； D、21xx 是最简分式，符合题意 故选：D 【点睛】此题考查了在化简式子时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式，直到分子与分母没有公因式 5. 多项式 x2+mx21因式分解的结果为（x+3） （x7） ，则 m 的值是（ ） A. 4 B. 4 C. 10 D. 10 【5 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用因式分解法得出 m与 3，-7 的关系 【详解】解：多项式 x2+mx21因式分解的结果为（x+3） （x7） ， m7+34 故选：B 【点睛】此题主要考查
13、了因式分解法分解因式，正确掌握常数项与一次项系数的关系是解题关键 6. 如图，点 C，E 分别在 BD，AC上，ACBD，且 ABDE，ACCD，则下列结论错误的是（ ） A. AECE B. AD C. EBC45 D. ABDE 【6 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由“HL”可证 RtABCRtDEC，可得A=D，BC=CE，可得EBC=45 ，由余角的性质可证ABDE，利用排除法可求解 【详解】如图，延长 DE交 AB于点 H， ACBD， ACBECD90 ， 在 RtABC 和 RtDEC 中， ABDEACCD， RtABCRtDEC（HL） ， AD，BCCE， EBC
14、45 ， A+ABC90 ， D+ABC90 ， ABDE， B，C，D正确； 故选：A 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质， 直角三角形的性质， 证明 RtABCRtDEC 是本题的关键 7. 用反证法证明命题：“已知ABC，ABAC，求证：B90 ”第一步应先假设（ ） A. B90 B. B90 C. B90 D. ABAC 【7 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】反证法的第一步就是假设命题反面成立 【详解】用反证法证明命题：“已知ABC，ABAC，求证：B90 ”，第一步应先假设B90 ； 故选：A 【点睛】本题考查反正法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过
15、推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立 8. 解分式方程23211 2xxx时，去分母正确的是（ ） A x32 B. x3（2x1）2 C. x3（2x1）2 D. x6x32 【8 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】方程整理后，去分母转化为整式方程，即可作出判断 【详解】方程整理得：232121xxx ， 去分母得：x3（2x1）2， 故选：B 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 9. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆 DE 上一点 A往地面拉两条长度相等的
16、固定绳 AB与 AC，当固定点 B，C到杆脚 E的距离相等，且 B，E，C在同一直线上时，电线杆 DE就垂直于 BC工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 等腰三角形“三线合一” D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【9 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论 【详解】解：ABAC，BECE， AEBC， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：C 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 10. 如图， 四边形 ABCD是正方形， 点 E， F 分别
17、在边 CD， BC上， 点 G在 CB 的延长线上， DECFBG 下列说法： 将DCF沿某一直线平移可以得到ABG； 将ABG 沿某一直线对称可以得到ADE； 将ADE绕某一点旋转可以得到DCF其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【10 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质和已知条件可以得到ADEDCF、ADEABG、ABGDCF，然后根据图形变换的知识可以对各选项的正误作出判断 【详解】四边形 ABCD是正方形， ABADCD，ABCADEDCB90， 又DECF， ADEDCF（SAS） ， 同理可得：ADEABG，ABGDCF， 将DCF 沿某一直线平移可以得
18、到ABG，故正确； 将ABG绕点 A旋转可以得到ADE，故错误； 将ADE绕线段 AD，CD的垂直平分线的交点旋转可以得到DCF，故正确； 故选：C 【点睛】本题考查正方形性质和图形变换的综合应用，根据全等三角形的性质和图形变换的知识解题是关键所在 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 1212 分分 11. 化简：3223x yx y_ 【11 题答案】 【答案】3xy 【解析】 【分析】直接利用分式的性质化简得出答案 【详解】解：3223x yx y223x y xx yy3xy 故答案为：3xy 【点睛】此题主要考查了约分，正确掌握
19、分式的性质是解题关键 12. 如图，已知ABC，C90 ，BD 是ABC 的角平分线，若 AD3，CD2，则点 D 到 AB 边的距离为_ 【12 题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】根据角平分线的定义，D 到 AB、BC 两边距离相等，而 D 到 BC 边的距离就是 CD=2，所以 D 到AB 边的距离也是 2 【详解】如图，过点 D 作 DEAB于 E， C90，BD是三角形的角平分线， DECD2， 即点 D到 AB边的距离是 2 故答案为：2 【点睛】本题考查角平分线的性质，在作出辅助线的基础上利用角平分线性质定理解题是关键所在 13. 一个正多边形的每个外角为 60 ，那么这个正
20、多边形的内角和是_ 【13 题答案】 【答案】720 【解析】 【详解】 【分析】先利用多边形的外角和为 360 计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可 【详解】这个正多边形的边数为36060=6， 所以这个正多边形的内角和=（62） 180 =720 ， 故答案为 720 【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理： （n2）180 （n3）且 n为整数） ；多边形的外角和等于 360度 14. 不等式组3211xx 的解集为_ 【14 题答案】 【答案】2x6 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可 【详解】不等式组3211xx
21、 ， 由得：x6， 由得：x2， 则不等式组的解集为 2x6 故答案为：2x6 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键 15. 如图， 已知 RtABC， ACB90 ， B60 ， AB8， 将ABC 沿 BC方向平移 7个单位长度得到DEF，则图中四边形 ACED的面积为_ 【15 题答案】 【答案】203 【解析】 【分析】根据三角形的内角和得到BAC30，根据直角三角形的性质得到 BC12AB4，根据勾股定理得到 AC22ABBC4 3，根据平移的性质得到 ADBE7，ADBE，求得 CE3，根据梯形的面积公式即可得到结论 【详解】ACB90，B60
22、， BAC30， AB8， BC12AB4， AC22ABBC4 3， 将ABC 沿 BC 方向平移 7个单位长度得到DEF， ADBE7，ADBE， CE3， 图中四边形 ACED的面积12（7+3）43203， 故答案为：203 【点睛】本题考查了含 30角的直角三角形，三角形的面积，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键 16. 如图， D是等边ABC的边 AB 上一点， E 是 BC延长线上一点， CEAD， 连接 DE 交 AC于点 F 若ADF的周长为 14，CEF 的周长为 10，则ABC的周长为_ 【16 题答案】 【答案】392 【解析】 【分析】过点 D作 DHBC，交
23、 AC于 H，过点 D作 DNAC于 N，由“ASA”可证DHFECF，可得 EF=DF，HF=CF，由线段的数量关系可求 AD=4，DF+HF=6，由勾股定理可求 CF=HF=54，即可求解 【详解】解：如图，过点 D作 DHBC，交 AC 于 H，过点 D 作 DNAC于 N， ABC是等边三角形， ABACBC，AABCACB60， DHBC， ADHABC60，AHDACB60， ADH等边三角形， ADAHDH， DHBC， HDFE，DHFECF， CEAD， DHCE， 在DHF 和ECF 中， DHFECFDHCEHDFCEF ， DHFECF（ASA） ， EFDF，HFCF
24、， ADF的周长为 14，CEF 的周长为 10， AD+AF+DF14，CE+CF+EF10， AD4，DF+HF6， ADH是等边三角形，DNAH， ANNH2，DN3NH23， DF2DN2+NF2， （6HF）212+（2+HF）2， HF54， CFHF54， CH52， ACAH+CH4+52132， ABC的周长3AC392， 故答案为：392 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，求出 HF 的长是本题的关键 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 9 小题，共小题，共 5858 分分 17. 因式分解： （1）ax24a； （2）x（x
25、6）+9 【17 题答案】 【答案】 （1）a（x2） （x+2） ； （2） （x3）2 【解析】 【分析】 （1）直接提取公因式 a，进而利用公式法分解因式得出答案； （2）直接结合单项式乘多项式化简，再利用公式法分解因式得出答案 【详解】 （1）ax24a a（x24） a（x2） （x+2） ； （2）x（x6）+9 x26x+9 （x3）2 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键 18. 求不等式 72（x3）5x1的解集，并把解集在数轴上表示出来 【18 题答案】 【答案】x2，在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，把不等
26、号右边的 x 移到左边，合并同类项即可求得原不等式的解集 【详解】去括号得，72x+65x1， 移项得：2x5x176， 合并同类项得：7x14， 系数化为 1 得：x2， 在数轴上表示为： 【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错 解不等式要依据不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变 19. 如图，已知ABCD，点 E 在 BA 延长线上，BECE，CE 交 AD于点 F求
27、证：CDF 是等腰三角形 【19 题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质和等角对等边的判定CDF是等腰三角形即可 【详解】四边形 ABCD是平行四边形， BD，ECBDFC， EBEC， BECB， DDFC， CFCD， CDF是等腰三角形 【点睛】考查了平行四边形的性质，解题的关键是了解等角对等边，难度不大 20. 化简：2213(1)24xxxx 【20 题答案】 【答案】2xx 【解析】 【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案 详解】原式22323xxxxx x 2xx 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是
28、解题关键 21. 在平面直角坐标系中， 点 O 是坐标原点， AOB是等腰直角三角形， AOB90 ， 顶点 A的坐标是 （4，4） 点 M 是线段 AB 上的动点，连接 OM，将AOM向左平移 5 个单位得到CDN；将AOM 绕点 O 按顺时针方向旋转 90 得到BOE （其中点 C与点 A对应，点 E 与点 M对应） （1）如图，当点 M的坐标为（4，1）时，画出相应的CDN和BOE； （2）直接写出点 M运动过程中，对应点 E 到点 C距离的最小值 【21 题答案】 【答案】 （1）如图，CDN和BOE即为所求见解析； （2）点 E到点 C距离最小值为 8 【解析】 【分析】 （1）分别
29、作出 AO，M 的对应点 C，D，N，可得DCN，分别作出 A，M 的对应点 B，E 即可得到OBE （2）观察图象可知点 E 在直线 y4上运动，根据此线段最短即可解决问题 【详解】 （1）如图，CDN和BOE即为所求 （2）观察图象可知，点 E在直线 y4上运动， 根据垂线段最短可知，点 E 到点 C的最短距离为 8 【点睛】本题考查作图旋转变换，平移变换，垂线段最短，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 22. 如图，在ABC中，点 D，E 分别是 BC，AC的中点，延长 BA 至点 F，使得 AF=12AB，连接 DE，AD，EF，DF （1）求证
30、：四边形 ADEF是平行四边形； （2）若 AB=6，AC=8，BC=10，求 EF 的长 【22 题答案】 【答案】 （1）见解析； （2）EF=5 【解析】 【分析】 （1） 证 DE 是ABC的中位线， 得出 DEAB， DE=12AB， 证出 DE=AF， DEAF， 即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出 EF=AD，由勾股定理的逆定理证出ABC 是直角三角形，BAC=90 ，由直角三角形斜边上的中线性质得 AD=12BC=5，即可得出答案 【详解】 （1）证明：点 D，E分别是 BC，AC的中点， DE是ABC的中位线， DEAB，DE=12AB， AF=12AB， DE=A
31、F，DEAF， 四边形 ADEF 是平行四边形； （2）解：由（1）得：四边形 ADEF 是平行四边形， EF=AD， AB=6，AC=8，BC=10， AB2+AC2=BC2， ABC是直角三角形，BAC=90 ， 点 D是 BC的中点， AD=12BC=5， EF=AD=5 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，属于中考常考题型 23. 受疫情影响， 今年高考延后 为缓解七月高温对考生的影响， 某校准备给本校的所有高考考室安装空调，现计划从 A、B两种空调中采购经了解 A
32、种空调比 B 种空调每台贵 800元，如果全部安装 A种空调需 19万元，全部安装 B 种空调需 15 万元 （1）求 A、B 两种空调每台各需多少元？全校共需要安装多少台空调？ （2）现该校筹措到 17万元资金用于采购这批空调，求最多能购买多少台 A种空调？ 【23 题答案】 【答案】 （1）B种空调每台 3000元，A 种空调每台 3800元，全校共需要安装 50 台空调； （2）最多能购买 4台 A 种空调 【解析】 【分析】 （1）设 B 种空调每台 x 元，则 A 种空调每台（x+800）元，根据题意可得等量关系：19 万元购买的 A 种空调的数量=15万元购买的 B种空调的数量，根
33、据等量关系列出方程，再解即可； （2）设购买 a 台 A 种空调，根据题意可得不等关系：A 种空调的单价 购买台数+B 种空调的单价 购买台数17万，列出不等式，再解即可 【详解】 （1）设 B 种空调每台 x 元，由题意得： 190000800 x150000 x， 解得：x3000， 经检验：x3000是原分式方程的解， 则 x+8003800， 150000300050（台） ， 答：B 种空调每台 3000 元，A种空调每台 3800元，全校共需要安装 50 台空调； （2）设购买 a 台 A种空调，由题意得： 3800 x170000， 解得：x441419， x为整数， x的最大整
34、数解为 44， 答：最多能购买 4台 A 种空调 【点睛】此题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系 24. 如图，直线 l1：yx4 与 y 轴交于点 A，与直线 l2：y12x1 交于点 B，直线 l2与 y 轴交于点 C，点 P（m，n）在射线 AB上，过点 P作直线 PEx轴，垂足为 E，直线 PE交直线 l2于点 Q （1）直接写出点 B 的坐标及线段 AC的长； （2）当点 P在线段 AB的延长线上，且以点 A，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 P 的坐标； （3）当 PEQE时，求 m的取值范围 【24 题答案】
35、 【答案】 （1）B（2，2） ，AC3； （2）P（4，0） ； （3）m的取值范围是 m10或 0m2 【解析】 【分析】 （1）根据直线上点的坐标特征求得 A、C 的坐标，即可求得 AC3，解析式联立，解方程组即可求得 B点的坐标； （2）根据平行四边形的性质得出 PQAC3，即可得到 m4（12m1）3，解得 m的值，即可求得 P的坐标； （3）根据 PEQE，借助图象即可得到当 m2 时，则 m412m1，解得 m10；当 m2时，则m412m1，解得 0m2 【详解】 （1）在直线 l1：yx4 中，令 x0，则 y4， A（0，4） ， 在直线 l2：y12x1中，令 x0，则
36、y1， C（0，1） ， AC1（4）3， 解4112yxyx 得，22xy ， B（2，2） ； （2）设 P（m，m4） ，则 Q（m，112m） ， 以点 A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， PQAC3， m4（12m1）3， 解得 m4， P（4，0） ； （3）设 P（m，m4） ，则 Q（m，112m） ， 由题意可知，|m4|112m|， 当 m2 时，则 m412m+1， 解得 m10； 当 m2 时，则m+412m+1， 解得 0m2， 综上，m的取值范围是 m10或 0m2 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，平行四边形的性质，根据题意表示出点的坐标是解题的关
37、键 25. 如图，已知点 P 是AOB 内一点，过点 P的直线 MN 分别交射线 OA，OB 于点 M，N，将直线 MN绕点P 旋转，MON的形状与面积都随之变化 （1）请在图 1 中用尺规作出MON，使得MON 是以 OM 为斜边直角三角形； （2）如图 2，在 OP的延长线上截取 PCOP，过点 C 作 CMOB交射线 OA 于点 M，连接 MP 并延长交OB 于点 N求证：OP平分MON的面积； （3） 小亮发现： 在直线 MN旋转过程中， （2） 中所作的MON的面积最小 请利用图 2帮助小亮说明理由 【25 题答案】 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）当点 P 是 MN
38、的中点时 SMON最小理由见解析 【解析】 【分析】 （1）根据尺规作图，过 P 点作 PNOB于 N，交 OA 于点 M； （2）证明三角形全等得 P为 MN 的中点，便可得到结论； （3）过点 P 作另一条直线 EF交 OA、OB于点 E、F，设 PFPE，与 MC交于于 G，证明PGMPFN，得PGM 与PFN 的面积相等，进而得 S四边形MOFGSMON 便可得 SMONSEOF，问题得以解决 【详解】 （1）在 OB 下方取一点 K， 以 P为圆心，PK 长为半径画弧，与 OB交于 C、D两点， 分别以 C、D为圆心，大于12CD 长为半径画弧，两弧交于 E 点， 作直线 PE，分别
39、与 OA、OB交于点 M、N， 故OMN 就是所求作的三角形； （2）CMOB， CPON， 在PCM 和PON中， CPONPCPOCPHOPN， PCMPON（ASA） ， PMPN， OP平分MON 的面积； （3）过点 P作另一条直线 EF交 OA、OB于点 E、F，设 PFPE，与 MC 交于于 G， CMOB， GMPFNP， 在PGM 和PFM中， PMGPNFPMPNMPGNPF ， PGMPFN（ASA） ， SPGMSPFN S四边形MOFGSMON S四边形MOFGSEOF， SMONSEOF， 当点 P 是 MN的中点时 SMON最小 【点睛】本题主要考查了图形的旋转性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中线性质，关键证明三角形全等